1.5. Центр тяжести

Центр тяжести плоской однородной пластины, т.е. координаты точки С, определяется по формулам

; ,

где S – площадь всей пластины; S_k – площадь одной из частей пластины; x_k и y_k – координаты центров тяжести отдельных частей пластины; n – число частей.

Если плоская фигура имеет вырезы или отверстия, ее центр тяжести определяется методом отрицательных площадей. Сущность метода заключается в том, что из геометрических характеристик рассматриваемой площади вычитаются параметры вырезов (отверстий). Координаты центра тяжести в этом случае

; ,

где F₁ – площадь всей фигуры; F₂ – площадь выреза или отверстия; F₁x₁ и F₁y₁ – статические моменты площади фигуры относительно осей x и y соответственно; F₂x₂ и F₂y₂ – статические моменты выреза или отверстия относительно осей x и y.

Пример 1.5. Найти положение центра тяжести фигуры с вырезом (рис.1.50, а). Размеры на рисунке указаны в сантиметрах.

Решение. Применим метод отрицательных площадей. Для этого разобьем фигуру на четыре части: 1 – треугольник AFH; 2 – прямоугольник OADB, который считаем сплошным; 3 – круг с отрицательной площадью; 4 – треугольник BDE, также имеющий отрицательную площадь (рис.1.50, б). Площадь каждой части фигуры вычислим общепринятым способом:

см²; cм²;  см²;  cм².

Теперь найдем координаты центров тяжести частей 1-4, на которые разбита фигура. Вычисления произведем по формулам

; ,

используя при этом данные табл.1.1.

Таблица 1.1

Номер фигуры i		Si, см2	xi, см	yi, см	Si xi	Si yi
1		900	20	70	18000	63000
2		6000	50	30	300000	180000
3		–1250	30	30	–37500	–37500
4		–900	90	30	–81000	–27000
		4750	–	–	199500	178500

В результате вычислений получим x_C = 42,0 cм и y_C = 37,6 см, которые являются координатами центра тяжести фигуры.

Задача 1.48. В однородной квадратной доске ABCD со стороной АВ = 2 м вырезано квадратное отверстие EFGH, стороны которого соответственно параллельны сторонам ABCD и равны 0,7 м каждая (рис.1.51). Определить координаты x и y центра тяжести оставшейся висящей доски, зная, что ОК = О₁К = 0,5 м, где О и О₁ –центры квадратов, ОК и О₁К параллельны сторонам квадратов.

Ответ: x = y = –7 см.

З адача 1.49. Определить положение центра тяжести С однородного диска с круговым отверстием. Радиус диска r₁, радиус отверстия r₂ и центр этого отверстия находится на расстоянии r₁/2 от центра диска (рис.1.52).

Ответ: .

Задача 1.50. В квадратной однородной пластине сделаны три выреза: полукруглый, прямоугольный и круглый (рис.1.53). Размеры указаны на чертеже. Определить положение центра тяжести пластины.

Ответ:   x = 22,17 см; y = = –0,243 см.

З адача 1.51. Определить координаты центра тяжести четверти кольца (рис.1.54).

Ответ: x = y = 1,38 см.

Задача 1.52. Найти координаты центра тяжести фигуры (рис.1.55).

Ответ: x = 0,61а, y = 0.