4. Динамика системы материальных точек

4.1. Геометрия масс и теорема о движении центра масс

Центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложен главный вектор внешних сил, действующих на систему. Для каждой точки системы

, i = 1, 2, …, n,

где m_i – масса i-й точки; – ее ускорение.

Для системы в целом

где – главный вектор внешних сил; – главный вектор внутренних сил, .

Тогда

где – ускорение центра масс системы; m – масса всей системы.

Проектируя последнее равенство на оси координат, получим дифференциальные уравнения движения центра масс системы:

где – ускорения центра масс при движении вдоль осей x, y, z; – проекции главного вектора внешних сил на соответствующие оси координат.

Пример 4.1. Электромотор бурового станка закреплен болтами на горизонтальном фундаменте (рис.4.1). Вес статора с кожухом Р₁, вес ротора с валом Р₂. Центр тяжести статора с кожухом С₁ находится на оси х, а центр тяжести ротора С₂ смещен от оси вращения на l. Найти наибольшую суммарную горизонтальную нагрузку на болты при угловой скорости вала  = const.

Решение. На систему тел – статор с кожухом и ротор с валом – действуют внешние силы тяжести и , суммарная вертикальная реакция Р_в плоскости фундамента и суммарная горизонтальная реакция Р_г болтов. Построив оси координат от центра тяжести статора С₁, введем угловую координату  вала. При равномерном вращении вала

Координата центра масс системы

где m₁ – масса статора с кожухом; m₂ – масса ротора с болтами.

Дважды дифференцируя по времени это выражение, найдем

При этом проекция на ось главного вектора внешних сил . Тогда из первого дифференциального уравнения движения центра масс системы получим

.

Наибольшее значение модуля достигается при

.

Задача 4.1. Определить координату x_c центра масс кривошипно-шатунного механизма (рис.4.2) бурового грязевого насоса при углах  = 90 и  = 30, если масса кривошипа 1 равна 4 кг, а масса шатуна 2 равна 8 кг. Шатун 2 длиной 0,8 м считать однородным стержнем; массой ползуна 3 пренебречь.

Ответ: x_С = 0,231 м.

Задача 4.2. Скрепер с породой общей массой m = 500 кг поднимается по наклонной плоскости бремсберга с помощью троса, наматываемого на барабан 2 скреперной лебедки (рис.4.3). Определить модуль главного вектора внешних сил, действующих на скрепер 1, если угловое ускорение барабана 2 лебедки  = 5 рад/с, а радиус барабана R = 0,4 м.

Ответ: F = 1000 Н.

Задача 4.3. Центр масс сателлита С движется по окружности радиусом R = 1,3 м вокруг центрального зубчатого колеса согласно закону S = 4t (рис.4.4). Определить модуль главного вектора внешних сил, приложенных к сателлиту, если его масса m = 15 кг.

Ответ: F = 185 Н.

З адача 4.4. Ячейка кристаллической решетки некоторого минерала (рис.4.5) состоит из восьми атомов массой m в вершинах ячейки и одного атома с массой M = 2m в центре. Определить момент инерции системы J_x (относительно оси x), если ячейка представляет собой куб с ребром l. Массой промежуточного материала ячейки пренебречь.

Ответ: J_x = 9ml².

Задача 4.5. Ротор бурового вибратора (рис.4.6) с дебалансом в виде сплошного полуцилиндра радиусом R и массой m₁ равномерно вращается с угловой скоростью . Станина вибратора с буровым снарядом общей массой m₂ колеблется вместе с вибратором. Пренебрегая массой ротора, определить максимальное усилие N_max, передающееся на забой скважины при работе вибратора.

Ответ: , где Q₁ – вес дебаланса; Q₂ – вес станины с буровым снарядом; Q_в – возмущающая сила; x_C – расстояние от оси вращения дебаланса до его центра тяжести.

Задача 4.6. Найти координату центра масс рукоятки тормоза буровой лебедки (рис.4.7), состоящей из стержня массой m и длиной l и оголовника массой 2m на конце В.

Ответ: .

Задача 4.7. Центробежный регулятор скорости вращения вала состоит из четырех тяг одинаковой длины l и двух точечных масс М₁ = М₂ = М (рис.4.8), а также муфты D массой М₃. Определить положение центра масс центробежного регулятора скорости. Массой стержней пренебречь.

Ответ: x_C=0; .

Задача 4.8. Цилиндрическая бурильная труба, сечение которой изображено на рис.4.9, имеет массу m. Ее внешний диаметр 2R, внутренний 2r. Вычислить момент инерции трубы, относительно оси z, если труба представляет собой однородное сплошное тело, а ось z перпендикулярна сечению трубы.

Ответ: .

Задача 4.9. Найти горизонтальную и вертикальную реакции фундамента горизонтального кривошипного пресса для брикетирования угля (рис.4.10), если кривошип ОА вращается вместе с маховиком с постоянной угловой скоростью . Шатун АВ считать однородным стержнем массой m₁. Масса поршня В равна m₂; общая масса пресса составляет m. Длина кривошипа ОА r, длина шатуна АВ l, при этом r << l. Определить реакции фундамента X и Y, имея в виду, что при x << 1 можно принять .

Ответ: ; Y =  .

З адача 4.10. При перегрузке рудной массы из погрузочной машины в вагонетку (рис.4.11) рукоять 3, несущая ковш 2 с грузом, перекатывается без скольжения по горизонтальной плоскости к

Рис.4.11

орпуса 5 погрузочной машины и ударяется в упоры 4, после чего груз из ковша пересыпается в вагонетку 1. Угловая скорость рукояти в момент удара , скорость всей машины с вагонеткой , общая масса системы m, масса рукояти с ковшом и грузом m₁. Определить скорость u комплекса по окончании пересыпания груза, если расстояние от центра масс комплекса до плоскости корпуса h.

Ответ: .