4.3. Дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси

Чтобы найти уравнение движения тела вокруг неподвижной оси, необходимо определить закон изменения его угловой координаты . Кинетический момент вращающегося тела равен . Так как тело твердое, а ось неподвижна, то . Тогда будем иметь соотношение

,

которое и принято называть дифференциальным уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Е сли , то и В этом случае тело вращается равномерно. Если же то и и, следовательно, тело вращается равнопеременно.

Пример 4.3. Ручной бур (рис.4.21) вращается по заданному уравнению с осевым моментом инерции  кгм². Определить главный момент внешних сил, действующих на поворотные рукояти ручного бура.

Решение. Дифференциальное уравнение вращения ручного бура относительно его продольной оси имеет вид

где – главный момент внешних сил.

Возьмем производные от :

Найдем  Нм.

З

адача 4.21. Вал приводного двигателя бурового станка вращается с угловой скоростью . Определить главный момент внешних сил, действующих на вал, в момент времени , если его момент инерции 10 кгм².

Ответ: Нм.

Задача 4.22. Дисковое буровое долото вращается на забое скважины вокруг своей вертикальной оси под действием крутящего момента  Нм. Определить угловое ускорение долота, если его радиус м, а масса

Ответ:  рад/с².

Задача 4.23. Скрепер А (рис.4.22) весом Р, спускаясь по наклонной поверхности бремсберга вниз, приводит во вращение барабан В скреперной лебедки посредством намотанного на него троса. Радиус барабана r; коэффициент трения скольжения скрепера о поверхность, расположенную под углом  к горизонту, f; момент инерции барабана относительно горизонтальной оси z Определить угловую скорость  вращения барабана лебедки. Массой троса пренебречь.

Ответ:  рад/с.

Задача 4.24. Бурильная колонна начинает вращаться из состояния покоя под действием момента, зависящего от угловой скорости  вращения тела: где и – постоянные. Момент является вращающим, передающим энергию от привода буровой установки, а момент – тормозящим моментом, определяемым сопротивлениями в скважине. Найти угловую скорость вращения  колонны, если ее момент инерции относительно продольной оси при этом центр тяжести колонны лежит на ее вертикальной продольной оси, т. е. на оси вращения.

Ответ:  рад/с.

Задача 4.25. К маховику, вращающемуся вокруг неподвижной оси z, приложен вращающий момент где A и k – постоянные. Момент сопротивления движению пропорционален угловой скорости вращения маховика: , где  – постоянная,  > 0. Найти уравнение вращения маховика, если – его момент инерции относительно оси вращения. В начальный момент маховик покоился (₀ = 0); центр его тяжести лежит на оси вращения.

Ответ:

где  = /J_z;  = A/J_z.

4.4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Кинетическая энергия системы – это сумма кинетических энергий всех ее точек:

Кинетическая энергия системы определяется в соответствии с характером движения следующим образом: при поступательном движении

;

при вращательном движении

,

где z – ось вращения; при плоскопараллельном (плоском) движении

,

где – скорость центра масс системы; – момент инерции тела относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости, в которой движется центр масс.

Изменение кинетической энергии системы на конечном перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил на этом перемещении:

Для твердого тела обычно

Элементарная работа силы

или

где – вектор элементарного перемещения точки приложения силы; – его проекции на координатные оси; – элементарный путь данной точки; – проекции равнодействующей силы на оси координат.

Полная работа силы на конечном перемещении точки ее приложения выражается криволинейным интегралом:

где – начальное и конечное положения точки приложения силы соответственно.

Работа силы тяжести

где – начальная и конечная координаты точки приложения силы, при этом сама ось z направлена вертикально вверх.

Работа силы упругости

,

где с – жесткость упругой связи; – начальная и конечная ее деформации соответственно.

Мощность, элементарная и полная работы силы, приложенной к вращающемуся телу, соответственно

,

где – элементарное приращение угловой координаты; – начальная и конечная угловые координаты тела; – момент силы относительно оси вращения тела.

Общая формула для мощности силы имеет вид

,

где – скорость точки приложения силы;  – угол между направлениями векторов и .

П ример 4.4. Нефтяная качалка снабжается кулисным механизмом, в котором при качании рычага ОС относительно оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, ползун А, перемещаясь вдоль рычага ОС, приводит в движение шток АВ, движущийся вертикально по стволу скважины (рис.4.23). Рычаг ОС длиной R можно считать однородным стержнем, имеющим массу m₁, а масса ползуна и штока соответственно m₂ и m₃. Расстояние от оси О до оси ствола скважины . Получить общее выражение для кинетической энергии механизма качалки в функциях угловой скорости  и угла поворота рычага ОС (), необходимое для оценки эффективности работы качалки. Ползун совместно со штоком АВ целесообразно считать точечной массой.

Решение. Общее выражение для суммарной кинетической энергии основных узлов качалки выглядит следующим образом:

, (4.1)

где Т₁ – кинетическая энергия вращения рычага ОС вокруг неподвижной оси О; Т₂ – кинетическая энергия плоского движения ползуна А и штока АВ.

Запишем значения Т₁ и Т₂ в формуле (4.1):

; , (4.2)

где – момент инерции рычага ОС относительно оси О;  – угловая скорость его вращения; – скорость точки А (ползун со штоком) в плоском движении: поступательном по рычагу ОС и вращательном относительно оси О, ; – скорость переносного движения вместе с рычагом ОС; – скорость относительного движения вдоль рычага ОС,

.

Определим

.

Это значение подставим в формулу (4.1) с учетом (4.2). Тогда

.

Задача 4.26. В аккумуляторном электровозе с инерционным двигателем на каждой промежуточной остановке частота вращения маховика в течение 3 мин увеличивается от 1500 до 3000 мин^-1, после чего, вращаясь по инерции, он приводит в движение электровоз. Масса маховика диаметр Считая маховик однородным диском, найти среднюю мощность двигателя, разгоняющего маховик. Сопротивлениями пренебречь.

Ответ:

Задача 4.27. Груз массой m₁, опускаясь вниз при помощи троса, перекинутого через неподвижный блок D, поднимает вверх груз В массой m₂, прикрепленный к оси подвижного блока С (рис.4.24). Блоки С и D считать однородными сплошными дисками массой m₃ каждый. Определить скорость груза А в момент, когда он опустится на величину h. Массой троса, проскальзыванием по ободам блоков и силами сопротивления пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.

Ответ: .

Задача 4.28. Бегуны А и В мельницы для размола рудной массы насажены на горизонтальную ось ОD, вращающуюся вокруг вертикальной оси EF (рис.4.25). Масса каждого бегуна составляет 200 кг, их диаметры одинаковы и равны 1 м. Расстояние ОD между бегунами также равно 1 м. Найти кинетическую энергию бегунов, если ось ОD вращается с частотой 20 мин^-1. Бегуны принять за однородные сплошные диски, считать, что их качение осуществляется без проскальзываний.

Ответ: 380 Нм.

Задача 4.29. Ленточный транспортер-перегружатель горной массы приводится в движение из состояния покоя приводом, соединенным со шкивом В (рис.4.26), который сообщает этому шкиву постоянный вращающий момент М. Определить скорость ленты транспортера при полной ее загрузке по длине S, если вес горной массы на полотне ленты транспортера Р, а радиусы шкивов В и С равны R, и вес каждого из шкивов, представляющих собой однородные круглые цилиндры, Q. Проскальзываний ленты на шкивах нет. Лента образует с горизонталью угол . Массой ленты пренебречь.

Ответ: .

Задача 4.30. Вагонетка с рудой (рис.4.27) общей массой m, имея скорость v, ударяет о пружинный амортизатор с целью полного погашения скорости. Определить максимальную деформацию пружинного амортизатора, если жесткость его пружины равна с.

Ответ:  м.

Задача 4.31. В планетарном механизме буровой лебедки (рис.4.28) кривошип ОА вращается с угловой скоростью . Радиусы зубчатых колес 1, 2 и 3 равны . Определить кинетическую энергию колеса 3, если его масса равна m.

Ответ: .

Задача 4.32. Однородный гибкий нерастяжимый трос навит на барабан геофизической лебедки с горизонтальной осью вращения и удерживает подготовленный к спуску в скважину инклинометр А массой m (рис.4.29). Начальная длина свисающей ветви троса Полагая вес 1 м троса равным Р, определить работу по спуску инклинометра в скважину до глубины

О

Рис.4.29

твет:

Задача 4.33. Вагонетка для откатки руды начинает подниматься из состояния покоя по наклонной поверхности при помощи лебедки (рис.4.30). К барабану лебедки приложен постоянный вращающий момент М. Найти угловую скорость вращения барабана в момент времени, когда вагонетка пройдет расстояние S. Вес кузова с рудой G, общий вес колес Q, вес барабана P, радиус барабана r, его радиус инерции , угол наклона к горизонту . Колеса представляют собой однородные диски, канат – нерастяжимую невесомую нить. Колеса катятся без проскальзывания. Трением в осях пренебречь.

Ответ:  рад/с.

Задача 4.34. Тележка подземной дрезины состоит из двух спарников (рис.4.31), имеющих по два одинаковых колеса массой m каждый и общую раму массой 6m. Пренебрегая проскальзыванием колес по рельсам и считая их однородными сплошными дисками, найти кинетическую энергию всей системы, если скорость ее движения на уровне центров колес равна

Ответ:

Задача 4.35. Маховик ударно-канатного бурового станка вращается с частотой n. После отсоединения привода вала маховика последний остановился, совершив N полных оборотов. Пренебрегая сопротивлениями среды, определить момент трения М в опорах вала, считая этот момент постоянным, если масса маховика равна m, а радиус его инерции относительно оси вращения .

Ответ: .