3.1.2. Обратная задача

Для решения обратной задачи следует записать начальные условия и затем интегрировать дифференциальные уравнения движения. В том случае, когда нужно отыскивать закон движения точки или пройденный путь, записывают первую форму дифференциальных уравнений. Если требуется определить скорость точки, то используют вторую форму, при этом для прямолинейного движения достаточно лишь первого уравнения, содержащего .

Пример 3.2. Лодке сообщена начальная скорость v₀ = 6 м/с (рис.3.4). Через 69 с после начала движения эта скорость уменьшается вдвое. Найти закон движения лодки, если сила сопротивления воды пропорциональна скорости лодки. Какой путь она пройдет через 100 с после начала движения?

Решение. Будем рассматривать лодку как материальную точку. На нее действуют вертикальные силы: вес и реакция воды (архимедова сила) , а также горизонтальная сила сопротивления воды, причем , где – коэффициент сопротивления; – скорость лодки. Дифференциальное уравнение движения в проекции на ось х имеет вид

или

.

Решим последнее уравнение. Разделяя переменные

и интегрируя обе части, имеем

.

Постоянную интегрирования С₁ найдем из начального условия: при . Отсюда и тогда

.

Подставив в это равенство значение с, найдем отношение

.

Скорость лодки . Теперь координату х найдем интегрированием:

или

.

Для определения постоянной С₂ используем начальное условие: x₀ = 0 при t₀ = 0. Следовательно, , и, учитывая, что  м/с, получим м. Пройденный лодкой путь через время t = 100 c  м.

Задача 3.10. Вследствие полученного толчка кусок руды начал скользить вниз с начальной скоростью  м/с вдоль неподвижной ленты конвейера, расположенной под углом 30 к горизонту. Определить закон движения куска руды, считая его точечной массой. Найти также пройденный путь за промежуток времени t₁ = 2 с. Коэффициент трения о ленту конвейера f = 0,4.

Ответ:  м.

Задача 3.11. Тело массой m из-за полученного толчка прошло по горизонтальной негладкой плоскости расстояние s = 24,5 м за время 5 с и остановилось. Найти коэффициент трения f.

Ответ: f = 0,2.

Задача 3.12. Тело массой 10 кг поднимается без начальной скорости по шероховатой плоскости, наклоненной под углом 45 к горизонту. Коэффициент трения f = 0,414. На тело действует сила тяги F = (60t + 98) Н, направленная вверх вдоль плоскости. Найти закон движения тела.

Ответ:  м.

Задача 3.13. Тело массой 10 кг поднимается по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона  рад. Коэффициент трения 0,48. Сила тяги F = (60t + 69) Н, приложенная к телу, параллельна плоскости и направлена вверх. Начальная скорость тела  м/с. Каков закон движения?

Ответ:

Задача 3.14. Тело весом 20 Н спускается без начальной скорости по шероховатой плоскости, наклоненной к горизонту под углом 30. Коэффициент трения . На тело действует сила тяги  Н, направленная вниз вдоль наклонной плоскости. Найти закон движения тела.

Ответ: .

Задача 3.15. Материальная точка совершает прямолинейное движение по горизонтальной гладкой плоскости под действием гармонической силы , где и – постоянные. Масса точки m, ее скорость в начальный момент равна . Найти уравнение движения точки.

Ответ: .

Задача 3.16. Тяжелое тело падает в воздухе без начальной скорости. Сопротивление воздуха имеет характер квадратичной зависимости от скорости тела: , где Р – вес тела; – размерный коэффициент пропорциональности. Определить величину скорости тела в зависимости от времени падения . Чему равно предельное значение скорости при ?

Ответ: ; .

Задача 3.17. Лыжник съезжает вниз по склону под углом 45, не отталкиваясь палками. Коэффициент трения лыж о снег на склоне Сопротивление воздуха для лыжника где k – постоянный коэффициент пропорциональности. При скорости  м/с сопротивление Н. Какую максимальную скорость может развить лыжник, если его масса вместе с лыжами составляет 90 кг? Какова будет максимальная скорость , когда за счет улучшения свойств мази коэффициент трения уменьшится до 0,05?

Ответ: = 108 км/ч; 111 км/ч.

Задача 3.18. Тело погружается в воду поступательно без начальной скорости, имея небольшую отрицательную плавучесть Р (под плавучестью понимают разность между выталкивающей силой и весом тела). Сопротивление воды при небольшой плавучести можно принять пропорциональным скорости и равным , где k – коэффициент пропорциональности; S – площадь горизонтальной проекции тела. Масса тела равна m. Найти закон изменения скорости тела.

Ответ:

Задача 3.19. При небольших скоростях движения рудничного поезда сопротивление движению Н, где Р – вес поезда, МН; – его скорость, м/с. Начав движение из состояния покоя, поезд весом 0,4 МН достигает скорости км/ч. Найти время движения и пройденный путь s, если сила тяги электровоза F = 2 кН.

Ответ: с; м.

Задача 3.20. Измерение глубины реки производится с помощью груза, опускаемого на тросе в воду до дна реки. При опускании груза со скоростью v₀ трос оборвался и груз достиг дна через время Т после обрыва троса. Определить путь s, пройденный грузом с этого момента, если сила сопротивления воды R = kmv, где k – постоянный коэффициент; m – масса груза; v – скорость. Выталкивающей силой воды пренебречь.

Ответ:

Задача 3.21. Парашютист перемещается вниз по вертикали без начальной скорости с высоты при действии силы квадратичного сопротивления R = k²mv², где k = const; m – масса парашютиста. Найти скорость парашютиста при приземлении.

Ответ: