3.2.2. Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – колебания, реализуемые в системе с силой упругости под действием внешней возмущающей силы , зависящей от времени. Под чисто вынужденными колебаниями в системе без сил трения понимают частное решение х₂ неоднородного дифференциального уравнения

. (3.3)

Если функция имеет гармонический характер , то частное решение при отсутствии резонанса имеет вид

. (3.4)

При резонансе частота внешней возмущающей силы совпадает с частотой собственных колебаний и амплитуда вынужденных колебаний велика (стремится к бесконечности, если не учитывать трения). Другим способом возбуждения вынужденных колебаний может быть кинематическое возбуждение, когда тело, на котором закреплена колебательная система (рис.3.8), совершает колебания относительно неподвижного основания по закону . Для относительной координаты х груза массой m тогда получим уравнение

, (3.5)

которое приводится к уравнению (3.3), если принять .

Пример 3.4. Для регистрации колебаний железнодорожного вагона к потолку вагона подвешена пружина жесткостью с = 0,1 Н/см. К концу пружины прикреплен груз массой 98 г. При вертикальных колебаниях вагона возникают колебания груза относительно вагона. Написать уравнение этих колебаний, если закон колебательного движения вагона где а = 0,5 см,  с^–1.

Решение. Имеем кинематическое возбуждение колебаний, поэтому Значит, , и по формуле (3.4) находим

Здесь , с = 10 Н/м,  кг, поэтому  с^–1, причем .

Амплитуда колебаний

 м.

Значит,  м.

Отметим, что найденные колебания груза незначительно отличаются по величине от закона колебаний вагона поскольку здесь частота собственных колебаний k существенно меньше . Действительно, полагая в решении для х₂ k = 0, получим . Этого можно добиться, взяв пружину малой жесткости.

Задача 3.32. Груз Q весом 2 Н подвешен на пружине, жесткость которой с = 10 Н/см, и находится под действием силы S = Hsinpt, причем р = 50 с^–1, Н = 20 Н. Определить закон вынужденных колебаний груза около положения статического равновесия.

Ответ: x = 4,0810^-2sin50t м.

Задача 3.33. Статический прогиб рессор груженого товарного вагона _ст = 5 см. При движении вагон испытывает толчки на стыках рельсов, вызывающие вынужденные колебания его на рессорах. Найти критическую скорость движения вагона, при которой начинается «галопирование» вагона, если длина рельсов от стыка до стыка L = 12 м.

Ответ: v = 96 км/ч.

Задача 3.34. Найти уравнение прямолинейного движения точки массой m, находящейся под действием восстанавливающей силы пружины жесткости с и внешней вынуждающей силы, линейно возрастающей во времени: F = at(a > 0). В начальный момент точка находилась в положении статического равновесия и ее скорость была равна нулю.

Ответ:

Задача 3.35. Гиря М подвешена на вертикальной пружине, верхний конец которой совершает гармонические колебания по закону asinpt, где а = 2 см, р = 7 с^–1. Масса гири 0,4 кг, а пружина такова, что для ее удлинения на 1 см необходима сила 0,40 Н. Определить вынужденные колебания гири около положения статического равновесия.

Ответ:  м.

Задача 3.36. Пневматический отбойный молоток приводится в движение сжатым воздухом, поступающим в корпус молотка. Сила давления на поршень молотка изменяется по уравнению где р, Н₀, Н₁ и Н₃ – постоянные. Найти вынужденные колебания поршня в неподвижном корпусе, если поршень связан с корпусом пружиной жесткостью с. Масса поршня равна m.

Ответ: