1.2. Равновесие плоской системы сил

Плоской системой сил называется система, в которой все силы действуют в одной плоскости. Условия равновесия плоской системы сил

где – сумма моментов всех сил относительно выбранного центра О.

Если ось x не перпендикулярна направлению силы, уравнения равновесия принимают вид

.

Если точки приложения сил А, В и С не лежат на одной прямой, равнения равновесия плоской системы сил записывают в виде

где – суммы моментов всех сил относительно точек A, B и C.

Пример 1.2. Однородная балка АВ весом 600 Н закреплена в точке А шарниром (рис.1.11). К концу балки В подвешен груз весом Q₁ = 100 Н. В равновесии балка удерживается веревкой, прикрепленной к балке в точке С и натягиваемой грузом Q₂. Найти вес этого груза и реакцию шарнира, если АС=AD=2/3АВ. Трением в блоке пренебречь.

Решение. На балку действуют сле­дующие силы: Р – вес балки, приложенный в ее середине Q₁ – вес подвешенного в точке В груза, реакция веревки СD (= Q₂), реакция шарнира А. Направление последней заранее не знаем, поэтому раскладываем ее на две составляющие: горизонтальную R₁ и вертикальную R₂. Если найдем R₁ и R₂, то по формуле можно вычислить модуль реакции шарнира.

Всего на балку действует пять сил (H, Q₁, Q₂, R₁, R₂), для которых надо составить три уравнения равновесия.

Выберем начало координат в точке А, оси направим по силам R₁ и R₂. За центр моментов возьмем точку А, в которой пересекаются линии действия неизвестных сил R₁ и R₂, благодаря чему они не войдут в уравнение моментов. Составим уравнения равновесия:

X = –R₁ +cos 30 = 0;

Y = R₂ – P – Q₁ –cos 60 = 0;

После вычислений получим R₁ = –520 Н, R₂ = 1000 Н, Q₂ = 600 Н.

Задача 1.12. Однородная балка АВ весом 400 Н опирается своими концами на гладкие горизонтальную и вертикальную плоскости (рис.1.12). В точке С к балке привязана веревка ОС, причем ОС  АВ. Найти натяжение веревки и реакции опор.

Ответ: 200 Н; 500 Н; 173 Н.

Задача 1.13. Горизонтальная бал­ка весом 120 Н одним концом шарнирно закреплена в точке А, а концом В подвешена к стене посредством тяги ВС (рис.1.13). На конце балки висит груз Q = 500 Н. Найти натяжение веревки и реакцию шарнира, если АВ = 60 см, АС = 32 см.

Ответ: Т = 1190 Н; x_A = 1050 Н; y_A = 60 Н.

Задача 1.14. Кран для подъема тяжестей состоит из балки АВ весом 100 Н, нижний конец которой соединен со стеной шарниром А, а верхний удерживается горизонтальной веревкой ВС (рис.1.14). Найти натяжение веревки ВС и реакцию шарнира, если вес груза Q = 1000 Н, АВ = 2 м, АС = 1,2 м.

Ответ: Т = 1400 Н; x_A = 1400 Н; y_A = 1100 Н.

Задача 1.15. К гладкой стене прислонена лестница АВ под углом 60 к горизонту, вес лестницы 200 Н (рис.1.15). В точке В стоит человек весом 800 Н. Найти реакции опор, если вес лестницы приложен к ее середине.

Ответ: R_B = 520 Н; X_A = 520 Н; y_A = 1000 Н.

Задача 1.16. Однородный стержень весом 100 Н опирается одним концом на гладкий пол, а другим – на гладкую стену (рис.1.16). Стержень удерживается в равновесии веревкой АС, протянутой по полу. Найти натяжение веревки и реакции опор.

Ответ: Т = 28,8 Н; R_B = 28,8 Н; R_А = 100 Н.

Задача 1.17. Стропила односкатной крыши состоят из бруса АВ, верхний конец В которого свободно лежит на гладкой опоре, а нижний А упирается в стену (рис.1.17). Брус весит 3,5 кН. На расстоянии АD = 0,25 АВ находится слуховое окно весом 1 кН. Найти реакции опор.

Ответ: R_B = 1,73 кН; X_A = 0,87 кН; Y_A = 3 кН.

Задача 1.18. Однородная горизонтальная балка весом 1 кН одним концом шарнирно закреплена, а другим концом подвешена к стене посредством тяги ВС (рис.1.18). На балке в точке D лежит груз весом 2 кН на расстоянии АD = 0,25 АВ. Найти натяжение тяги и реакцию шарнира.

Ответ: Т = 2 кН; X_A = 1,73 кН; Y_A = 2 кН.

Задача 1.19. Кран для подъема тяжестей состоит из балки весом 200 Н, нижний конец которой соединен со стеной шарниром, а верхний удерживается горизонтальным тросом (рис.1.19). Найти натяжение троса и реакцию шарнира, если груз, закрепленный на конце троса, весит 200 Н.

Ответ: Т = 173 Н; X_A = 173 Н; Y_A = 400 Н.

Задача 1.20. Найти реакцию шарнира А и усилие в невесомой подпорке СD, если вес однородной балки АВ равен 200 Н, вес подвешенного груза Q = 50 Н, СВ = 0,25АВ (рис.1.20).

Ответ: X_A = 346 Н; Y_A = 50 Н; S = 400 Н.

Задача 1.21. Нижний конец однородной балки весом 300 Н закреплен шарниром; промежуточной точкой С она опирается на выступ (рис.1.21). К концу балки подвешен груз Q = 600 Н. Найти опорные реакции, если АС = 0,75АВ.

Ответ: R_С = 866 Н; X_A = 433 Н; Y_A = 150 Н.

З адача 1.22. Однородный брус весом Н опирается своим концом В на гладкую плоскость, другой конец закреплен шарнирно (рис.1.22). Вес груза Q = 16 Н, ВС = 0,25АВ. Найти опорные реакции.

Ответ: R_B = 6 Н; X_A = 19 Н; Y_A = 22,5 Н.

Задача 1.23. Один конец однородного стержня весом Н закреплен при помощи шарнира, другой удерживается веревкой ВС (рис.1.23). В точке D к стержню привязана веревка, натягиваемая грузом Q = 16 Н. Найти реакцию шарнира и натяжение веревки ВС, если ВD = 0,25АВ.

Ответ: X_A = 10 Н; Y_A = 3,46 Н; Т = 12 Н.

Задача 1.24. Однородный стержень весом Н одним концом закреплен шарнирно, а промежуточной точкой С упирается в выступ стены (рис.1.24). Стержень удерживается в равновесии при помощи веревки, натягиваемой грузом Q = 40 Н. Найти опорные нагрузки, если АС = 0,25АВ.

Ответ: R_С = 42 Н; X_А = 41 Н; Y_А = 15,6 Н.

Задача 1.25. Однородный стержень весом Н закреплен шарнирно и опирается одним концом на гладкую плоскость (рис.1.25). К другому концу привязана веревка, натягиваемая грузом Q = 4 Н. Найти опорные реакции, если АС = АВ/3.

Ответ: R_А = 14 Н; Y_С = 21,2 Н; X_С = 7,07 Н.

Задача 1.26. Однородный стержень весом 34,6 Н одним концом закреплен шарнирно, а промежуточной точкой С опирается на выступ стены (рис.1.26). К другому концу привязана веревка, натягиваемая грузом Q = 60 Н. Найти опорные реакции, если ОС = = 0,75ОА.

Ответ: R_С = 100 Н; X_О = 20 Н; Y_О = 0.

Задача 1.27. Однородная балка весом 400 Н покоится на двух опорах. В точке С к балке привязана веревка, натягиваемая грузом Q = Н (рис.1.27). Найти опорные реакции, если ОС = 0,75АВ.

Ответ: R_В = 110 Н; X_А = 69 Н; Y_А = 170 Н.