3.6. Метод кинетостатики для материальной точки
Этот метод применяют для расчета движения несвободной материальной точки, так как он позволяет определить реакции связей. Векторное уравнение движения записывается в виде
(3.9)
где
и
– соответственно активная сила и реакция
связи, приложенные к точке;
–
мысленно приложенная к точке сила
инерции,
Равенство (3.9) можно проектировать на какие-либо оси (прямоугольные оси либо на касательную и нормаль к траектории) и из полученных уравнений в проекциях находить реакции. В проекциях на касательную и главную нормаль, например, имеем соответственно
(3.10)
радиус
кривизны траектории.
Метод кинетостатики удобно применять в сочетании с теоремой об изменении кинетической энергии точки, так как из этой теоремы можно найти величину v2, входящую в слагаемое уравнения (3.10).
Пример 3.9. Маятнику массой m на невесомой нити длиной l в начальном положении М0 с углом 0 придали начальную скорость v0 по касательной к его траектории вниз (рис.3.17). Найти силу натяжения нити маятника в зависимости от угла его отклонения . Чему равна максимальная сила натяжения?
Решение. В произвольном положении
маятника с углом
на него действуют
следующие силы (рис.3.17):
вес;
сила натяжения нити;
нормальная сила инерции. Последняя
направлена против нормального ускорения
точки М,
т.е. против внутренней нормали
В проекции на нормаль, учитывая, что
получим
(3.11)
К этому равенству следует добавить уравнение теоремы о кинетической энергии точки
Сумма работ здесь сводится лишь к работе силы тяжести:
Из теоремы о кинетической энергии найдем
:
Подставив это значение в уравнение (3.11), можно записать
Очевидно, что сила натяжения будет
максимальной при
:
Например, при
и
получим
Задача 3.69. Тяжелая стальная отливка весом Р = 200 Н прикреплена к стержню, который может вращаться без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси. Отливка падает из наивысшего положения с ничтожно малой скоростью. Пренебрегая массой стержня, определить наибольшее давление на ось.
Ответ: 1 кН.
Задача 3.70. Какую скорость должен иметь вагон поезда на закруглении, чтобы его давление равномерно распределялось на оба рельса, т.е. чтобы его направление было перпендикулярно полотну дороги? Возвышение наружного рельса над внутренним 5 см, ширина колеи 155 см, а радиус закругления 620 м.
Ответ: 50,4 км/ч.
Задача 3.71. Парашютист весом 700 Н выбросился из самолета и, пролетев 100 м, раскрыл парашют. Найти силу натяжения стропов парашюта, если в течение первых 5 с после раскрытия парашюта, при постоянной силе сопротивления воздуха, скорость парашютиста уменьшилась до 4,3 м/с. Сопротивлением воздуха движению пренебречь.
Задача 3.72. Материальная точка М1 (рис.3.18), находившаяся на вершине А гладкого полусферического купола, имела начальную скорость v0. В каком месте купола она оторвется от него? При какой величине v0 точка сорвется с купола уже на вершине А?
Ответ:
Задача 3.73. Самолет делает вираж в горизонтальной плоскости. Скорость самолета 756 км/ч. Подъемная сила направлена перпендикулярно плоскости крыльев. Найти радиус виража, если крылья наклонены к горизонту под углом 45.
Ответ: R = 4500 м.