2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси точки, лежащие на оси вращения, неподвижны, а остальные описывают окружности с центрами, находящимися на оси вращения, и радиусами, равными длине перпендикуляра, опущенного из точки на ось вращения. Эти окружности расположены в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси имеет вид

 = (t),

где  – угловая координата тела, рад. За положительное направление отсчета  принято направление против часовой стрелки.

Угол поворота тела  связан с числом оборотов тела N зависимостью

 = 2N.

Угловая скорость в радианах в секунду

,

а угловое ускорение в радианах на секунду в квадрате

.

Если в данный момент времени значения угловой скорости  и углового ускорения  тела имеют одинаковые знаки, то в этот момент тело вращается ускоренно, в противном случае вращение тела замедленное.

В технике угловую скорость часто определяют числом оборотов в минуту n. Переход от n к  осуществляется по формуле

.

Рассмотрим частные случаи вращения тела вокруг неподвижной оси:

1) равномерное вращение тела при  = const,  = 0. В этом случае уравнение вращения имеет вид

 = ₀ + t;

2) равнопеременное (равноускоренное или равнозамедленное) вращение тела ( = const). При этом  = ₀ + t, и уравнение вращения принимает вид

,

где ₀ и ₀ – соответственно начальные угловая координата и угловая скорость.

Скорость точки тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии h,

v = h.

Ускорение любой точки тела равно геометрической сумме нормального и касательного ускорений:

,

где модули w_n = 2h и w_ = h.

Модуль полного ускорения точки тела

.

Угол между вектором полного ускорения точки тела и направлением перпендикуляра, опущенного из точки на ось вращения, определяется равенством

.

Если угол  острый (</2), то движение является ускоренным, если угол тупой (>/2), то замедленным.

Пример 2.3. При пуске в ход трамвая вожатый включает постепенно реостат, вследствие чего угловое ускорение ротора мотора увеличивается пропорционально времени, и его угловая скорость через 6 с достигает 36 с^-1. Найти число оборотов, которое совершил ротор за это время, а также скорость и ускорение точки М обода ротора в момент времени t₁ = 3 с. Диаметр ротора d = 20 см.

Решение. Пусть  и  – проекции угловой скорости и углового ускорения на ось вращения ротора. Модуль углового ускорения  растет пропорционально времени. Следовательно, обозначая неизвестный коэффициент пропорциональности буквой k, получим

(2.1)

Умножив обе части равенства на dt и интегрируя, найдем угловую скорость:

где С – постоянная интегрирования.

В начальный момент t = 0 ротор был неподвижен ( = 0), следовательно, С = 0 и

. (2.2)

Тогда, согласно (2.1),

или

k = 2.

Из выражения (2.2) следует, что

 = t². (2.3)

Так как (здесь  – угол поворота ротора), после интегрирования запишем

.

При t = 0 угол поворота неподвижного ротора был равен нулю ( = 0). Следовательно, С₁ = 0, и окончательно

Полагая в последнем выражении t = 6 с, находим число оборотов, совершенное ротором за это время:

Следовательно, ротор за 6 с сделал

 оборотов.

Величину угловой скорости ротора в момент времени t = 3 с находим, пользуясь формулой (2.3):

 = 3² = 9 с^-1.

Модуль скорости точки обода

 м/с.

Скорость точки обода направлена перпендикулярно к радиусу в сторону вращения.

Нормальное ускорение точки обода в этот момент

 м/с².

Касательное ускорение

 м/с².

Полное ускорение

 м/с².

Угол между вектором полного ускорения точки и радиусом (рис.2.11)

;

 = arctg 0,0236  0,03 рад.

Задача 2.12. При изменении режима работы вала, вращающегося вокруг неподвижной оси, угол  между ускорением любой точки вала и перпендикуляром, опущенным из точки на ось, изменяется пропорционально времени ( = bt). Начальная угловая скорость вала равна ₀. Определить зависимости угловой скорости и углового ускорения вала от времени на интервале изменения режима 0  t  /2b.

Ответ: ; .

Задача 2.13. Искусственный спутник Земли, запущенный в СССР 4 октября 1957 г., первоначально имел период обращения 1 ч 36 мин. Определить его среднюю угловую скорость, скорость и ускорение спутника, считая его орбиту круговой, а высоту полета над поверхностью Земли h = 970 км. Радиус Земли считать равным 6370 км.

Ответ:  = 0,00109 с^-1; v = 8 км/с; w = 8,47 м/с².

Задача 2.14. Ротор турбины имел угловую скорость, соответствующую 3600 мин^-1. Вращаясь затем равноускоренно, он удвоил свою скорость за 12 с. Определить, сколько оборотов сделал ротор за это время.

Ответ: 1080 оборотов.

Задача 2.15. Вал компрессора, вращаясь равнозамедленно, уменьшил угловую скорость с 1400 до 1000 мин^-1, совершив при этом 9000 оборотов. Определить время, в течение которого произошло снижение угловой скорости.

Ответ: t = 45 с.

Задача 2.16. Колесо сепаратора радиусом 80 см, вращающееся в период разгона равноускоренно из состояния покоя, совершило за некоторое время 750 оборотов. Зная, что скорость точек на ободе колеса достигла при этом 200 м/с, вычислить время разгона.

Ответ: t = 37,7 с.

Задача 2.17. Груз поднимается по наклонной плоскости (рис.2.12) при помощи ворота так, что проходимое им расстояние s = 2t³ см. Определить скорость и ускорение конца рукоятки А после одного оборота, если радиус барабана r = 0,27 м, а длина рукоятки ОА = 0,54 м.

Ответ: v = 3,39 м/с; w = 21,3 м/с².