4.2. Теорема об изменении кинетического момента системы

Кинетическим моментом механической системы относительно некоторого центра называется геометрическая сумма кинетических моментов материальных точек системы относительно того же центра:

,

где – радиус-вектор i-й точки системы; m_i – масса этой точки; – скорость i-й точки.

Кинетическим моментом системы относительно некоторой оси называется алгебраическая сумма кинетических моментов материальных точек системы относительно той же оси:

При вращении тела вокруг неподвижной оси кинетический момент этого тела

где J_z – момент инерции тела относительно оси z; – проекция угловой скорости на эту ось.

Производная по времени от кинетического момента системы относительно неподвижного центра (неподвижной оси) равна главному моменту внешних сил относительно этого центра (этой оси):

где – главный момент внешних сил относительно центра; и – проекции главного момента относительно центра на оси координат, или кинетические моменты системы относительно осей координат.

Пример 4.2. К концу каната (рис.4.12), переброшенного через неподвижный блок, прикреплен груз М₁ весом , по другому концу каната перемещается противовес со скоростью относительно каната . Пренебрегая сопротивлением в подшипниках, найти скорость груза М₁, если вес блока , радиус его R, радиус инерции блока относительно оси вращения . В начальный момент скорости груза и противовеса равны нулю. Массой каната пренебречь.

Решение. Направим ось Oz перпендикулярно плоскости чертежа. По условию задачи главный момент внешних сил, действующих на систему груз – канат – противовес – блок,

,

где – реакция подшипника блока.

Тогда , откуда , но так как в начальный момент система покоилась, то и, следовательно, тождественно равен нулю: .

Запишем составляющие кинетического момента системы:

,

где , и – кинетические моменты груза, противовеса и блока соответственно,

; ; .

Так как , то

,

откуда .

Задача 4.11. Какой вращающий момент М_вр необходимо придать поворотному рычагу ручного бура (рис.4.13), чтобы привести его во вращение с угловым ускорением  вокруг бурильной колонны как оси, проходящей через центр тяжести поворотного рычага, если длина рычага l, а усилие, передаваемое от рычага через бурильную колонну на забой скважины, Р? Сопротивлением в скважине пренебречь.

Ответ: .

Задача 4.12. Приводной маховик ударно-канатного бурового станка, имеющий момент инерции относительно центральной оси J = 15 кгм², разгоняется из состояния покоя при действии постоянного вращающего момента М_вр = 75 Нм. Пренебрегая сопротивлениями, определить, за какое время t маховик приобретет заданную частоту вращения n = 150 мин^-1.

Ответ: t =  с.

Задача 4.13. К барабану буровой лебедки, момент инерции которого относительно оси вращения равен I, приложен вращающий момент М_вр = Asinkt, где А и k – постоянные величины. Пренебрегая трением, определить угловую скорость барабана ₁ в момент времени t₁ = /k, если ₀ = 0.

Ответ: ₁ = 2А/(kI).

З адача 4.14. Тормозной вал (рис.4.14) буровой лебедки массой m = 10 кг и радиусом R = 0,1 м вращается перед торможением с частотой n = 600 мин^-1 относительно продольной центральной оси. С какой силой Т надо прижать тормозную колодку к валу, чтобы остановить его за 10 с, если коэффициент трения скольжения колодки о вал f = 0,4, а радиус инерции вала относительно оси вращения  = 0,3? Трением в опорах вала пренебречь. Найти также число N полных оборотов вала с момента начала торможения до остановки.

Ответ: Т = 45 Н; N = 50 оборотов.

Задача 4.15. Круглый эксцентрик вибробура (рис.4.15), представляющий собой однородный круглый диск массой m = 1 кг и радиусом R = 1 м, расположенный в вертикальной плоскости, вращается вокруг горизонтальной оси на расстоянии ОС = R/2 от центра диска под действием вращающего момента М_вр = 3 Нм. Определить угловую скорость эксцентрика ₁ через 1 с после начала движения, если начальная угловая скорость ₀ = 0.

Ответ: ₁ = 2 рад/с.

Задача 4.16. Для определения статического напряжения сдвига бурового раствора используют проволочный торсион АС с подвешенным к нему цилиндрическим грузом Р (рис.4.16). Установить крутильную жесткость с_кр торсиона, если Р = 10 Н, радиус груза R = 0,1 м, период колебаний груза на торсионе  = 0,2 с. Массой проволочного торсиона пренебречь.

Ответ: с_кр = 5 Нм/рад.

Задача 4.17. Талевая тележка поворотного подъемного крана движется с постоянной скоростью v = 0,1 м/с относительно стрелы (рис.4.17). Мотор, вращающий кран, создает в период разгона постоянный момент М = 100 Дж. Определить угловую скорость  вращения крана как функцию расстояния тележки до оси вращения АВ, если вес тележки с грузом 1 кН. Вращение крана начинается из состояния покоя при x₀ = 0,5 м. Принять g = 10 м/с². Момент инерции крана без тележки J = 100 кгм².

Ответ:  рад/с.

Задача 4.18. Штурвал управления магистральной задвижкой представляет собой однородный диск радиусом r = 0,1 м и массой m₁ = 5 кг, соединенный с четырьмя стержнями длиной l = 0,5 м и массой m = 1 кг каждый (рис.4.18). Эта система вращается под действием внешнего момента с угловой скоростью  = 3t. Определить главный момент внешних сил системы относительно оси Oz.

Ответ: М = 1,795 Нм.

Задача 4.19. Резервуар 1 вращающегося дозатора рудной массы (рис.4.19), имеющий момент инерции относительно вертикальной оси J_z = 1 кгм², вращается с угловой скоростью ₀ = 18 рад/с. После открытия задвижки 2 он заполняется сыпучей рудной массой. Вычислить угловую скорость ₁ заполненного резервуара, если его момент инерции J_z1 = 3 кгм².

Ответ: ₁ = 6 рад/с.

Задача 4.20. На дифференциальный барабан 2 (рис.4.20) кабестана буровой лебедки, момент инерции которого относительно оси вращения J = 0,05 кгм², намотаны тросы, к которым прикреплены грузы 1 и 3 (). Определить кинетический момент системы относительно оси вращения, если угловая скорость вращения барабана  = 8 рад/с, а радиус .

Ответ: кгм².