1.4. Равновесие пространственной системы сил

Пространственная система сил может быть приведена, как это было показано выше, к главному вектору и главному моменту, модули которых в случае равновесия должны быть равны нулю. Отсюда могут быть получены соответствующие уравнения равновесия:

.

Эта система уравнений для случая пространственной системы параллельных сил при условии, что одна из координатных осей параллельна заданным силам, принимает вид

Пространственная система сходящихся сил имеет следующие уравнения равновесия:

Пример 1.4. Однородная горизонтальная полка весом P = 120 Н удерживается на подпятнике А, шарнирной опоре В и веревкой СЕ, наклоненной под углом  = 45 к поверхности полки (рис.1.35). Найти реакции шарниров и натяжение веревки Т.

Решение. Обозначим реакции опор: A_x, A_y, A_z, B_y, B_z, T. Всего шесть неизвестных величин, для их определения составим шесть уравнений равновесия пространственной системы сил:

; (1.1)

; (1.2)

; (1.3)

; (1.4)

; (1.5)

. (1.6)

Из уравнения (1.1) следует A_x = 0, а из уравнения (1.4) можно вычислить

 Н.

Теперь из уравнения (1.6) можно определить

Н

и затем из уравнения (1.2)

.

Из уравнения (1.5) получим

Н,

а из уравнения (1.3) найдем последнюю неизвестную

.

Окончательно имеем  Н;  Н;  Н.

Задача 1.34. Однородная полка весом 20 Н удерживается веревкой DE (рис.1.36). Найти реакции сферического шарнира А, цилиндрического шарнира В и натяжение веревки.

Ответ:  Н; ;  Н;  Н.

Задача 1.35. Ворот состоит из барабана радиусом 10 см и колеса радиусом 40 см, укрепленных на оси АВ (рис.1.37). Сила Р параллельна оси А_x, вес груза Q = 300 Н. Найти реакции подшипников и величину силы Р.

Ответ:  Н;  Н;  Н;  Н;  Н.

Задача 1.36. Прямоугольная однородная крышка весом 30 Н удерживается в равновесии веревкой CD, параллельной оси A_y (рис.1.38). Найти реакции шарниров и натяжение веревки.

Ответ:  Н;  Н;  Н;  Н.

Задача 1.37. Вал ворота и его рукоятка расположены в одной вертикальной плоскости (рис.1.39). На вал насажен шкив радиусом R = 50 см. Пренебрегая весом вала и шкива, найти в положении равновесия реакцию подшипников и силу Р, которая параллельна оси x, если вес груза Q = 80 Н.

Ответ:  Н;  Н;  Н;  Н;  Н.

Задача 1.38. Прямоугольная однородная крышка весом 40 Н удерживается в равновесии противовесом Q. Найти вес груза Q и реакции шарниров, если блок D укреплен на  одной вертикали с опорой А (рис.1.40).

Ответ: А_y = 17,3 Н; А_z = 10 Н; B_y = 0; B_z = 20 Н; Q = 20 Н.

Задача 1.39. Однородная полка весом 100 Н удерживается в равновесии невесомым стержнем СЕ (рис.1.41). Найти реакции цилиндрических шарниров и усилие в стержне.

Ответ: А_x = –50 Н; А_z = 0 Н; B_x = 0; B_z = 50 Н; Q = 71,3 Н.

З адача 1.40. Однородная прямоугольная дверь весом 283 Н удерживается в равновесии двумя веревками, из которых одна (СD) параллельна оси x, перекинута через блок и натягивается грузом Q = 100 Н, другая ЕF параллельна оси y (рис.1.42). Пренебрегая трением в блоке, найти натяжение веревки EF, а также реакции цилиндрического шарнира В и подпятника А, если АВ = 2ВС.

Ответ:  Н;  Н;  Н;  Н;  Н;  Н.

Задача 1.41. К вертикальной стене на петлях подвешена прямоугольная плита весом 180 Н, удерживаемая веревкой CD и параллельная оси y (рис.1.43). Найти реакции петель и натяжение веревки.

Ответ:  Н;  Н; Н; Н.

Задача 1.42. Найти в положении равновесия реакции подшипников коленчатого вала (рис.1.44), весом которого пренебречь, и силу Q, если колено находится в плоскости yAz, сила Q перпендикулярна CD и составляет с горизонтом угол 45, а сила F = 500 Н параллельна оси x, вес маховика 400 Н; R =50 см.

Ответ:  Н;  Н;  Н;  Н; .

З адача 1.43. Однородная прямоугольная пластина весит 40 Н. Точки А и Е находятся на одной вертикали. Найти реакции цилиндрического шарнира А и подпятника В, а также натяжение веревки ЕС (рис.1.45).

Ответ:  Н;  Н;  Н;  Н; ;  Н.

Задача 1.44. Трансмиссия состоит из вала АВ длиной 100 см и шкивов С и D с радиусами соответственно r = 10 см и R = 15 см (рис.1.46). Ветви ремней, расположенных в плоскостях шкивов, имеют натяжение Т₁ = 100 Н, Т₂ = 400 Н, Т₃ = 200 Н. Вес трансмиссии приложен в точке К и равен 500 Н, АС = 20 см, АК = 60 см, АD = 70 см. Найти реакции подшипников и силу Т₄.

Ответ: ; Н; Н; Н;  Н.

Задача 1.45. Однородная полка CDEH весом 100 Н удерживается в горизонтальном положении невесомым стержнем КН; АВ = 100 см, AС = BD = = 20 см (рис.1.47). Найти усилие в стержне и реакции петель.

Ответ:  Н; Н;  Н; Н;  Н.

Задача 1.46. Вал ворота и его рукоятка расположены в плоскости yAz (рис.1.48). Сила Q = 283 Н действует по касательной к шкиву и под углом 45 к горизонту. К рукоятке приложена сила Р, параллельная оси x. Пренебрегая весом вала и шкива, найти силу Р и реакции подшипников, если r = 10 см.

Ответ:  Н;  Н;  Н;  Н;  Н.

Задача 1.47. Однородная полка весом 40 Н удерживается в горизонтальном положении веревкой DE, расположенной в плоскости, параллельной xAz (рис.1.49). Найти реакции шарниров и натяжение веревки, если CD = AB/4.

Ответ: Н;  Н;  Н;  Н;  Н.