5. Аналитическая динамика

5.1. Принцип возможных перемещений

Для решения задач о равновесии материальной системы с идеальными связями используется принцип возможных перемещений (ПВП), согласно которому для равновесия необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на систему активных сил обращалась в нуль.

Возможными называются бесконечно малые перемещения точек системы, которые допускаются наложенными на систему связями. Эти перемещения с точностью до малых высшего порядка допустимо считать прямолинейными. Общее число взаимно независимых возможных перемещений называется числом степеней свободы.

Наложенные на систему связи называются идеальными, если их реакции в процессе возможных перемещений работу не производят. Таким образом, согласно ПВП, имеем

где – элементарная работа активных сил, приложенных к i-й точке системы, на одном из возможных перемещений.

Если система имеет степеней свободы, то составляется таких уравнений, причем каждое из них соответствует возможному изменению только одной из этих степеней.

Пример 5.1. Имеется четырехшарнирная балка (рис.5.1, а), на которую действуют активные силы и . Определить реакцию скользящей шарнирной опоры .

Решение. Это статически определимая система, которая непосредственно возможных перемещений не имеет. Мысленно отбросим опору , заменив ее действие реакцией . В результате эта реакция переводится в разряд активных сил, а система превращается в механизм с одной степенью свободы. Сообщим этому механизму возможное перемещение. Его положение после одного из таких перемещений характеризуется ломаной (рис.5.1, б). Основное уравнение ПВП в данном случае имеет вид

.

Из геометрии перемещения видно, что После подстановки получим

Сократим последнее выражение на и разрешим его относительно R_D. Тогда

Задача 5.1. Определить условие равновесия кривошипно-шатунного механизма (рис.5.2) под действием вращающего момента М, приложенного к кривошипу ОА, и силы , действующей на ползун. Положить, что ОА = АВ = l, а угол  считать заданным.

Ответ: М = 2Plsin.

Задача 5.2. Невесомый стержневой ромб ОАВС (рис.5.3), к узлу С которого подвешен груз веса Р, находится в равновесии под действием горизонтальной силы Определить модуль этой силы, если угол при вершине А ромба равен 2.

Ответ:

Задача 5.3. Определить условия равновесия плоской стержневой системы (рис.5.4) под действием активных сил и .

Ответ:

Задача 5.4. В кулисном механизме ползун А перемещается вдоль рычага ОС и приводит в движение стержень АВ, движущийся в вертикальном направлении (рис.5.5). Найти силу Q, которая уравновешивает вертикальную силу Р.

Ответ: .

Задача 5.5. Полиспаст состоит из неподвижного блока А и двух подвижных блоков (рис.5.6). Он поднимает груз весом Q; к концу каната приложена сила Р. Определить условие равновесия.

Ответ: .

Задача 5.6. Кулак K находится в покое, поддерживая стержень АВ (рис.5.7). Найти горизонтальную силу F, которая уравновешивает вес стержня Р. Горизонтальное основание – абсолютно гладкое.

Ответ:

Задача 5.7. Составная балка состоит из трех балок, соединенных в шарнирах В и D (рис.5.8). Определить реактивную силу R и момент M в заделке.

О твет: ; .

Задача 5.8. Г-образная рама (рис.5.9) имеет промежуточный шар­нир C и находится в равновесии под действием сил и . Определить вертикальную составляющую реакции в заделке R.

Ответ: .