2. Кинематика

2.1. Траектория и уравнение движения точки

Траектория может быть плоской или пространственной кривой. Движение точки определяется заданием закона движения. В кинематике рассматривают три способа задания движения: векторный, координатный и естественный.

При векторном способе задания закона движения радиус-вектор движущейся точки М (рис.2.1) является функцией времени t:

.

При координатном способе закон движения точки есть зависимость трех ее координат от времени (рис.2.1):

x = f₁(t), y = f₂(t), z = f₃(t).

Для определения уравнения траектории точки необходимо из этих уравнений исключить время и получить зависимости вида

₁(x, y, z) = 0; ₂(x, y, z) = 0; ₃(x, y, z) = 0.

Третий способ задания движения называется естественным и движение точки описывается уравнением

,

где  – криволинейная координата, отсчитываемая от некоторой начальной точки О на траектории (рис.2.2). Криволинейная координата – это длина дуги, которую по одну сторону от начальной точки считают положительной, а по другую – отрицательной.

При этом способе задания движения точки предполагается, что траектория движущейся точки известна.

Пример 2.1. Кривошип ON длиною a вращается в плоскости рисунка вокруг неподвижной точки О (рис.2.3). Угол  между неподвижной осью Ox и кривошипом изменяется пропорционально времени:  = kt. Определить закон движения точки N, найти уравнение ее траектории, определить время одного полного оборота точки N и момент времени, когда обе координаты точки равны между собой.

Решение. Для составления уравнений движения точки N надо представить ее координаты как функции времени. Координаты точки N согласно рис.2.3

x = ON cos  = a cos kt;

y = ON sin  = a sin kt.

Это и будут искомые уравнения движения точки N.

Уравнение траектории точки получим, возведя каждое уравнение движения в квадрат (x² = a²cos²kt; y² = a²sin²kt) и сложив их:

x²+y² = a².

Это уравнение – уравнение окружности радиусом a с центром в начале координат (рис.2.3).

Определим время одного полного оборота точки N, т.е. время T, в течение которого угол  изменится на величину 2 рад:  = kT = 2, откуда

.

Найдем начальное положение движущейся точки N. Для этого в уравнения движения следует подставить t = 0. Тогда x₀ = a, y₀ = 0.

Определим момент времени, когда обе координаты точки N равны между собой:

x = y = a cos kt₁ = a sin kt₁,

т.е.

tg kt₁ = 1.

Это равенство возможно при

,

где n = 0,1,2,3,… .

И з последнего равенства можно установить моменты времени, в которые координаты точки равны между собой:

.

Задача 2.1. Тело М (рис.2.4), брошенное под углом к горизонту, если пренебречь сопротивлением воздуха, движется согласно уравнениям

; ,

где v₀, , g – постоянные величины.

Определить уравнение траектории точки, наибольшую высоту h ее подъема над уровнем начального положения, расстояние s по горизонтали, при котором точка достигнет наивысшего положения, а также дальность полета по горизонтали l.

Ответ: ; ; ; .

Задача 2.2. Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно уравнению x = t; по поперечине крана катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению y = 1,5t (x и y – в метрах, t – в секундах). Талевая цепь укорачивается со скоростью v = 0,5t м/с. Определить траекторию движения центра тяжести груза; в начальный момент центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости Оxy; ось Оz направлена вертикально вверх.

Ответ: прямая (y = 1,5x; z = 0,5x).

Задача 2.3. По заданным в векторной форме уравнениям движения точки определить ее траекторию:

1) ;

2) ;

3) ;

4) 

5) 

Ответ: 1) 3х + 2y = 7, z = 0(1  x ≤ ); 2)  ; 3) x² + (y – 1)² = 9, z = 0; 4) y = cos2z, x = 0 (0  z ≤ ); 5) x = 1 – 2z², y = 0(–1  x ≤ 1).

З адача 2.4. Стержень АВ длиной l поворачивается относительно точки В (рис.2.5) так, что угол  изменяется по закону  = t, а ползун В совершает гармонические колебания согласно уравнению s = a + bsint. Определить траекторию точки А.

Ответ: (эллипс).

Задача 2.5. Стержень АВ длиной l (рис.2.6) движется так, что конец А скользит по неподвижной прямой Оу, а ось стержня АВ проходит через неподвижную точку С, отстоящую от оси Оу на расстояние ОС = а. Найти уравнение кривой, по которой движется точка В.

Ответ: .