978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Данный раздел посвящен одному из основных понятий математики — интегралу, происхождение и развитие которого тесно связано с решением многих практических задач, например, с вычислением площадей пло-

ских фигур, нахождением пути, пройденного телом, определением работы по перемещению груза и т. п.

Если с помощью производной по закону движения можно определить скорость, то операция интегрирования позволит найти закон движения по ее скорости. Точно также, если сила тока является производной заряда по времени, то с помощью интегрирования можно вычислить заряд по данной силе тока и т. п.

Готовимся к изучению темы «Интеграл и его приложения»

Для подготовки к изучению темы можно обратиться к разде- лам 1 и 3, а также использовать материал, приведенный ниже в виде таблиц.

Таблица производных

Таблица 32

x =x(t) —закондвиженияточки, x′(t)= v(t) — зависимость скорос- то есть зависимость координаты ти движения точки от времени точки от времени

v = v(t) — зависимость скорости v′(t)= а(t) — зависимость ускоре- движения точки от времени ния точки от времени

q =q(t) —зависимостьвеличины q′(t)= I(t) — зависимость силы заряда, проходящего через по- тока от времени перечное сечение проводника, от времени

у = f(t) — закон изменения не- f ′(t) — скорость изменения этой которой величины с течением величины времени

Тест для диагностики готовности к изучению темы «Интеграл и его приложения»

1.Каков закон прямолинейного равномерного движения точки, если ее скорость равна 2, а координата в начальный момент времени t = 0 равна –3?

3 – 2t. Б. х = –2 + 3t. В. х = 2 – 3t. Г. х = –3 + 2t.

Неравномерно относительно переменной t изменяется вели- чина ...

А. I = I0t .

В. ρ = ρ0 (t − t0 ) .

3. Материальная точка движется вдоль координатной прямой по закону х = –2sin t + t, где х — координата точки, t — время (t ≥ 0). Какова скорость точки в момент времени t = p?

А. 0. Б. 3. В. –3. Г. –1.

В. Скорости равны.

Г. Определить невозможно.

7.Какая из функций f(x) = 2x или g(x) = х2 имеет большую ско- рость изменения в точке х = 12 ?

А. у = f(x). Б. у = g(x).

Имеют одинаковые скорости. Г. Определить невозможно. Укажите среди приведенных функцию, производная которой равна производной функции у = f(x), если С – произвольное число.

12.Производной какой физической величины является скорость движения?

Закона движения. Б. Времени. Ускорения движения.

Величины, отличной от приведенных.

Производной какой физической величины является ускоре- ние движения?

Закона движения. Б. Времени. Скорости движения.

Величины, отличной от приведенных.

Чему равна площадь фигуры, затушеванной на рисунке?

1.Б. 2. В. 3.

Ответ отличен от приведенных.

§9. Первообразная

С помощью производной в предыдущем разделе находили скорость движения тела по закону его движения, угловой коэффициент касательной к кривой по уравнению кривой. Однако нередко приходится решать обратные задачи: по известной скорости находить закон движения тела, по угловому коэффициенту касательной к кривой – уравнение самой кривой и т.п. Решение каждой из сформулированных задач сводится к нахождению­ функции по ее производной. Данный параграф посвящен рассмотрению этой обобщенной задачи.

1. Первообразная функция и ее основное свойство

Нахождение функции по ее производной называ-

ется интегрированием. Интегрирование — опе- рация, обратная дифференцированию. Рассмотрим одну из задач, решаемых с помощью операции интегрирования.

Допустим, что материальная точка движется прямолинейно вдоль координатной прямой со скоростью v = 3t. Нужно найти за- кон ее движения x = x(t), то есть зависимость ее координаты от времени. Известно, что v(t) = x′(t) . Таким образом, необходимо

найти функцию, производная которой равна 3t. Нетрудно видеть, что такой функцией является, например, функция x(t) = 32t2 , так

как x′(t) = 62t = 3t . Однако задача решена не полностью: любая

стоянная, также может быть искомым законом движения (про-

верьте!). Чтобы уточнить ситуацию, следует задать дополнитель- ные условия (их еще называют начальными условиями). Например, указывают координату движущейся точки в какой-то момент времени. Допустим, что в момент времени t = 0 точка име-

ла координату 1, то есть х(0) = 1. Тогда для нахождения постоян-

движения определен однозначно: x(t) = 3t2 + 1 .

2

Следовательно, зная производную x′(t) = v(t) функции x(t), мы

нашли саму функцию. Функцию x = x(t) называют первообраз- ной для функции v = v(t).

Обобщим вышесказанное.

Функция у = F(х) называется первообразной для фун- кции у = f(х) на заданном промежутке, если для всех

х из этого промежутка выполняется равенство

F′(х) = f(х).

Например, функция y = cos x – первообразная для функции

на интервале(0; + ∞) . Однако она не является первообразной для этой функции на промежутке [0; + ∞) , так как равенство F′(х) =f(х)

не выполняется при х = 0.

Задача, решенная в начале данного пункта, показывает, что функция, имеющая первообразную, на самом деле, имеет их бес- конечное множество. Действительно, если у = F(х) — первообраз- ная для функции у = f(х), то все функции вида у = F(х) + С, где С — произвольная постоянная, также являются первообразными для у = f(х). Это можно проверить, используя определение перво­ образной функции: ( F(x) + C)′ = F ′(x) + (C)′ = f(x) .

Кроме того, если у = F1(х) и y = F2 (x) — две первообразные для

функции у = f(х), то они отличаются некоторой постоянной. Дейст- вительно, производная функции y = F1 (x) − F2 (x) равна нулю:

(F1 (x) − F2 (x))′ = F1′(x) − F2′(x) = f (x) − f (x) = 0 .

Напомним, что если производная функции равна нулю на неко- тором промежутке, то эта функция является постоянной на этом про- межутке. То есть F1 (x) − F2 (x) = C . Этим доказано основное свой-

ство первообразных, которое сформулируем ниже.

Теорема (основное свойство первообразных).

Если у = F(х) — первообразная для функции у = f(х) на

некотором промежутке, то существует бесконечное мно- жество первообразных для функции у = f(х) на этом про-

межутке и все они имеют вид:

у = F (х) + С,

где С — произвольная постоянная.

Основное свойство первообразных имеет про- стой геометрический смысл: графики любых двух первообразных для данной функции мож- но получить друг из друга путем параллельного

переноса вдоль оси ординат (рис. 129).

Мы уже видели, что для выделения из мно- жества первообразных какой-то одной необходи- мо задать начальные условия. Например, задать

координату движущейся прямолинейно точки в некоторый момент времени или координаты точки, через которую должен проходить график искомой первообразной.

Пример 1. Для функции у = cos x найдите первообразную, график которой проходит через точку A 6π ; 1 .

 Легко заметить, что первообразными для функцииy = cos x бу­ дутфункцииF(x)=sinx +C,таккак (sin x + C)′ = (sin x)′ + C′ = cos x.

Среди этих первообразных найдем ту, график которой проходит

через точку А, то есть для которой выполняется условие: F π = 1.

6

Для нахождения постоянной С имеем уравнение: sin 6π + C = 1.

Отсюда 12 + C = 1, C = 12 . Итак, искомая первообразная имеет та-

кой вид: y = sin x + 12 . g

Ответ. y = sin x + 12 .

Для последующей работы целесообразно на основе таблицы производных составить таблицу первообразных для элементар- ных функций в области их определения.

Понятие первообразной имеет широкое примене- ние. Оно используется там, где по скорости изме- нения величины нужно восстановить закон изме- нения самой величины. Например, по скорости

прямолинейного движения точки необходимо установить закон движения, по скорости изменения концентрации вещества – за- кон изменения концентрации, по скорости изменения биомассы популяции — закон изменения биомассы и т. п. Решение этих за- дач сводится к отысканию первообразной, удовлетворяющей на- чальным условиям.

Рассмотрим детальнее применение первообразных в механике. Пусть материальная точка массой m движется прямолинейно по закону x = x(t) под действием силы F(t), направление действия которой совпадает с направлением движения. Такое движение, как известно, описывается вторым законом Ньютона: ma = F, где

а — ускорение движения: a = dvdt . С помощью производной дан-

dvdt = Fm(t) . Отсюда можно восстановить закон ее движения.

210 Раздел 4. Интеграл и его приложения

1. Закон инерции. Пусть материальная точка массой т дви- жется по прямой и на нее не действует сила, то есть F(t) = 0. По второму закону Ньютона ее движение описывают уравнением

m dvdt = 0 , или dvdt = 0 .

Отсюда находим, что v = const, то есть скорость движения — ве- личина постоянная.

Это и есть закон инерции, который утверждает, что тело, на

которое не действует сила, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

2. Вертикальное движение под действием силы притяже-

ния. Пусть тело массой т брошено вверх или вниз с высоты h0 со

скоростью v0. Найдем зависимость скорости и высоты от времени. Направим ось h вертикально вверх. Как известно, на тело дей-

ствует сила притяжения F = –mg, где g ≈ 9,8 м/с2 — ускорение сво- бодного падения. Тогда, по второму закону Ньютона, уравнение движения имеет вид

m dvdt = −mg , или dvdt = −g .

Отсюда v(t) = −gt + C , где С — некоторая постоянная. Для того,