Добавил:
researchgate.net Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
24.03.2018
Размер:
10.66 Mб
Скачать
151
f ′(x0 ) , а следовательно и приближенному

Производная функции

венству f (x) − f (x0 ) x x0

равенству f(x) ≈ f(x0) + f(x0)(x x0), можно обеспечить любую точ- ность для всех х, достаточно близких к х0. Это говорит о том, что в малой окрестности точки х0 функция y = f (x) ведет себя как ли-

нейная функция y = f (x0 ) + f ′(x0 )(x x0 ) . Геометрически это озна- чает, что небольшая часть графика функции y = f (x) в окрестно-

сти точки М0(x0; f(x0)) практически не отличается от отрезка касательной к графику функции в этой точке. Поэтому график дифференцируемой функции не имеет разрывов и «изломов». Та- кую кривую обычно называют гладкой. Например, функция у = |x| не является дифференцируемой в точке х = 0, так как ее график в точке О(0; 0) имеет излом.

Рассмотренное свойство имеет важные приложения. Оно позво- ляет дифференцируемую в точке функцию заменять в окрестности этой точки линейной функцией, то есть позволяет сложные зависи- мости приближенно описывать с помощью простых — линейных.

С физической точки зрения это означает, что при исследова- нии неравномерных процессов на коротком промежутке времени их можно заменять равномерными процессами.

Так, если s = s(t) – путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени [0; t], то формула s(t) – s(t0) ≈ s(t0)(t t0) = = v(t0)(t t0) говорит о том, что движение на малом промежутке времени [t0; t] можно считать равномерным со скоростью v(t0), а пройденный путь s(t) – s(t0) равным v(t0)(t t0).

99 Контрольные вопросы

1°. Каков геометрический смысл производной функции?

2°. Может ли касательная к графику функции в некоторой точке пересекать этот график еще и в других точках?

3°. Для какой функции касательная к графику функции в ка- ждой точке графика совпадает с самим графиком?

4. Касательная к графику функ­

ции y = f (x) в точке с абсцис-

сой х = 2 имеет вид у = 5 3х. Чему равняется f (2)? 5. На рис. 84 изображен гра- фик функции y = g(x) .

152 Раздел 3. Производная и ее приложения

а°) Укажите среднюю скорость изменения функции на проме-

жутке [1; 3].

б°) В какой точке производная функции равна нулю?

в) В какой из точек х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2,5 производная отрица- тельна?

г) Сравните числа g(1) и g′(1,5).

д) Сравните среднюю скорость изменения функции на проме- жутке [1; 3] и скорость изменения функции в точке х = 1. е*) Во всех ли точках функция y = g(x) является дифферен-

цируемой?

 

6. Каков геометрический смысл равенств:

а) f (x0) = g(x0);

б) f(x0) = g(x0f (x0) = g (x0)?

Задачи

120°. Точкадвижется прямолинейно по закону x = t2 + 1. Найдите: 1) среднюю скорость точки на каждом из промежутков вре-

мени [1; 1,1], [1; 1,01], [1; 1,001];

2) скорость точки в момент времени t = 1.

121°. Автомобильв течение первого часа прошел 50 км, а в тече- ние второго – 60 км. Какова средняя скорость автомобиля за два часа?

122°. Автомобиль первую половину пути прошел со скоростью 50 км/ч, а вторую половину — со скоростью 60 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля за все время движения?

123. В течение некоторого промежутка времени тело двигалось по закону x = 5t + 1, а затем в течение такого же времени – по закону x = 7t – 3. Какова средняя скорость тела за все время движения?

124. Известно, что при свободном падении тела зависимость прой- денного пути от времени выражается формулой s = gt22 , где

s — путь, м; t — время, с; g ≈ 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения.

1) Какова средняя скорость тела в течение первой секунды падения? В течение первой минуты падения?

2) Какова скорость тела в момент t = 1 c; в момент t = 10 с? 125. Что понимать под:

1) средней скоростью охлаждения тела за данный промежу- ток времени;

Производная функции

153

2) скоростью охлаждения тела в данный момент времени? 126°. Постройтеграфики функций f (x ) = xx , g (x ) = xx . Укажите

сходство и отличие в поведении этих функций в окрестности точки х = 0.

127. Вычислите:

1°) lim (x3 − 2x2 + 5);

2°)

lim

x2 x − 2

;

 

 

 

 

 

 

x→−1

 

 

 

 

 

x→1

 

x +1

 

 

3)

lim x

2

x − 2 ;

4)

 

2x +1 + 0,5x + x

2

 

 

lim

 

.

 

x→−1

 

x +1

 

x→0

 

 

 

x

 

 

128. Постройте график какой-либо функции у = j (х), обладаю-

щей следующими свойствами:

 

 

 

 

 

 

 

1)

функция в точке разрыва имеет предел;

 

 

2)

функция в точке разрыва не имеет предела;

 

 

3) j(1) = 0, lim ϕ(x) = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x →1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

129°. Найдитеприращение функции у = f(x) в указанной точке х0,

соответствующее данному приращению аргумента Dх, если:

1)

f (x) = x2 +1, x0 = −1, x = 0,1 ;

 

 

 

2)

f (x) = x3 , x0 = 2, x = −1 ;

 

 

 

 

 

 

3)

f (x) = 1 , x0 = 10,

x = −5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

130. Дана функция f(x)= x2.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

1°) Найдите f (5),

f (−3),

 

 

.

 

 

2) В каких точках f (х) = f (х)? 2

 

 

 

131. Найдите скорость изменения функции у = sin x в точке:

1) х

 

= 0;

2) х

 

=

p ;

 

3) х

 

= p.

 

 

1

 

 

2

 

2

 

 

 

3

 

132°. Одна точка движется прямолинейно по закону х = 3t, а вто- рая — по закону x = t2 (t ≥ 0).

1)Укажите моменты времени, когда точки имеют одинако- вую скорость.

2)Найдите промежутки времени, на которых скорость пер- вой точки меньше скорости второй.

3)Изобразите на одном рисунке графики скоростей обеих точек.

154

 

 

 

Раздел 3. Производная и ее приложения

133°. Точка движется прямолинейно по закону x = t2

+ 1. В какой

 

момент времени скорость точки равнялась средней скорости

 

точки на промежутке [1; 2]?

 

 

 

134*. Точка движется прямолинейно по закону

x =

t , где t

 

время, с; х — координата точки, м. Через 4 с после начала

 

движения точка начала двигаться равномерно с набранной

 

к этому моменту времени скоростью. Запишите закон дви-

 

жения точки и постройте соответствующий график.

135.

Найдите угловой коэффициент касательной к графику фун-

 

кции y =

x

в точке:

3*)C (x0 ; x0 ) , где х0 ≠ 0.

 

1°) А(1; 1);

 

2°) В(4; 2);

 

Используя полученный результат, найдите метод построе-

 

ния касательной в любой точке кривой y =

x , абсцисса ко-

 

торой отлична от нуля.

 

 

 

136°. Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной к графику

 

функции у =

1

в точке: 1) х1 = –1; 2) х2 = 4 3 .

 

 

 

 

x

 

 

 

 

137.

Составьте уравнение касательной к графику функции y = x2 :

 

1) в точке с абсциссой x0 = 2;

 

 

 

 

2) в точках его пересечения с графиком функции у = х;

 

3) если касательная наклонена к оси х под углом 135°;

 

4) если касательная параллельна прямой у = 1 – х.

138°. Нарис. 85 изображены законы прямолиней-

 

 

 

ного движения двух точекx = x1(t) и x = x2(t).

 

 

 

1) Сравните скорости этих точек в моменты

 

 

 

времени t1

=

2 c, t2 = 3 c.

 

 

 

 

2) Сравните средние скорости этих точек

 

 

 

на промежутке [1; 3].

 

 

 

 

3) Изменяла ли каждая из точек направле-

 

 

 

ние движения? Если изменяла, то в какой

 

 

 

момент времени?

 

 

 

 

4) Укажите промежуток времени, в течение которого точки

 

двигались в одном направлении.

 

 

139.

Определите взаимное расположение касательной к графи-

 

ку функции y =

x в точке с абсциссой х0 = 4 и прямой:

 

1) 4у – х + 4 = 0;

 

2) у = 4х + 1.

 

 

Производная функции

155

Упражнения для повторения

 

 

 

функций

у

 

= 3 х

140.

Постройте на одном рисунке графики

 

 

и у = log3x.

 

 

 

π

 

 

 

 

141.

Какова область определения функции

 

?

По-

y = tg

2

x

 

стройте ее график.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

142.

Вычислите значение функции y = cos x +

3 sin x в точке:

 

1) x = π ;

2) x = − π .

 

 

 

 

 

 

 

3

6

 

 

 

 

 

 

Итог

Определение производной

 

 

Определение

 

 

Геометрический

Физический

 

 

 

 

 

 

смысл

смысл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производной функции у

 

=

Производная фун-

Производная

= f(x) в точке x0

называют

кции у = f(x) в точ-

функции­

у = f(x)

предел отношения

прира-

ке x0 равна углово-

в точке x0

— это

щения функции f(х0

+ Dх) –

му коэффициенту

скорость

 

изме-

f(х ) в точке х к прираще-

касательной, про-

нения функции

нию0аргумента0Dх, когда

Dх

веденной к графи-

в точке x0.

 

стремится к нулю:

 

 

 

ку этой функции в

 

 

 

 

 

f (x0 +

x) − f (x0 )

=

точке с координа-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x0 ) = lim

 

 

x

 

 

тами (х0; f(x0)), то

 

 

 

 

 

x →0

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

f (x) − f (x0 )

 

 

 

 

 

есть f (x0) = tga.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производные простейших функций

y

с

kx + b

х2

 

1

 

 

x

sin x

cos x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

0

k

2x

 

1

 

 

1

 

cos x

–sinx

 

2

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

§7. Дифференцирование функций

Чтобы находить мгновенную скорость точки по закону ее движения или уравнение касательной к графику функции, нужно научиться находить производные функций. Пользуясь определением, можно найти производные только простейших функций. Производные более сложных функций находят с помощью определенных правил. Их рассмотрению и посвящен данный параграф.

1. Правила дифференцирования

В § 6 мы находили производные функций, пользу- ясь определением производной. Однако этот способ нахождения производных часто вызывает значи- тельные трудности. Теперь мы познакомимся с правилами, ко-

торые помогут нам, зная производные двух функций, находить производные их суммы, произведения, частного.

Если функции y = f (x) и y = g(x) — дифференцируе­

мы, то имеют место следующие формулы.

1.(f (x) + g(x))′ = f (x) + g(x).

2.(f (x) g(x))′ = f (x)g(x) + f (x)g(x).

3.(cf (x))′ = cf (x), где с — некоторое число.

4.f (x) = f (x)g(x) f (x)g(x) .

g(x) g2 (x)

!Первая формула справедлива для суммы любого ко­ нечного количества слагаемых.

Пример 1. Найти производную функции y = x2 + x + 1 в точ-

ке x0 = 4.

Согласно правилу дифференцирования суммы функций, имеем:

Дифференцирование функций

 

 

 

157

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ = (x2 +

x + 1)= (x2 )+ (

x )+ (1)′ = 2x +

 

1

,

 

 

2

x

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (4) = 2 4

+

2 4

= 8 4 = 8,25.

 

 

 

 

 

Ответ. 8,25.

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.

 

Найти производную функции: 1) у = х3; 2) у = х4.

1) Для нахождения производной функции у = х3 запишем ее

ввиде произведения у = х2 · х. Зная производную каждой из фун- кций у = х2, у = х и правило дифференцирования произведения, получим:

(x3 )′ = (x2 )′ x + x2 (x)′ = 2x x + x2 1 = 3x2 .

2)(x4 )′ = (x3 x)′ = (x3 )′ x + x3 (x)′ = 3x2 x + x3 1 = 4x3 . g

Ответ. 1) 3х2; 2) 4х3.

Найденные в примере 2 результаты можно обобщить на сте- пенные функции с произвольным натуральным показателем, то есть доказать формулу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

n

= nx

n−1

,

 

n N.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

 

 

3.

 

Найти производную функции y = xn , n N .

 

 

n

 

 

1

 

x

n

1 (x

n

)

 

 

0

nx

n−1

 

 

n

 

n−1

 

(x

)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

= −nx

,

 

=

 

 

 

 

=

 

 

 

 

n 2

 

 

 

=

 

 

2n

 

= −

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2nn+1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

(x

 

 

)

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

x ≠ 0.

Из примера 3 вытекает, что формула дифференцирования сте- пенных функций с натуральными показателями справедлива и для степенных функций с целыми отрицательными показателя- ми, то есть

(xk )′ = kxk−1 , k Z, k ≠ 0 .

Можно доказать, что полученная формула справедлива для любой степенной функции y = xa, x > 0.

Пример 4. Найти производную функции у = tg x.

Так как tgx = sincos xx , то, воспользовавшись правилом нахо- ждения производной частного, получим:

 

 

 

 

 

 

cos

2

x + sin

2

x

 

1

 

 

sin x

 

(sin x) cos x − sin x(cos x)

 

 

 

 

 

 

 

=

 

=

 

2

 

 

=

 

 

 

2

 

 

 

=

 

2

 

(tg x)

cos

x

 

 

 

cos

x

 

 

cos

x

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

158

Раздел 3. Производная и ее приложения

Ответ. (tg x )= cos12 x .

Аналогично можно получить формулу: (ctg x )= − sin12 x .

Найденные в примерах 1 – 4 производные мы часто будем ис- пользовать в дальнейшем.

 

 

k

 

k−1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

(x

 

)

= kx

 

,

 

 

 

= − sin2 x .

 

 

 

 

(tg x)

= cos2 x , (ctg x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

Пример 5. Найти

производную

функции

y =

в точке

2x + 1

х = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сначала найдем производную функции в произвольной точке:

 

 

 

x

2

 

(x

2

x

2

(2x + 1)

 

2x

(2x +1) − x

2

2

 

2x

2

+ 2x

 

 

 

 

 

 

) (2x + 1)

 

 

 

 

 

 

y′ =

 

 

 

=

 

 

 

2

 

 

 

=

 

2

 

 

=

 

 

2 .

2x +

 

 

(2x + 1)

 

 

 

 

 

 

(2x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

(2x + 1)

 

 

 

+1)

 

 

При х = 1 имеем: у′(1)=

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. 4 .

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

Брошенный вертикально вверх камень движется

Пример

6.

по закону h(t)

=

4 + 8t – 5t2, где h — высота подъема камня над по-

верхностью земли, м; t — время, с. Найти:

 

 

 

 

 

 

1) скорость движения камня в момент его приземления;

 

 

 

2) наибольшую высоту, на которую поднимется камень.

 

 

 

 

 

 

1) Приземление камня означает, что h = 0. Найдем момент

времени,

 

когда камень упал на землю:

4 + 8t − 5t2

= 0 . Имеем

t

 

= 2, t

= − 2

. Условию задачи удовлетворяет только значение

 

1

 

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t1

= 2 (почему?). Вычислим скорость движения камня в этот мо-

мент времени: v(t) = h (t) = 8 −10t,

v(2) = −12 м/с. (Подумайте, по-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чему скорость оказалась отрицательной). Следовательно, ско- рость движения камня в момент приземления равна 12 м/с.

2) В тот момент, когда камень поднялся на наибольшую высо- ту, его скорость равнялась 0, то есть 8 −10t = 0, t = 0,8 с. Найдем

высоту при t = 0,8: h(0,8) = 4 + 8 0,8 − 5 0,64 = 7,2 (м). Это и явля-

ется наибольшей высотой, на которую поднялся камень. g

Ответ. 1) 12м/с; 2) 7,2 м.

Дифференцирование функций

159

Приведенные выше правила дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций мож- но доказать, пользуясь определением производной.

Докажем, например, правило дифференцирования суммы двух функций.

Пусть функции y = f (x) и y = g(x) дифференцируемы в точ-

ке x0 . Найдем производную функции y = f (x) + g(x) в точке x0 по

схеме, приведенной в пункте 3.

1) Приращение этой функции в точке x0 равно:

у(x0) = у(х) – у(x0) = (f(x) + g(x)) – (f(x0) + g(x0)) = (f(x) – f(x0)) + + (g(x) – g(x0)) = ∆f(x0) + ∆g(x0).

2) Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

y(x0 ) =

f (x0 ) + g(x0 ) =

f (x0 ) +

g(x0 ) .

 

 

x

 

x

 

x

x

0, пользуясь

3) Вычислим предел этого отношения при Dх

правилом вычисления предела суммы функций:

 

y(x0 )

= lim

f (x0 )

+ lim

g(x0 )

y (x0 ) = lim

x

x

x

= f (x0 )

+ g (x0 ).

x →0

x →0

x →0

 

 

Так как x0 – произвольная точка, то имеем формулу:

 

 

 

 

 

 

(f (x) + g(x))

= f (x) + g (x)

 

 

(производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций). g

Рассмотрим еще одно правило дифференцирования. Оно помо- жет нам, зная производную функции y = f (x) , находить произ-

водные функций у = f(kx +b), где k и b — некоторые числа. Рассмо- трим сначала частный случай.

Пусть дана функция y = f (2x) . Обозначим 2х = u. Переменную

у можно рассматривать и как функцию переменной х (обозначим ее через у(х)), и как функцию y = f (u) переменной u. Легко заме-

тить, что приращение функции у = у(х) на промежутке [x0; x] равно приращению функции y = f (u) на промежутке [2x0; 2x], то есть на

промежутке [u0; u], где u0 = 2x0. Но длина промежутка [2x0; 2x] вдвое больше длины промежутка [x0; x]. Поэтому средняя скорость изменения функции у = у(х) на промежутке [x0; x] вдвое больше средней скорости изменения функции y = f (u) на промежутке

[u0; u]. Следовательно, скорость изменения функции у = у(х) в точ-

160

Раздел 3. Производная и ее приложения

ке x0 вдвое больше скорости изменения функции y = f (u) в точке

u0, то есть у′(х0) = 2 f ′(u0), где u0 = 2x0.

Аналогичные рассуждения можно провести для любого числа k. Учитывая, что число b не влияет на длину промежутка [u0; u], получим следующее утверждение.

Если у(х) = f(kx + b), то у(х) = k f (u), где u = kx + b.

Пример 7.

Найти производную функции:

 

 

 

 

 

 

 

1) y = 3x −1;

2)

y = cos 2x −1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1) Пусть 3х – 1 = u. Тогда f (u) =

u и

 

 

 

 

. Согласно

 

 

 

u

 

f (u) = 2

 

полученной выше формуле, имеем:

 

 

 

 

3

 

1

 

. Под-

 

 

 

 

 

2 u

y (x) = 3(

u) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

ставив вместо u его выражение, получим: y

= 2 3x − 1 .

 

 

 

2) Пусть

2x −1

= u. Тогда y = cos u и y

 

2

 

 

2

 

 

3

 

= 3

 

 

= − 3 sinu =

 

 

 

(cosu)

=2 sin 2x −1. 3 3

Ответ. 1)

 

3

; 2) −

2 sin

2x −1 .

2

3x −1

 

 

3

3

99 Контрольные вопросы

1°. Какую функцию получим после дифференцирования много­ члена третьей степени; второй степени?

2°. В какой точке: х1 = 10 или х2 = 100 — функция y = − 1x + 3x − 2

имеет большую скорость изменения?

3. Угловые коэффициенты касательных к графикам функций y = f (x) и y = g(x) в точке х0 равны –1 и 2 соответственно.

Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х0:

а°) y = f (x) + g(x) + 1; б) y = 2f (x) 3g(x) ?

4°. Какой угол образует с осью х касательная к графику функции у = х2 х в точке с абсциссой х = 0?