978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus
.pdfПроизводная функции
венству f (x) − f (x0 ) x − x0
равенству f(x) ≈ f(x0) + f′(x0)(x – x0), можно обеспечить любую точ- ность для всех х, достаточно близких к х0. Это говорит о том, что в малой окрестности точки х0 функция y = f (x) ведет себя как ли-
нейная функция y = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) . Геометрически это озна- чает, что небольшая часть графика функции y = f (x) в окрестно-
сти точки М0(x0; f(x0)) практически не отличается от отрезка касательной к графику функции в этой точке. Поэтому график дифференцируемой функции не имеет разрывов и «изломов». Та- кую кривую обычно называют гладкой. Например, функция у = |x| не является дифференцируемой в точке х = 0, так как ее график в точке О(0; 0) имеет излом.
Рассмотренное свойство имеет важные приложения. Оно позво- ляет дифференцируемую в точке функцию заменять в окрестности этой точки линейной функцией, то есть позволяет сложные зависи- мости приближенно описывать с помощью простых — линейных.
С физической точки зрения это означает, что при исследова- нии неравномерных процессов на коротком промежутке времени их можно заменять равномерными процессами.
Так, если s = s(t) – путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени [0; t], то формула s(t) – s(t0) ≈ s′(t0)(t – t0) = = v(t0)(t – t0) говорит о том, что движение на малом промежутке времени [t0; t] можно считать равномерным со скоростью v(t0), а пройденный путь s(t) – s(t0) равным v(t0)(t – t0).
99 Контрольные вопросы
1°. Каков геометрический смысл производной функции?
2°. Может ли касательная к графику функции в некоторой точке пересекать этот график еще и в других точках?
3°. Для какой функции касательная к графику функции в ка- ждой точке графика совпадает с самим графиком?
4. Касательная к графику функ
ции y = f (x) в точке с абсцис-
сой х = –2 имеет вид у = 5 – 3х. Чему равняется f ′(–2)? 5. На рис. 84 изображен гра- фик функции y = g(x) .
152 Раздел 3. Производная и ее приложения
а°) Укажите среднюю скорость изменения функции на проме-
жутке [–1; 3].
б°) В какой точке производная функции равна нулю?
в) В какой из точек х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2,5 производная отрица- тельна?
г) Сравните числа g′(–1) и g′(1,5).
д) Сравните среднюю скорость изменения функции на проме- жутке [–1; 3] и скорость изменения функции в точке х = 1. е*) Во всех ли точках функция y = g(x) является дифферен-
цируемой? |
|
6. Каков геометрический смысл равенств: |
|
а) f ′(x0) = g′(x0); |
б) f(x0) = g(x0)и f ′(x0) = g ′(x0)? |
Задачи
120°. Точкадвижется прямолинейно по закону x = t2 + 1. Найдите: 1) среднюю скорость точки на каждом из промежутков вре-
мени [1; 1,1], [1; 1,01], [1; 1,001];
2) скорость точки в момент времени t = 1.
121°. Автомобильв течение первого часа прошел 50 км, а в тече- ние второго – 60 км. Какова средняя скорость автомобиля за два часа?
122°. Автомобиль первую половину пути прошел со скоростью 50 км/ч, а вторую половину — со скоростью 60 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля за все время движения?
123. В течение некоторого промежутка времени тело двигалось по закону x = 5t + 1, а затем в течение такого же времени – по закону x = 7t – 3. Какова средняя скорость тела за все время движения?
124. Известно, что при свободном падении тела зависимость прой- денного пути от времени выражается формулой s = gt22 , где
s — путь, м; t — время, с; g ≈ 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения.
1) Какова средняя скорость тела в течение первой секунды падения? В течение первой минуты падения?
2) Какова скорость тела в момент t = 1 c; в момент t = 10 с? 125. Что понимать под:
1) средней скоростью охлаждения тела за данный промежу- ток времени;
Производная функции |
153 |
2) скоростью охлаждения тела в данный момент времени? 126°. Постройтеграфики функций f (x ) = xx , g (x ) = xx . Укажите
сходство и отличие в поведении этих функций в окрестности точки х = 0.
127. Вычислите:
1°) lim (x3 − 2x2 + 5); |
2°) |
lim |
x2 − x − 2 |
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
x→1 |
|
x +1 |
|
|
||
3) |
lim x |
2 |
− x − 2 ; |
4) |
|
2x +1 + 0,5x + x |
2 |
|
|||||
|
lim |
|
. |
||||||||||
|
x→−1 |
|
x +1 |
|
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
||
128. Постройте график какой-либо функции у = j (х), обладаю- |
|||||||||||||
щей следующими свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
функция в точке разрыва имеет предел; |
|
|
||||||||||
2) |
функция в точке разрыва не имеет предела; |
|
|
||||||||||
3) j(1) = 0, lim ϕ(x) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x →1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129°. Найдитеприращение функции у = f(x) в указанной точке х0, |
||||||||||||
соответствующее данному приращению аргумента Dх, если: |
||||||||||||
1) |
f (x) = x2 +1, x0 = −1, x = 0,1 ; |
|
|
|
||||||||
2) |
f (x) = x3 , x0 = 2, x = −1 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
f (x) = 1 , x0 = 10, |
x = −5 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
130. Дана функция f(x)= x2. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
′ |
′ |
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
1°) Найдите f (5), |
f (−3), |
|
|
. |
|
|
||||||
2) В каких точках f ′(х) = f (х)? 2 |
|
|
|
|||||||||
131. Найдите скорость изменения функции у = sin x в точке: |
||||||||||||
1) х |
|
= 0; |
2) х |
|
= |
p ; |
|
3) х |
|
= p. |
||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
132°. Одна точка движется прямолинейно по закону х = 3t, а вто- рая — по закону x = t2 (t ≥ 0).
1)Укажите моменты времени, когда точки имеют одинако- вую скорость.
2)Найдите промежутки времени, на которых скорость пер- вой точки меньше скорости второй.
3)Изобразите на одном рисунке графики скоростей обеих точек.
154 |
|
|
|
Раздел 3. Производная и ее приложения |
|||
133°. Точка движется прямолинейно по закону x = t2 |
+ 1. В какой |
||||||
|
момент времени скорость точки равнялась средней скорости |
||||||
|
точки на промежутке [1; 2]? |
|
|
|
|||
134*. Точка движется прямолинейно по закону |
x = |
t , где t — |
|||||
|
время, с; х — координата точки, м. Через 4 с после начала |
||||||
|
движения точка начала двигаться равномерно с набранной |
||||||
|
к этому моменту времени скоростью. Запишите закон дви- |
||||||
|
жения точки и постройте соответствующий график. |
||||||
135. |
Найдите угловой коэффициент касательной к графику фун- |
||||||
|
кции y = |
x |
в точке: |
3*)C (x0 ; x0 ) , где х0 ≠ 0. |
|||
|
1°) А(1; 1); |
|
2°) В(4; 2); |
||||
|
Используя полученный результат, найдите метод построе- |
||||||
|
ния касательной в любой точке кривой y = |
x , абсцисса ко- |
|||||
|
торой отлична от нуля. |
|
|
|
|||
136°. Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной к графику |
|||||||
|
функции у = |
1 |
в точке: 1) х1 = –1; 2) х2 = 4 3 . |
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
137. |
Составьте уравнение касательной к графику функции y = x2 : |
||||||
|
1) в точке с абсциссой x0 = 2; |
|
|
|
|||
|
2) в точках его пересечения с графиком функции у = х; |
||||||
|
3) если касательная наклонена к оси х под углом 135°; |
||||||
|
4) если касательная параллельна прямой у = 1 – х. |
||||||
138°. Нарис. 85 изображены законы прямолиней- |
|
|
|||||
|
ного движения двух точекx = x1(t) и x = x2(t). |
|
|
||||
|
1) Сравните скорости этих точек в моменты |
|
|
||||
|
времени t1 |
= |
2 c, t2 = 3 c. |
|
|
|
|
|
2) Сравните средние скорости этих точек |
|
|
||||
|
на промежутке [1; 3]. |
|
|
|
|||
|
3) Изменяла ли каждая из точек направле- |
|
|
||||
|
ние движения? Если изменяла, то в какой |
|
|
||||
|
момент времени? |
|
|
|
|||
|
4) Укажите промежуток времени, в течение которого точки |
||||||
|
двигались в одном направлении. |
|
|
||||
139. |
Определите взаимное расположение касательной к графи- |
||||||
|
ку функции y = |
x в точке с абсциссой х0 = 4 и прямой: |
|||||
|
1) 4у – х + 4 = 0; |
|
2) у = 4х + 1. |
|
|
Производная функции |
155 |
Упражнения для повторения
|
|
|
функций |
у |
|
= 3 х |
|||
140. |
Постройте на одном рисунке графики |
|
|||||||
|
и у = log3x. |
|
|
|
π |
|
|
|
|
141. |
Какова область определения функции |
|
? |
По- |
|||||
y = tg |
2 |
− x |
|||||||
|
стройте ее график. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
142. |
Вычислите значение функции y = cos x + |
3 sin x в точке: |
|||||||
|
1) x = π ; |
2) x = − π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
Итог
Определение производной
|
|
Определение |
|
|
Геометрический |
Физический |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
смысл |
смысл |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Производной функции у |
|
= |
Производная фун- |
Производная |
|||||||||||
= f(x) в точке x0 |
называют |
кции у = f(x) в точ- |
функции |
у = f(x) |
|||||||||||
предел отношения |
прира- |
ке x0 равна углово- |
в точке x0 |
— это |
|||||||||||
щения функции f(х0 |
+ Dх) – |
му коэффициенту |
скорость |
|
изме- |
||||||||||
– |
f(х ) в точке х к прираще- |
касательной, про- |
нения функции |
||||||||||||
нию0аргумента0Dх, когда |
Dх |
веденной к графи- |
в точке x0. |
|
|||||||||||
стремится к нулю: |
|
|
|
ку этой функции в |
|
|
|
||||||||
′ |
|
|
f (x0 + |
x) − f (x0 ) |
= |
точке с координа- |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x0 ) = lim |
|
|
x |
|
|
тами (х0; f(x0)), то |
|
|
|
||||||
|
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim |
f (x) − f (x0 ) |
|
|
|
|
|
есть f ′ (x0) = tga. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x →x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производные простейших функций
y |
с |
kx + b |
х2 |
|
1 |
|
|
x |
sin x |
cos x |
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
y′ |
0 |
k |
2x |
− |
|
1 |
|
|
1 |
|
cos x |
–sinx |
|
2 |
|
|
2 x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
§7. Дифференцирование функций
Чтобы находить мгновенную скорость точки по закону ее движения или уравнение касательной к графику функции, нужно научиться находить производные функций. Пользуясь определением, можно найти производные только простейших функций. Производные более сложных функций находят с помощью определенных правил. Их рассмотрению и посвящен данный параграф.
1. Правила дифференцирования
В § 6 мы находили производные функций, пользу- ясь определением производной. Однако этот способ нахождения производных часто вызывает значи- тельные трудности. Теперь мы познакомимся с правилами, ко-
торые помогут нам, зная производные двух функций, находить производные их суммы, произведения, частного.
Если функции y = f (x) и y = g(x) — дифференцируе
мы, то имеют место следующие формулы.
1.(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x).
2.(f (x) g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).
3.(cf (x))′ = cf ′(x), где с — некоторое число.
4.f (x) ′ = f ′(x)g(x) − f (x)g′(x) .
g(x) g2 (x)
!Первая формула справедлива для суммы любого ко нечного количества слагаемых.
Пример 1. Найти производную функции y = x2 + x + 1 в точ-
ке x0 = 4.
Согласно правилу дифференцирования суммы функций, имеем:
Дифференцирование функций |
|
|
|
157 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y′ = (x2 + |
x + 1)′ = (x2 )′ + ( |
x )′ + (1)′ = 2x + |
|
1 |
, |
|
||
|
2 |
x |
|
||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
||
|
y (4) = 2 4 |
+ |
2 4 |
= 8 4 = 8,25. |
|
|
|
|
|
|
Ответ. 8,25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. |
|
Найти производную функции: 1) у = х3; 2) у = х4. |
1) Для нахождения производной функции у = х3 запишем ее
ввиде произведения у = х2 · х. Зная производную каждой из фун- кций у = х2, у = х и правило дифференцирования произведения, получим:
(x3 )′ = (x2 )′ x + x2 (x)′ = 2x x + x2 1 = 3x2 .
2)(x4 )′ = (x3 x)′ = (x3 )′ x + x3 (x)′ = 3x2 x + x3 1 = 4x3 . g
Ответ. 1) 3х2; 2) 4х3.
Найденные в примере 2 результаты можно обобщить на сте- пенные функции с произвольным натуральным показателем, то есть доказать формулу
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
n |
′ |
= nx |
n−1 |
, |
|
n N. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример |
|
|
3. |
|
Найти производную функции y = x−n , n N . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
−n |
|
|
1 |
′ |
|
′ |
x |
n |
− |
1 (x |
n |
) |
′ |
|
|
0 |
− nx |
n−1 |
|
|
n |
|
−n−1 |
|
||||||
(x |
) |
′ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= −nx |
, |
|||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
= |
|
|
2n |
|
= − |
|
|
|
||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n−n+1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x ≠ 0.
Из примера 3 вытекает, что формула дифференцирования сте- пенных функций с натуральными показателями справедлива и для степенных функций с целыми отрицательными показателя- ми, то есть
(xk )′ = kxk−1 , k Z, k ≠ 0 .
Можно доказать, что полученная формула справедлива для любой степенной функции y = xa, x > 0.
Пример 4. Найти производную функции у = tg x.
Так как tgx = sincos xx , то, воспользовавшись правилом нахо- ждения производной частного, получим:
|
|
′ |
|
′ |
|
|
′ |
|
cos |
2 |
x + sin |
2 |
x |
|
1 |
|
|
|||
′ |
sin x |
|
(sin x) cos x − sin x(cos x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
= |
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
|
2 |
|
||
(tg x) |
cos |
x |
|
|
|
cos |
x |
|
|
cos |
x |
|||||||||
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
158 |
Раздел 3. Производная и ее приложения |
Ответ. (tg x )′ = cos12 x .
Аналогично можно получить формулу: (ctg x )′ = − sin12 x .
Найденные в примерах 1 – 4 производные мы часто будем ис- пользовать в дальнейшем.
|
|
k |
′ |
|
k−1 |
|
′ |
|
1 |
|
′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
(x |
|
) |
= kx |
|
, |
|
|
|
= − sin2 x . |
|
||||||
|
|
|
(tg x) |
= cos2 x , (ctg x) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
||
Пример 5. Найти |
производную |
функции |
y = |
в точке |
|||||||||||||
2x + 1 |
|||||||||||||||||
х = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сначала найдем производную функции в произвольной точке:
|
|
|
x |
2 |
|
′ |
(x |
2 ′ |
− x |
2 |
(2x + 1) |
′ |
|
2x |
(2x +1) − x |
2 |
2 |
|
2x |
2 |
+ 2x |
|
|
|
|
|
|
|
) (2x + 1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y′ = |
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
= |
|
|
2 . |
||
2x + |
|
|
(2x + 1) |
|
|
|
|
|
|
(2x |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(2x + 1) |
|
|
|
+1) |
|||||||
|
|
При х = 1 имеем: у′(1)= |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Ответ. 4 . |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
9 |
Брошенный вертикально вверх камень движется |
||||||||||||||||
Пример |
6. |
|||||||||||||||||||||
по закону h(t) |
= |
4 + 8t – 5t2, где h — высота подъема камня над по- |
||||||||||||||||||||
верхностью земли, м; t — время, с. Найти: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1) скорость движения камня в момент его приземления; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
2) наибольшую высоту, на которую поднимется камень. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1) Приземление камня означает, что h = 0. Найдем момент |
|||||||||||||||||||
времени, |
|
когда камень упал на землю: |
4 + 8t − 5t2 |
= 0 . Имеем |
||||||||||||||||||
t |
|
= 2, t |
= − 2 |
. Условию задачи удовлетворяет только значение |
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
= 2 (почему?). Вычислим скорость движения камня в этот мо- |
|||||||||||||||||||||
мент времени: v(t) = h (t) = 8 −10t, |
v(2) = −12 м/с. (Подумайте, по- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чему скорость оказалась отрицательной). Следовательно, ско- рость движения камня в момент приземления равна 12 м/с.
2) В тот момент, когда камень поднялся на наибольшую высо- ту, его скорость равнялась 0, то есть 8 −10t = 0, t = 0,8 с. Найдем
высоту при t = 0,8: h(0,8) = 4 + 8 0,8 − 5 0,64 = 7,2 (м). Это и явля-
ется наибольшей высотой, на которую поднялся камень. g
Ответ. 1) 12м/с; 2) 7,2 м.
Дифференцирование функций |
159 |
Приведенные выше правила дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций мож- но доказать, пользуясь определением производной.
Докажем, например, правило дифференцирования суммы двух функций.
Пусть функции y = f (x) и y = g(x) дифференцируемы в точ-
ке x0 . Найдем производную функции y = f (x) + g(x) в точке x0 по
схеме, приведенной в пункте 3.
1) Приращение этой функции в точке x0 равно:
∆у(x0) = у(х) – у(x0) = (f(x) + g(x)) – (f(x0) + g(x0)) = (f(x) – f(x0)) + + (g(x) – g(x0)) = ∆f(x0) + ∆g(x0).
2) Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
y(x0 ) = |
f (x0 ) + g(x0 ) = |
f (x0 ) + |
g(x0 ) . |
|
|||
|
x |
|
x |
|
x |
x |
0, пользуясь |
3) Вычислим предел этого отношения при Dх → |
|||||||
правилом вычисления предела суммы функций: |
|
||||||
′ |
y(x0 ) |
= lim |
f (x0 ) |
+ lim |
g(x0 ) |
′ |
′ |
y (x0 ) = lim |
x |
x |
x |
= f (x0 ) |
+ g (x0 ). |
||
x →0 |
x →0 |
x →0 |
|
|
|||
Так как x0 – произвольная точка, то имеем формулу: |
|||||||
|
|
|
′ |
′ |
′ |
|
|
|
(f (x) + g(x)) |
= f (x) + g (x) |
|
|
(производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций). g
Рассмотрим еще одно правило дифференцирования. Оно помо- жет нам, зная производную функции y = f (x) , находить произ-
водные функций у = f(kx +b), где k и b — некоторые числа. Рассмо- трим сначала частный случай.
Пусть дана функция y = f (2x) . Обозначим 2х = u. Переменную
у можно рассматривать и как функцию переменной х (обозначим ее через у(х)), и как функцию y = f (u) переменной u. Легко заме-
тить, что приращение функции у = у(х) на промежутке [x0; x] равно приращению функции y = f (u) на промежутке [2x0; 2x], то есть на
промежутке [u0; u], где u0 = 2x0. Но длина промежутка [2x0; 2x] вдвое больше длины промежутка [x0; x]. Поэтому средняя скорость изменения функции у = у(х) на промежутке [x0; x] вдвое больше средней скорости изменения функции y = f (u) на промежутке
[u0; u]. Следовательно, скорость изменения функции у = у(х) в точ-
160 |
Раздел 3. Производная и ее приложения |
ке x0 вдвое больше скорости изменения функции y = f (u) в точке
u0, то есть у′(х0) = 2 f ′(u0), где u0 = 2x0.
Аналогичные рассуждения можно провести для любого числа k. Учитывая, что число b не влияет на длину промежутка [u0; u], получим следующее утверждение.
Если у(х) = f(kx + b), то у′(х) = k f ′(u), где u = kx + b.
Пример 7. |
Найти производную функции: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) y = 3x −1; |
2) |
y = cos 2x −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1) Пусть 3х – 1 = u. Тогда f (u) = |
u и |
|
′ |
|
|
|
. Согласно |
|||||||||
|
|
|
u |
|
||||||||||||
f (u) = 2 |
|
|||||||||||||||
полученной выше формуле, имеем: |
′ |
|
|
|
|
′ |
3 |
|
1 |
|
. Под- |
|||||
|
|
|
|
|
2 u |
|||||||||||
y (x) = 3( |
u) = |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
ставив вместо u его выражение, получим: y |
= 2 3x − 1 . |
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
2) Пусть |
2x −1 |
= u. Тогда y = cos u и y |
′ |
|
2 |
|
|
′ |
2 |
|
||||||
|
3 |
|
= 3 |
|
|
= − 3 sinu = |
||||||||||
|
|
|
(cosu) |
=−2 sin 2x −1. 3 3
Ответ. 1) |
|
3 |
; 2) − |
2 sin |
2x −1 . |
|
2 |
3x −1 |
|||||
|
|
3 |
3 |
99 Контрольные вопросы
1°. Какую функцию получим после дифференцирования много члена третьей степени; второй степени?
2°. В какой точке: х1 = 10 или х2 = 100 — функция y = − 1x + 3x − 2
имеет большую скорость изменения?
3. Угловые коэффициенты касательных к графикам функций y = f (x) и y = g(x) в точке х0 равны –1 и 2 соответственно.
Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х0:
а°) y = f (x) + g(x) + 1; б) y = 2f (x) – 3g(x) ?
4°. Какой угол образует с осью х касательная к графику функции у = х2 – х в точке с абсциссой х = 0?