978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

Точка х0 называется точкой максимума функции у = f(x), если для всех х ≠ х0 из некоторой окрестности

этой точки выполняется неравенство f(x) < f(х0).

Максимум — от латинского maximum — наибольшее.

Значение функции в точке х2 меньше всех «соседних» значений функции, то есть можно найти такую окрестность точки х2, что

для всех х ≠ х2 из этой окрестности будет выполняться неравенство f(x) > f(х2).

Точка х0 называется точкой минимума функции у = f(x), если для всех х ≠ х0 из некоторой окрестности

этой точки выполняется неравенство f(x) > f(х0).

Минимум — от латинского minimum — наименьшее.

Для точек максимума и минимума есть общее название – точ-

ки экстремума, или точки локального экстремума.

Экстремум — от латинского extremum — крайнее, последнее.

Локальный — от латинского locаlis — местный, ограниченный.

Употребляя термин «локальный», мы этим самым подчеркну- ли, что наличие экстремума функции в точке х0 зависит только от поведения функции вблизи этой точки. Действительно, для фун- кции у = f(x) (см. рис. 94) неравенство f(x) < f(х1) выполняется на интервале (с; d), но не выполняется на всей области определения. Например, f(x3) > f(х1). Может даже случиться, что значение фун- кции в точке минимума будет больше значения функции в точке максимума, подобно тому, как впадина в горах может быть выше над уровнем моря, чем небольшая вершина.

Выясним теперь, как можно найти точки экстремума функции. Рассмотрим сначала функцию, дифференцируемую в своей об- ласти определения. Обратите внимание на то, что на рис. 94 в точках графикаА, В, Скасательные к графику функции параллельны оси х. Следова-

тельно, если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке х0, то производная функции в этой точке равна нулю. Однако, не всегда из того, что производная в точкех0 равна нулю, следует, что х0 — точка экстремума. Например, производная функции у = х3 при х = 0 равна нулю, но эта точка не является точкой экстремума функции (рис. 95).

Возникает вопрос, как из «подозрительных» точек, то есть из точек, в которых производная равна нулю, выбрать точки экстре- мума. Нетрудно заметить, что если «подозрительная» точка от-

деляет промежуток возрастания функции от промежутка убыва- ния, то она обязательно будет точкой экстремума. Мы уже знаем условия возрастания и убывания функции на интервале — они связаны со знаком производной на этом интервале. Применяя их, получим следующее утверждение.

Теорема 3 (о достаточном условии экстремума).

Пусть функция у = f(x) определена на интервале (а; b) и

х0 — точка из этого промежутка.

1. Если f′(x) > 0 на интервале (а; х0) и f′(x) <0 на интервале

(х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции. 2. Если f′(x) < 0 на интервале (а; х0) и f′(x) > 0 на интервале

(х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции.

Часто теорему 3 формулируют так.

Если в точке х0 производная меняет свой знак, то эта точка является точкой экстремума.

Эта теорема имеет простую механическую интерпретацию. Пусть x = x(t) — закон прямолинейного движения материальной точки, где х— координата точки в момент времени t. Если x′(t) > 0

при t < t0, то это означает, что скорость точки v(t) = x′(t) положи-

тельна, и направление ее движения совпадает с направлением оси. Следовательно, координата точки возрастает при t < t0. Так как, по условию, при t > t0 v(t) = x′(t) < 0 , то точка с момента време-

ни t0 начинает двигаться в обратном направлении, ее координата убывает. Следовательно, в момент времени t0 кордината точки яв- ляется наибольшей. Аналогично можно интерпретировать второе утверждение. Таким образом, чтобы найти точки екстремума дифференцируемой функции, нужно:

1)найти производную функции;

2)найти «подозрительные» точки, то есть точки, в которых про- изводная равна нулю;

3)исследовать знак производной слева и справа от рассматри- ваемой точки;

4)опираясь на теорему 3, сделать соответствующие выводы.

Пример 4. Найти точки максимума и минимума функции f(x)= x4 – 2x3 + 5.

 Функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Найдем ее производную:

Производная равна нулю в точках х = 0 и х = 1,5, то есть эти точки «подозрительны» на экстремум. Проверим, меняет ли про- изводная знак в этих точках.

На интервалах (–∞; 0) и (0; 1,5) производная отрицательна, а на (1,5; +∞) — положительна (рис. 96). То есть х = 1,5 – точка минимума фун- кции, а в точке х = 0 экстремума нет. g

Ответ. х = 1,5 — точка минимума функции, точек максимума нет.

Мы находили промежутки монотонности функции

и ее точки экстремума, предполагая, что функция дифференцируема в своей области определения. Однако функции, описывающие сложные процес-

сы, могут иметь разрывы или точки, в кото- рых производная не существует. Например, на рис. 97 изображен закон движения мяча, падающего на пол и упруго отскакивающего от него (h — высота мяча над полом, t — вре-

мя). Как видим, точки t1, t2, t3, t4, t5 являются точками минимума функции h = h(t), но про-

изводная в этих точках не существует (эти точки являются точками излома графика).

Аналогичная картина наблюдается при нагревании чайника с водой на электроплит- ке постоянной мощности. График зависимо- сти количества теплоты в чайнике от времени

Q(t) изображен на рис. 98. Момент t0 закипа- ния воды является точкой максимума фун- кции, но производной в этой точке не суще- ствует.

Рассмотрим подробнее такие функции, то есть непрерывные в области определения, но

имеющие точки, в которых производная не существует. К таким функциям относится, на-

пример, функция у = |x|. Точка х = 0 являет-

ся, согласно определению, точкой минимума функции у = |x| (рис. 99). Однако в этой точке производная функции не существует — точка

О является точкой излома графика. Следовательно, функция мо- жет иметь точки экстремума не только в тех точках, где производ- ная равна нулю, но и в точках, где производная не существует.

Точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называ- ются критическими точками функции.

Не каждая критическая точка функции явля- ется ее точкой экстремума. В этом мы убедились, рассматривая выше функцию у = х3. Не является точкой экстремума и точка х0 для функции у = f(x), график которой изображен на рис. 100, хотя она и

является критической точкой функции.

Если критические точки непрерывной фун- кции удовлетворяют условиям теоремы 3, то они обязательно являются точками экстремума функции. Схема нахождения точек экстремума в этом случае

аналогична схеме, приведенной выше для дифференцируемых функций. Разница заключается только в том, что в пункте 2) необ- ходимо находить не только точки, в которых производная равня- ется нулю, но и точки, в которых функция не имеет производную.

Пример 5. Найти точки экстремума функции f(x) = (x + 1)|x|.

Областью определения функции являются все действительные числа. Если х > 0, то f(x) = х2 + х и f ′(x) = 2х + 1 > 0. Если х < 0, то f(x) = –х2 – х и f ′(x) = –2х – 1. Производная функции равна нулю при

х =−12 , то есть эта точка является критической точкой функции.

3. Построение графиков функций

Вы уже знаете, что построение графиков функций следует начинать с ее исследования, то есть с уста- новления основных свойств функции.

Исследование функции целесообразно проводить по такой схеме.

1)Найти область определения функции, если она не указана.

2)Исследовать функцию на четность (нечетность). Для четных и нечетных функций можно ограничиться исследованием лишь при х ≥ 0.

3)Выяснить, будет ли функция периодической. Если функция периодическая и Т — ее основной период, то можно ограничить- ся исследованием функции на любом промежутке длиной Т.

4)Найти точки пересечения графика функции с осью х, то есть нули функции, и промежутки знакопостоянства (если это не приведет к громоздким уравнениям и неравенствам).

5)Найти промежутки возрастания и убывания функции и точ- ки экстремума функции.

6)Вычислить значения функции в точках экстремума.

7)Для уточнения графика функции можно вычислить ее зна- чения в дополнительных точках, например, найти точку пере- сечения графика с осью y.

8)Для функций, имеющих точки разрыва, необходимы допол- нительные исследования в окрестностях этих точек.

Пример 6. Построить график функции f (x) = 98 (x −1)2 (x + 1) .

 1) Функция определена на всей числовой оси, то есть

D(f) = (–∞; +∞).

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как, на-

пример, f(2) ≠ f(–2) и f(2) ≠ – f(–2).

3) Функция не является периодической.

4) Нулями функции являются точки х = ±1. Найдем проме- жутки знакопостоянства функции. Неравенство (х – 1)2(х + 1) > 0 выполняется при х + 1 > 0 и х ≠ 1. Следовательно, функция при- нимает положительные значения на интервалах (–1; 1) и (1; +∞).

На интервале (–∞; –1) функция принимает отрицательные значения.

На основании этих исследований уже можно построить эскиз графика (рис. 105).

5) Уточним график функции с помощью производной: найдем промежутки возра-

стания и убывания, точки экстремума.

y′ = 98 (2(x − 1)(x + 1) + (x − 1)2 ) = 98 (x − 1)(2x + 2 + x − 1) = 98 (x − 1)(3x + 1) .