978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

удовлетворяют те значения х, для которых выполняется равенст-

во x2 − 3x + 11 = 32 . Полученное квадратное уравнение имеет кор- нями числа х1 = 1 и х2 = 2, которые являются решениями данного

уравнения. g

Ответ. 1) – 23; 2) 1 и 2.

Рассмотрим логарифмические уравнения вида loga f (x) = loga g(x) .

Пример 11. Решить уравнение log2(х – 2) = log2(x2 – x – 17).

 Если х0 — корень этого уравнения, то имеет место числовое ра­ венство log2 (x0 − 2) = log2 (x02 − x0 − 17), поэтому x0 − 2 = x02 − x0 −17 (последнее равенство следует из монотонности логарифмической функции). Отсюда: x02 − 2x0 −15 = 0. Это равенство верно, если

х0 = 5 или х0 = –3. Итак, предположив, что число х0 — корень дан- ного уравнения, мы показали, что оно может равняться или 5, или –3. Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения. Подставляя последовательно в его левую и правую

x2 − x −17 отрицательны, обе части уравнения не имеют смысла, то есть х = –3 не является корнем данного уравнения. g

Ответ. 5.

Рассмотренный пример показывает, что

!при переходе от уравнения logaf(x)= logag(x) к уравнению f(x)= g(x) могут появиться посторонние корни. Поэ-

тому необходимо выполнить проверку.

Решение логарифмических неравенств основано на использо- вании монотонности логарифмических функций. Функции y = loga x определены при х > 0 и при а > 1 возрастающие, а при

0 < a <1 — убывающие.

рифма находится между 0 и 1), поэтому неравенство выполняется при х > 0 и х ≥ 9, то есть при х ≥ 9. g

Ответ. 1) 0 < x < 13 ; 2) х ≥ 9.

Логарифмические неравенства вида log f(x)< log g(x) можно ре- шать по такой схеме: a > a

1)записать условия, задающие область определения неравен- ства, то есть указать множество значений переменной, при ко- торых имеют смысл выражения, входящие в неравенство;

2)отбросить знаки логарифмов с учетом возрастания или убы- вания логарифмической функции;

3)решить полученное неравенство;

4)записать ответ с учетом области определения неравенства.

Пример 13. Решить неравенство lg(3x – 4) < lg(2x + 1).

 Будем действовать по приведенной схеме.

1) Логарифмическая функция у = lg x определена при x > 0, потому неравенство имеет смысл при 3х – 4 > 0 и 2 x + 1 > 0, или

2) Так как логарифмическая функция с основанием 10 явля-

ется возрастающей, то, отбросив знаки логарифмов, получим:

3х – 4 < 2x + 1.

3) Решим полученное неравенство: х < 5.

— свойства логарифмов;

— замену переменной;

— разложение на множители;

— логарифмирование;

— функциональные методы.

Проиллюстрируем эти методы на конкретных примерах. При решении логарифмических уравнений часто приходится

выполнять преобразования, применяя свойства логарифмов. При этом может нарушиться равносильность уравнений.

Пример 14. Решить уравнение lg(x + 2) + lg(x – 2) = lg5.

 Согласно свойству логарифма произведения (см. § 2), имеем: lg((x – 2)(x + 2))= lg5. Отсюда следует, что х2 – 4 = 5. Корнями этого уравнения являются числа 3 и –3. Нетрудно проверить, что оба числа являются корнями уравнения lg(х2 – 4)= lg5, но только чи- сло 3 является корнем исходного уравнения.

Посторонний корень появился после выполнения преобразова- ния lg(x + 2) + lg(x − 2) = lg(x2 − 4) , в результате которого получи-

ли уравнение с более широкой областью определения. Действи- тельно, выражения, содержащиеся в данном уравнении, имеют смысл при х (2; +∞), а в полученном — при х (–∞; –2) (2; +∞). Расширение области определения уравнения привело к появле- нию посторонних корней. g

Ответ. 3.

!При решении данного уравнения мы переходили от суммы логарифмов к логарифму произведения. При этом переходе, а также при переходе от разности логарифмов к логарифму частного, от произведения четного числа на логарифм некоторого выражения к логарифму степени могут появиться посторонние корни и потому проверка необходима. Если же переходить от логарифма произве-

дения, частного или же четной степени к сумме, разности логарифмов или же к произведению четного числа на логарифм, можно потерять корни.

Распространенным является метод сведения логарифмических уравнений к более простым (например, алгебраическим) введени- ем новых неизвестных.

 Левая часть уравнения является произведением двух мно- жителей. Приравняем каждый из них нулю и решим полученные

уравнения: x = 0 , х = 0; lg(х – 1)= 0, х – 1 = 1, х = 2. Легко заметить, что число х = 0 не является корнем исходного уравнения, так как при х = 0 выражение lg(х – 1) не имеет смысла. В то же время чис­ ло х = 2 является корнем данного уравнения. g

Ответ. 2.

!При решении логарифмического уравнения вида f(x)logag(x) = 0 сведением к уравнениямf(x)= 0 и logag(x) = 0

необходимо проверить, удовлетворяют ли их корни ис-

ходному уравнению.

Если неизвестная под знаком логарифма стоит в показателе степени, то иногда целесообразно прологарифмировать обе части равенства: ведь уравнение f (x) = g(x) равносильно уравнению

loga f (x) = loga g(x) при условии, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Пример 17. Решить уравнение 73 lg x = 34,3x .

 Обе части уравнения принимают положительные значения: левая часть как степень некоторого числа, правая часть – на осно-

вании того, что х > 0. Учитывая, что 34,3 = 34310 = 1073 , прологариф-

мируем обе части уравнения по основанию 10: 3lg x lg7 = 3lg7 −

− lg10 + lg x . Отсюда: lg x(3 lg 7 −1) = 3 lg 7 −1, lg x = 1,x = 10. g

Ответ. 10.

Теорема. Неравенство loga f (x) < loga g(x) при a > 1 рав­

Решить неравенство:

1)log2 (1 − 4x) > log2 (x2 + 4); 2) log1 (x − 2) > −3.

1)Вданномслучаеоснование3логарифмабольше1,поэтомудан­

x2 + 4x + 3 < 0 является промежуток, содержащийся между корня-

58 Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции

Задачи

54. Найдите точки пересечения с осью абсцисс графика функции: 1) у = 3х – 1 – 6х ·2- х ·3х + 1; 2) y = 4sin x cos x − 2 ;

3) у = 2х + 2х – 1 + 2х – 2 – 3х + 3х – 1 – 3х – 2.

55.Найдите точки пересечения графиков функций:

осями координат?

2)Решите уравнение f (x) = − 92 .

3)Решите неравенство f (x) < − 92 .

4) Найдите область определения функции y = f (x).

60.Культуре из 100 бактерий предоставлена возможность раз- множаться в благоприятных условиях по закону N = N0ekt, где N — число бактерий в момент t, N0 — количество бактерий в начальный момент времени t = 0, k — некоторая константа. Через 12 ч оказывается, что культура содержит 500 бактерий. Сколько бактерий будет через 2 суток после начала опыта?

61.Закон радиоактивного распада вещества имеет вид m = m0 2− Tt , где m0 — масса вещества в начальный момент t = 0, m — масса вещества в момент t, T — некоторая константа, которую назы- вают периодом полураспада. Через время T после начального момента масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое. Вычислите период полураспада вещества, если за год ее мас- са уменьшилась в десять раз.

62.Решите уравнение: