978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

42 Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции

4)(log 2 5)(log5 2); 5) log 3 2 + log3 2,25.

29.Вычислите с помощью калькулятора с точностью до 0,001: 1°) lg 17; 2°) lg 127; 3°) ln 2,9;

4°) ln 0,72; 5) log342; 6) log0,256,2.

30.Найдите с точностью до 0,001 решение уравнения:

31.Упростите данное выражение и вычислите с точностью до 0,001 с помощью калькулятора его значение при х = 1,21:

33.Скорость погружения тела в жидкость описывается с помо-

щью формулы v = 2,5(1 − 2,7−1,5 t ), где v — скорость, м/с; t — время, с.

1)Через сколько секунд после начала погружения скорость будет равняться 2,2 м/с?

2*) Через сколько секунд скорость тела будет составлять 95% от числа, к которому приближается значение данной фун- кции при стремлении t к бесконечности?

34.Конструкция вакуумного насоса рассчитана на откачивание за один ход поршня из камеры 3% газа от того количества, ко- торое было в камере перед этим ходом поршня. Сколько таких ходов нужно сделать, чтобы откачать из камеры 99% газа?

35.Количество особей биологической популяции в течение ка- ждой единицы времени увеличивается на 8 % по отношению к предыдущей единице времени. Через сколько единиц вре- мени численность популяции удвоится?

36.Давление воздуха падает с ростом высоты (при постоянной

температуре) по закону p = p0e− Hh , где р0 — давление на уров- не моря (h = 0), p – давление на высоте h, H — некоторая кон- станта, зависящая от высоты. Найдите формулу для вычисле- ния высоты в зависимости от давления.

37.Найдите область определения функции у = f(x):

44 Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции

4)y = − 12 log3 (x + 3); 5) y = 1 + log3 (−x).

45.Дана функция y = log2 (x + 1) .

1°) Найдите ее область определения и множество значений. 2°) Найдите точки пересечения графика функций с осями ко- ординат.

3°) Постройте ее график.

4°) Проходит ли график этой функции через точку А(3; 2);

В − 43 ;2 ?

5)Сколько решений имеет уравнение log2 (x + 1) = x −1 ?

Упражнения для повторения

46. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

3)y = x2 + x − 2 и у = 2. x + 2

Итог

Основные понятия

Свойства логарифмов

§3. Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и их систем

В этом параграфе рассматриваются некоторые методы решения показательных и логарифмических уравнений, неравенств и их систем.

1. Показательные уравнения и неравенства

Показательные уравнения и неравенства – это та-

кие уравнения и неравенства, в которых неизвест- ные содержатся в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид ах = b. Так как функция у = ах монотонная, то каждое свое значение она принимает лишь в од-

ной точке.

Таким образом, уравнение ах = b при b > 0 имеет единственный корень, который, по определению логарифма, имеет вид x = logаb, а при b ≤ 0 корней не имеет.

Рассмотрим уравнение видааf(x) = аg(x), где а > 0 иа ≠ 1. Оно имеет те же корни, что и уравнение f (x) = g(x) . Фактически этим утвер-

ждением мы пользовались, решая простейшие показательные урав- нения. Оно следует из монотонности показательной функции.

виде: 3x2 −3x −1 = 3−3. Это уравнение имеет те же корни, что и уравне-

ние x2 − 3x −1 = −3 . Его корнями, а значит и корнями данного уравнения, являются числа: x1 =1, x2 = 2. g

Ответ. 1) −0,5 ; 2) 1; 2.

48 Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции

Уравнение может содержать несколько показательных фун- кций. Тогда их целесообразно выразить через одну.

Пример 2. Решить уравнение 2·3х + 3 + 7·3х – 2 = 493.

 Анализируя данное уравнение, можно увидеть, что левую часть легко преобразовать так, что оно будет содержать лишь

Ответ. 2.

Решение показательных неравенств базируется на использо-

вании монотонности показательных функций. Функции y = ax при a >1 возрастающие, а при 0 < a <1 — убывающие. В соответ-

ствии с этим, неравенство af ( x ) < ag( x ) имеет те же решения, что и неравенство f (x) < g(x) при a >1 и f (x) > g(x) при 0 < a <1 .

Пример 3. Решить неравенство: (0,5)x – 2 < (0,5)1 – x .

 Так как 0 < 0,5 <1, то данное неравенство имеет те же реше- ния, что и линейное неравенство x − 2 > 1 − x, или 2x > 3, x >1,5. g

Ответ. (1,5; +∞).

Общими методами решения показательных урав- нений и неравенств являются:

— переход от уравнения af ( x ) = ag( x ) (неравенст-

ва af ( x ) < ag( x ) ) к уравнению f(x)= g(x) (неравенству f (x) < g(x) при a >1 и f (x) > g(x) при 0 < a <1 );

— замена переменной;

— разложение на множители;

— логарифмирование обеих частей уравнения или неравенства;

— применение свойств функций.

Проиллюстрируем каждый из этих методов примерами.

Пример 4. Решить уравнение 7х = 9х.

 Так как 9х ≠ 0, то, разделив обе части уравнения на 9х, полу-

Обратите внимание на то, что условие а ≠ 1 при переходе от

уравнения af ( x ) = ag( x ) к уравнению f(x) = g(x) является существен- ным. Равенство 1х = 13 выполняется при любом х, а не только при

х = 3.

 Применяя свойства степени, это неравенство можно предста- вить в виде (2 5)x2 −3 − 10−2 103( x −1) < 0 или 10x2 −3 < 103x −5 . Так как

 Нетрудно заметить, что 4x = (2x )2 , 9x = (3x )2 , 6x = 2x 3x. Так как 9x ≠ 0 ни при каком x R , то, разделив обе части уравнения

уравнение y2 + y − 2 = 0. Корнями этого уравнения являются чи-

Обозначив 3х = t, получим квадратное неравенство t2 – 4t + 3 <

<0. Оно выполняется при 1 < t < 3. Так как 3х = t, то 1 < 3х < 3, или

30 < 3х < 31, 0 < х < 1. g Ответ. (0; 1).

Пример 8. Решить уравнение 2x2 −1 = 34x .

Так как 3 = 2log2 3 , то данное уравнение можно преобразовать

квиду 2x2 −1 = (2log2 3 )4x . Это уравнение равносильно уравнению