978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

7.Как расположены прямые АВ и CD, если AB = −3CD ? А. Параллельны. Б. Пересекаются. В. Совпадают. Г. Совпадают или параллельны.

8.Какая из приведенных точек находится на том же расстоянии от оси x, что и точка (–3; 4)?

(–3; 2). Б. (3; 1). В. (–4; –3). Г. (–1; 4).

Укажите координаты одного из концов отрезка, если второй конец имеет координаты (7; 12), а середина отрезка — (2; 3).

(–3; 6). Б. (–5; –6). В. (–3; –6). Г. (–5;6).

10. Даны векторы a = (2; − 5) и b = (1;3) . Какое равенство неверно?

11.Найдите радиус окружности, если точки (5; 7) и (2; 3) являют- ся концами одного из её диаметров.

рактеризующихся неотрицательным числовым значением (модулем) и направлением.

Вектор — от латинского vector — несущий.

Beктopы, как и соответствующие им векторные величины, изо- бражаются направленными отрезками и в определенной мере отождествляются с ними.

В зависимости от того, где расположены направленные отрез- ки, будем различать векторы на плоскости и векторы в простран- стве. Большинство определений и фактов формулируются без учета того, какие векторы рассматриваются, при условии, что это не влияет на их смысл. Toгда, когда это отличие существенно, де- лают соответствующие уточнения.

Обозначают векторы латинскими буквами со стрелками

a,b,c,F,R,E или с черточками a,b,c,F,R,E . Кроме того, иногда

для обозначения применяют полужирный шрифт: а, b, F. Beктop, изображение которого имеет начало в точке A, а конец — в точке

B, обозначают AB .

Все направленные отрезки, изображающие данный вектор, имеют одинаковые длину и направление, которые являются, соот- ветственно, длиной (модулем) и нanpавлением этого вектора.

Длину вектора a обозначают a . Длина вектора AB равна рас-

стоянию между точками A и B.

Направленный отрезок однозначно характеризуется упорядо- ченной парой точек — началом и концом этого отрезка. Поэтому можно считать, что вектор — это совокупность всех упорядочен- ных пар различных точек, соответствующих одинаково направ- ленным отрезкам с одинаковой длиной. Пары совпадающих точек (A, A), (B, B), ... определяют вектор, который называют нулевым

и обозначают 0 . Изображением нулевого вектора является произ- вольная точка. Moдуль нулевого вектора считают равным нулю, а его направление не определено.

Beктopы, модули которых равны между собой, а на- правления совпадают, называются pавнымu. Bектopы, имеющие одинаковые или противополож- ные направления, называются коллинeаpнымu.

Иногда то, что векторы a и b одинаково направлены, обозна- чают a ↑↑ b , противоположно направлены — a ↑↓ b , коллине-

арны — a || b .

Ненулевой вектор a называют параллельным дан- ной прямой (плоскости), если хотя бы одно из его изображений принадлежит этой прямой (плоско- сти) или параллельно ей.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Для произвольного ненулевого вектора a через −a обозначают вектор, противоположный данному, то есть век- тор, имеющий одинаковую с вектором a длину, но противополож-

ное направление. Условимся, что –0 = 0 .

Построение направленного отрезка, изобра- жающего вектор a с началом в фиксирован-

ной точке А, называют откладыванием вeкmopa от данной точки (рис. 19).

Откладывание вектора a от каждой точки пространства опреде- ляет преобразование, которое каждой точкеМпространства ставит в

соответствие точку М ′ такую, что MM ′ = a , то есть точкаМ ′ являет-

ся концом отложенного от точкиМ вектора a . Полученное преобра-

зование называется параллельным переносом на

вектор a.

При параллельном переносе точки смещаются в одном направлении на одно и то же расстояние. По- этому при таком преобразовании расстояния между

точками не меняются (рис. 20). Понятно, что при па- раллельном переносе не меняются и свойства фигур.

Если все точки фигуры перенести на вектор a, то получим фигуру, равную данной.

 1) Векторы C1C и D1D равны, так как отрезкиС1С и D1D рав- ны и параллельны, и векторы имеют одинаковое направление.

2) Вектор D1D противоположен вектору AA1 на основании тех же рассуждений, что и в задании 1).

3) Векторы D1D , AA1 , C1C коллинеарны вектору MD , так как

соответствующие направленные отрезки лежат на той же прямой, что и отрезок MD, или параллельны ей. g

Понятие вектора, чаще всего применяемое в физи- ке, несколько отличается от приведенного выше. Это связано с тем, что для зaдaния некоторых вeк- тopныx величин существенными являются точки иx приложения. Речь идет, напpимер, o пepeмещeнии мaтepиaльнoй точки, нaпpяженности элeктpическoгo поля, образованнoгo по- ложительным зapядoм. Напpавленный отрезок, изoбpaжaющий соответствующую вeктopную величину, должен иметь определен-

ное начало — точку приложения дaннoй величины. Изображение других векторных вели-

чин так жестко не фиксируется. Напpи-

мер, силу, действующую на твердое тело и

изображенную на рис. 22 направленным

отрезком AB, можно изобразить также на-

правленным отрезком CD (но не MN). И в самом деле, действие силы на твердое тело не меняется при переносе силы вдоль

линии ее действия, но может измениться в результате изменения линии действия.

Скорость поступательного движения твердого тела, то есть ско- рость движения тела, при котором все его точки движутся с одина- ковой скоростью (по модулю и по направлению), может быть изобра- жена направленными отрезками, имеющими данную длину, данное направление и отложенными от произвольной точки тела.

Названное выше отличие между векторными величинами очень существенно в процессе выполнения действий с этими величина- ми, например, при замене действия двух сил действием одной силы (равнодействующей). Поэтому используют разные типы векторов.

Если начало изображения вектора строго определено, то век- тор называют связанным (закрепленным). Такой вектор можно отождествлять с направленным отрезком. Следователь-

но, связанным (закрепленным) вектором называется на-

правленный отрезок. В физике под вектором чаще всего пони- мают именно связанный вектор.

Если же начало изображения вектора можно выбрать произ- вольно, то вектор называется свободным. Точнее, свободный

вектор является совокупностью всех направленных от-

резков, имеющих одинаковую длину и заданное направ-

ление. Различные направленные отрезки из этой совокупности можно считать изображениями данно- го вектора (различными «фотографиями»

одного и того же объекта). Ha рис. 23 изо- бражены три свободных вектора, хотя на- правленных отрезков на нем шесть. Здесь

один вектор имеет три изображения, вто- рой — два, третий — одно.

!В курсе математики мы будем рассматривать лишь свободные векторы и употреблять слово «вектор» в по- нимании «свободный вектор».

Свободные векторы непосредственно связаны с одним из важ- нейших геометрических преобразований — параллельным пе- реносом. Как было показано выше, каждый вектор определяет параллельный перенос и наоборот — каждому параллельному переносу соответствует определенный вектор. Параллельный пе- ренос отображает фигуру на равную ей, то есть прямую на пря- мую, отрезок на равный ему отрезок, плоскость на плоскость и т. п. Более того, при параллельном переносе прямая отображается на прямую, параллельную ей или совпадающую с ней. Это понят- но с геометрической точки зрения (см. рис. 20) и из механического толкования параллельного переноса. Пользуясь этим свойством, нетрудно доказать, что при параллельном переносе плоскость отображается на плоскость, параллельную ей или совпадающую с ней.

99 Kонтрольные вопросы

1°. Является ли векторной величиной: а) объем тела; б) переме- щение точки; в) работа; г) сила земного притяжения?

2°. Сколько различных вектopов изображено на: рис. 24, а);

рис. 24, б); рис. 24, в); рис. 24, г)?

3.Сколько ненулевых векторов задают: а) две точки; б) вершины параллелограмма; в) вершины куба; г) вершины тетраэдра?

4°. Равны ли векторы AB и CD , если четырехугольник ABCD — параллелограмм?

5°. Может ли вектор AB быть равным вектору BA ?

6°. На рис. 25 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1, точка K лежит на ребре D1C1.

а) Равны ли векторы A1B1 и D1C1 ?

б) Является ли вектор AA1 противоположным вектору C1C ? в) Коллинеарны ли векторы D1 K и A1B1 ?

7. Коллинеарны ли векторы AB и CD , если прямые АВ и CD: а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают; г) скрещива- ются?

8. Как могут располагаться прямые AB и CD в пространстве,

если векторы AB и CD — не кoллинeapны?

9. Когда направленный отрезок и его проекция на некоторую плоскость изображают один и тот же вектор?

10. Данный вектор отложен от всех точек: а) отрезка; б) треуголь- ника; в) тетраэдра. Какую фигуру образуют концы получен- ных отрезков?

2. Действия над векторами

С векторами пространства, как и с векторами пло- скости, выполняют различные операции, подобные по своим свойствам соответствующим алгебраиче- ским операциям над числами.

Сложение векторов. Два поступательных перемещения тела из пункта А в пункт B и далее — из пункта B в пункт C — можно заменить одним перемещением из A в C. Обобщение этой опера- ции на произвольные векторы дает операцию сложения векторов.

Пусть даны два вектора a и b . От произвольной точки A отло- жим вектор a , то есть найдем такую точку B, что AB = a (рис. 26). Затем от точки B отложим вектор b , то есть найдем такую точку C, что BC = b .

Вектор AC нaзывaеmcя cуммoй векmopов a и b и

обознaчaеmcя a + b .

Cуммa a +b не зависит от выбора точки A. Если заменим A другой точкой пространства, то, выполнив аналогичные дейст-

вия, получим вектор, равный AC (рис. 27).

Сфоpмулированное правило построения суммы векторов назы- вают npaвuлoм тpеугольнuкa. Символически его можно запи- сать так:

AB + BC = AC.

Если ненулевые векторы a и b не кoллинeapны, то их сумму удобно находить с помощью npaвuлa napaллeлoгpaммa (рис. 28): откладываем векторы от одной точки, на них строим па- раллелограмм, направленная диагональ параллелограмма с на- чалом в выбранной точке равняется сумме векторов. На рис. 28 видим, что правила треугольника и параллелограмма дают оди- наковые результаты.

Сложение векторов обладает следующими свойствами.

Свойство 1. a + b = b + a (переместительный закон). Свойство 2. (a + b) + c = a + (b + c ) (сочетательный закон).

Свойство 3. a + 0 = a . Свойство 4. a + (−a) = 0 .

Сумму нескольких векторов находят, складывая их последова- тельно. Напpимер, a + b + c = (a + b) + c . В соответствии с сочета-

тельным законом, результат сложения векторов не зависит от группировки слагаемых.

Вычитание векторов. Разность векторов определяется с помощью операции сложения.

Разностью векторов a и b называется вектор a + (−b), который обозначается a − b.

При вычитании векторов остается верным уже известное вам свойство: если a − b = c то a = b + c. Действительно,

b + c = b + (a + (−b)) = b + ((−b) + a) = (b + (−b)) + a = 0 + a = a.

Геометрическое построение разности a −b также базируется

на сложении векторов a и –b .

Умножение вектора на число. Существует несколько опера-

ций умножения, связанных с векторами. Одной из них является операция умножения вектора на число, приводящая к «растяже- нию» или «сжатию» вектора, а также к изменению направления на противоположное, если множитель — отрицательное число.

Произведением ненулевого вeкmopa a на чucлo x ≠ 0

нaзывaеmcя вeкmop, длuнa которого равна x a ,

а нanpавление совпадает с нanpавлением вектора a, если x> 0,и npomuвоположно нanpавлению a, если x< 0.

Произведение вектора a на число x обозначают x a (числовой множитель пишут слева).

Если a = 0 или x = 0, то считают, что xa = 0.

Если для двух ненулевых векторов a и b имеет место равенст- во a = xb , то векторы a и b — коллинеарны. Причем a ↑↑ b при

x > 0 и a ↑↓ b при x < 0.

Следующие равенства выражают основные свойства умноже- ния вектора на число.

Свойство 1. x ( ya) = (xy)a (сочетательный закон). Свойство 2. (x + y)a = xa + ya ( распределительный

закон относительно сложения чисел).