978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

Готовимся к тематичес­ кому оцениванию по теме « Производная и ее приложения»

у = 2sin x в точке с абсциссой х = 0.

12.На рисунке изображены графики производных функций y = f (x), y = g(x), y = ϕ(x) . Какая из этих функций возрастает?

13.Известно, что f ′(x) = (x + 1)2(x – 2). Укажите:

а) промежутки возрастания и убывания функции у = f(x); б) точки экстремума функции у = f(x).

14.На рисунке изображен график произ- водной функции у = f(x), заданной на

промежутке [–3; 4]. Укажите:

а) промежутки возрастания и убывания функции у = f(x); б) точки экстремума функции у = f(x). Среди функций, графики которых изо- бражены на рисунке, выберите ту, которая своё наименьшее

значение принимает в точке минимума, а наибольшее — на одном из концов области определения.

16°.Известно, чтоf′(x) = –3 при каждомх. В какой точке промежутка [–2; 1] функцияу = f(x) принимает наибольшее значение?

17°.Известно, что f ′(x) = x(x + 2)(x – 2). В каких точках следует вы- числить значения функции у = f(x), чтобы найти ее наиболь- шее и наименьшее значения на промежутке [–1; 3]?

18°.Пусть x = 2t3 − 6t — закон прямолинейного движения точки. Укажите наименьшую и наибольшую координаты точки на промежутке времени [0; 2].

19. Какой из графиков, приведенных на рисунке, может быть графиком функции y = f(x), если f ′(x) = 3х – 1?

20. Производная функции у = f(x) изобра-

жена на рисунке. Укажите наимень- шее значение функции у = f(x) на про- межутке [–1; 1]. 21. Какое из следующих утверждений яв- ляется неверным? а) Наименьшее значение функция может принимать не толь-

ко в точке минимума.

196 Раздел 3. Производная и ее приложения

б) Наибольшее и наименьшее значения функция может при- нимать только в своих точках экстремума.

в) Существует функция, у которой совпадают ее наибольшее и наименьшее значения.

22*.На рисунке справа изображен график фун- кции y = f(x). На каком из рисунков ниже изо- бражен график производной этой функции?

Ответы к заданиям для самоконтроля

с координатами (1; 1) и (–1; –1). 8. х2. 9. v(2) > v(3). 10. а)х1 = –1;х2 = 3; б)х1 = –1;

х2 = 2; х3 = 3; в) (–1; 2) (3; 5); г) наибольшее значение функции равно 4, наи- меньшее равно –1. 11. в). 12. у = f(x). 13. а) Функция убывает на промежутке

(–∞; 2] и возрастает на промежутке [2; +∞); б) х = 2. 14. а) Функция убывает на каждом из промежутков [–3; –2], [3; 4] и возрастает на промежутке [–2; 3];

б)х1 = –2; х2 = 3. 15. у = h(x). 16. х = –2. 17. х1 = –1; х2 =0; х3 =2; х4 = 3. 18. –4; 4.

19. в). 20. f(–1). 21. Неверным является утверждение б). 22. а).

Образец контрольной работы № 3

1.На рисунке изображен график

функции­ y = f(x), определенной на промежутке [–2; 7]. Найдите:

1°) в какой из точек: х1 = 1 или х2 = = 2 — функция имеет большую ско- рость изменения; 2°) точки экстремума функции;

3°) промежутки, где производная функции отрицательна; 4°) наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на промежутке [0; 7];

5) точки, в которых функция y = f(x) недифференцируема; 6) знак числа (f ′(1) – f ′(2)) f ′(3).

2.Дана функция у = х4 – 2х2 – 3. Найдите:

1°) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х = 12 ; 2°) промежутки возрастания и убывания функции и ее точки экстремума;

3°) наибольшее и наименьшее значения функции на проме-

жутке [0; 2]; 4) уравнение касательной к графику функции в точке пересе-

чения графика с осью ординат.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

2sin t + 1.

Правила дифференцирования функции

Таблица 29

1.Найти точки, в которых производная функции равна нулю.

2.Разбить область определения функции найденными точ- ками на интервалы.

3.Определить знак производной на каждом из полученных интервалов.

Сделать вывод: если на интервале f ′(x) >0, то на этом ин-

4.тервале функция возрастает; если на интервале f ′(x) < 0, то на этом интервале функция убывает.

5.Проверить, меняет ли производная знак в точках, где производная равна нулю.

Если в точке производная изменяет знак с «+» на «–»,

6.то эта точка является точкой максимума, если с «–» на «+», — то точкой минимума.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой функции на отрезке

Таблица 31

1.Найти точки, в которых производная функции равна нулю.

2.Отобрать те из найденных точек, которые принадлежат заданному отрезку.

3.Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

Наибольшееизполученныхчиселявляетсянаибольшим

4.значением функции на данном отрезке, наименьшее – наименьшим значением функции на данном отрезке.