978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus
.pdf
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ
Физический мир поражает нас многообразием форм, ведь каждый реальный объект имеет свои особенности, отличающие его от других. И в то же время предметы, окружающие нас, имеют много общих черт, которые при описании их средствами геометрии позволили естественно выделить среди них ограниченное число основных классов геометрических фигур. Кирпич, керамические плитки, деревянный брус да и сами здания чаще
всего имеют форму прямоугольного параллелепипеда. Солнце, планеты, яблоко, каплю воды мы бы описали с помощью геометрической фигуры — шара. Характеризуя форму стволов деревьев, чашки для кофе, карандаша, мы в первую очередь вспомним прямой круговой цилиндр (а возможно — конус). Поэтому выделение и изучение важнейших видов геометрических фигур и является задачей данного раздела.
Что в первую очередь видит наблюдатель, глядя на предмет? Конечно, его «внешность». Поэтому изучение строения поверхностей геометрических тел относится к первоочередным задачам. Заглянуть внутрь тел помогут наиболее характерные сечения. А еще интересными и важными
в применениях являются свойства симметрии тел, отношения между одинаковыми и различными фигурами.
Обратим внимание на то, что при введении ранее основных геометрических тел отдавалось преимущество конструктивному методу. При этом идея конструирования является важной и глубокой. Ведь удобно моделировать реальные физические тела, имеющие сложное строение, геометрическими телами, сконструированными из некоторого числа основных тел.
|
Готовимся к изучению |
|||||||||||
|
|
|
|
темы «Геометрические |
||||||||
|
|
|
|
тела и поверхности» |
||||||||
Для изучения темы «Геометрические тела и поверхности» по- |
||||||||||||
надобятся планиметрические понятия и факты, а также сведения |
||||||||||||
о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в |
||||||||||||
пространстве. Важнейший материал, необходимый для подготов- |
||||||||||||
ки к изучению темы, приведен в виде таблиц. |
||||||||||||
Метрические соотношения в треугольнике |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 39 |
|
Название |
Символическая |
Геометрическая |
||||||||||
утверждения |
|
|
|
|
запись |
|
иллюстрация |
|||||
Теорема Пифагора |
|
|
|
c |
2 |
= a |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ b |
|
c |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
Соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
sin α = a , |
cos α = b |
, |
||||||||||
между сторонами |
||||||||||||
и углами прямо |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
a |
ctg |
|
b |
|
|||
угольного тре |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
tg α = b , |
α = a |
|
||||||||||
угольника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
= |
|
|
b |
= |
|
c |
= 2R, |
||
Теорема синусов |
sin α |
|
sin β |
|
sin γ |
|
|
|||||
где R — радиус описан- |
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
ной окружности |
|
|||||||||
Теорема косинусов |
c2 |
= a2 + b2 − 2abcos γ |
||||||||||
Готовимся к изучению темы «Геометрические тела и поверхности» |
253 |
|
|
||
Параллельность прямых и плоскостей в пространстве |
|||||
|
|
|
Таблица 40 |
||
Название |
Формулировка |
Геометрическая |
|
||
утверждения |
утверждения |
интерпретация |
|||
Признак |
Если две прямые парал- |
|
|
|
|
параллельно- |
лельны третьей, то они па- |
a |
|
|
|
сти прямых в |
раллельны между собой. |
b |
|
|
|
пространстве |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Признак |
Если прямая, не лежа- |
a || b, b || c a || c |
||
|
|
|||
параллельно- |
щая в данной плоскости, |
|
|
|
сти прямой и |
параллельна |
некоторой |
|
|
плоскости |
прямой плоскости, то она |
|
|
|
|
параллельна |
самой пло- |
|
|
|
скости. |
|
a || b a || a |
|
|
|
|
||
Признак па- |
Если две пересекающиеся |
a |
b |
|
раллельности |
прямые одной плоскости |
|
|
|
двух плоско- |
соответственно параллель- |
|
|
|
стей |
ны двум прямым другой |
c |
d |
|
|
плоскости, то эти плоско- |
|||
|
|
|
||
|
сти параллельны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
a || c, b || d a || b
Об отрезках |
Отрезки |
параллельных |
|
|
|
параллельных |
прямых, |
заключенные |
|
A |
|
прямых, за |
между |
параллельными |
|
B |
|
ключенных |
плоскостями, равны меж- |
||||
|
|||||
между парал- |
ду собой. |
|
|
|
|
лельными |
|
|
|
C |
|
плоскостями |
|
|
|
D |
|
a || b, AB || CD
AB = CD
254 |
Раздел 5. Геометрические тела и поверхности |
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
|
|
|
Таблица 41 |
|
Название |
Формулировка |
Геометрическая |
||
утверждения |
утверждения |
интерпретация |
||
Признак пер- |
Если прямая перпен- |
|
a |
|
пендикулярно- дикулярна двум пере- |
|
|
|
|
сти прямой и |
секающимся прямым, |
|
|
|
|
|
|
||
плоскости |
принадлежащим дан- |
|
|
b |
|
ной плоскости, то она |
|
|
|
|
перпендикулярна этой |
a b, a c, |
b α, |
|
|
плоскости. |
c α a α |
||
|
|
|||
Признак |
Если одна из двух пло- |
|
b |
|
перпендику- |
скостей проходит через |
|
|
|
лярности двух |
прямую, перпендику- |
|
A |
|
плоскостей |
лярную другой плоско- |
|
|
|
|
|
|||
|
сти, то эти плоскости |
|
|
|
|
перпендикулярны. |
b α,b β α β |
||
|
|
|
|
|
|
||
Теорема о пер- |
Если |
две |
плоскости |
|
|
||
пендикуляре к |
перпендикулярны, |
то |
|
|
|||
линии пересе- |
прямая, |
принадлежа- |
|
|
|||
чения перпен- |
щая одной плоскости и |
|
|
||||
дикулярных |
перпендикулярная ли- |
|
|
||||
|
|
||||||
плоскостей |
нии |
пересечения |
этих |
|
|
||
|
плоскостей, |
перпенди- |
|
|
|||
|
кулярна другой плоско- |
α β,b β,c = α ∩β, |
|||||
|
сти. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
b c b α |
|
Теорема о |
Плоскость, |
перпенди |
|
|
|||
плоскости, |
кулярная |
линии пере |
|
|
|||
перпендику- |
сечения двух перпенди- |
|
|
||||
лярной линии |
кулярных |
|
плоскостей, |
|
|
||
пересечения |
пересекает эти плоско- |
|
|
||||
|
|
||||||
перпендику- |
сти по перпендикуляр- |
|
|
||||
лярных пло- |
ным прямым. |
|
|
|
|||
скостей |
|
|
|
|
|
α β,c = α ∩β, γ c, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a = α ∩ γ,b = β ∩ γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
b a |
Готовимся к изучению темы «Геометрические тела и поверхности» |
255 |
|
|||||||||||
|
Измерение углов и расстояний в пространстве |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 42 |
||||
|
Название |
Формулировка |
Геометрическая |
|
|||||||||
|
утверждения |
утверждения |
интерпретация |
|
|||||||||
|
Расстояние от точки |
Расстояние |
|
от |
|
|
|
|
|
|
|||
|
до плоскости |
точки |
до |
плоско- |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
сти |
|
равно |
длине |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
перпендикуляра, |
про |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
веденного |
из |
данной |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
точки к данной пло- |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
скости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние между |
Расстояние |
меж- |
|
|
|
|
|
|
||||
|
параллельными |
ду параллельными |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
плоскостями |
плоскостями равно |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
длине |
перпендику- |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ляра, |
проведенного |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
из произвольной точ- |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ки одной плоскости к |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
другой плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Угол между пря- |
Углом между пря- |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
мой и неперпен- |
мой |
и |
неперпен- |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
дикулярной к ней |
дикулярной |
к |
ней |
|
|
|
|
|
|
|||
|
плоскостью |
плоскостью |
назы- |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
вается |
угол |
между |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
прямой и ее ортого- |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
нальной |
проекцией |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
на эту плоскость. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Угол между двумя |
Углом |
между |
дву- |
|
|
|
|
|
|
|||
|
пересекающимися |
мя |
пересекающи- |
|
|
|
|
|
|
||||
|
плоскостями |
мися |
плоскостя- |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ми |
называется |
угол |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
между |
|
прямыми, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
образованными |
при |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
пересечении |
данных |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
плоскостей |
третьей |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
плоскостью, |
перпен- |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
дикулярной |
линии |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
пересечения |
первых |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
двух. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
256 |
|
|
|
Раздел 5. Геометрические тела и поверхности |
|||||||||||||
|
Геометрические преобразования в пространстве |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 43 |
||
|
Название |
Геометрическая |
Символическая |
|
|||||||||||||
|
и обозначение |
интерпретация |
|
|
|
запись |
|
|
|||||||||
|
Параллельный пе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ренос на вектор a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ta |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AA1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a Ta ( A) = A1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Центральная сим- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
метрия |
относи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АО = ОА1 ZO(A) = A1 |
|
||||
|
тельно точки О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ZO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Осевая симметрия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
относительно пря- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АА1 ^ l, O = l ∩ AA1, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
мой l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AO = OA1 Sl(A) |
= A1 |
|
|||
|
Sl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Симметрия отно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сительно |
плоско- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сти a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АА1 |
^ a, O = a ∩ AA1, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AO = OA1 Sa(A) |
= A1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поворот вокруг оси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
l на угол a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АОА |
|
^ l, АО = ОА , |
|
||
|
Ra |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a |
1 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АОА1= a Rl (A) = A1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гомотетия |
с цен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тром О и коэффи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OA1 = k OA |
|
|||||
|
циентом k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hok (A) = A1 |
|
|
||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ho |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тест для диагностики готовности к изучению темы «Геометрические тела и поверхности»
1.Из одной точки, расположенной вне прямой, проведены к этой прямой перпендикуляр длиной 6 см и наклонная длиной 10 см. Длина проекции наклонной на прямую равна ...
А. 4 см. |
Б. |
136 см. |
В. 8 см. |
Г. величине, отличной |
от приведенных. |
|
|
2. |
В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а ка- |
|||
|
тет, прилежащий к нему, равен 12 см. Гипотенуза равна ... |
|||
|
А. 12 см. |
Б. 16 см. |
В. 18 см. Г |
. 24 см. |
3. |
Два равных отрезка точкой пересечения делятся пополам. |
|||
|
Концы их последовательно соединили. Полученный четырех |
|||
|
угольник является ... |
Б. квадратом. |
|
|
|
А. трапецией. |
|
|
|
|
В. ромбом. |
|
Г. прямоугольником. |
|
4. |
Определите взаимное расположение двух окружностей, ра- |
|||
|
диусы которых равны, соответственно, 4 см и 6 см, а центры |
|||
|
удалены друг от друга на 8 см. |
|
|
|
|
А. Одна окружность находится внутри другой. |
|
||
|
Б. Пересекаются в двух точках. |
|
||
|
В. Одна окружность находится вне другой. |
|
||
|
Г. Касаются друг друга. |
|
|
|
5. |
В окружности провели хорду длиной 8 см, удаленную от цен- |
|||
|
тра на 3 см. Диаметр окружности равен ... |
|
||
|
А. 5 см. |
Б. 12 см. |
В. 10 см. |
|
|
Г. величине, отличной от приведенных. |
|
||
6. |
Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон тре |
|||
|
угольника, является точкой пересечения ... |
|
||
|
А. высот треугольника. |
Б. медиан треугольника. |
||
|
В. биссектрис треугольника. |
|
|
|
|
Г. серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. |
|||
258 |
Раздел 5. Геометрические тела и поверхности |
7.Чему равен внутренний диаметр трубы, если внешний ее диа метр равен 100 мм, а толщина стенки — 5 мм?
95 мм. Б. 90 мм. В. 80 мм. Г. 97,5 мм.
На рисунке изображен прямоуголь- ный параллелепипед. Как размещены 
прямые DB1 и D1C1?
А. Пересекаются. 
Скрещиваются.
Параллельны. Определить невозможно.
9.Прямые а и b — параллельны. Сколько плоскостей можно провести через прямую а параллельно прямой b?
Ни одной. Б. Одну.
Ни одной или одну. Г. Бесконечное множество. Прямая а лежит в плоскости b, а прямая m параллельна пря- мой а и имеет общую точку с плоскостью b. Как расположены прямая m и плоскость b?
Прямая m лежит в плоскости b. Пересекаются. В. Параллельны. Могут располагаться как угодно.
Если диагонали параллелограмма параллельны некоторой плоскости a, то плоскость параллелограмма и плоскость a ...
имеют общие точки. Б. совпадают. параллельны. Г. пересекаются.
Если одна из двух плоскостей перпендикулярна прямой, а дру- гая плоскость параллельна этой прямой, то эти плоскости …
перпендикулярны. Б. совпадают. параллельны.
Г. или параллельны, или совпадают.
Телефонный провод протянут от телефонного столба, где он прикреплен на высоте 8 м, к дому, где его прикрепили на вы- соте 20 м. Расстояние между столбом и домом равно 9 м. Про- вод не провисает. Его длина равна ...
9 м. Б. 12 м. В. 15 м. Г. 21 м.
Из центра О окружности радиуса 5 см проведен к плоскости окружности перпендикуляр ОА длиной 5 см. Под каким углом из точки А виден диаметр окружности?
30°. Б. 45°. В. 60°. Г. 90°.
Тест для диагностики готовности к изучению темы |
259 |
15.Точка S, не лежащая в плоскости прямоуголь- ника с диагональю 10 см, удалена от каждой из его вершин на 6 см. Расстояние от точкиS до плоскости прямоугольника равно ...
А. |
3 см. |
Б. 11 см. |
В. |
61 см. |
Г. 4 см. |
16. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Чему равен угол между прямыми В1А и B1D1?
А. 90°. Б. 60°. В. 45°. Г. 30°
17.Дан куб АВСDА1В1С1D1. Прямая ВА1 образу- ет с плоскостью D1DА угол …
А. 30°. 45°. 60°. 90°.Б.В.Г.
18. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Чему равен угол между плоскостями А1В1С и D1DC?
А. 90°. Б. 60°. В. 45°. Г. 30°.
§12. Пирамиды и конусы
Данный параграф посвящен рассмотрению двух классов фигур, представители которых вам хорошо известны. Исследование строения и свойств пирамид и конусов является его главной целью. Их внешнее сходство является отражением одинаковости построения и соответствующих свойств.
1. Пирамиды
Части многих сооружений имеют пирамидальную форму (рис. 176, а–в). Безусловно, к ним относятся знаменитые египетские пирамиды (рис. 176, г).
Напомним некоторые определения из курса математики 10 класса, касающиеся пирамид и их построения.
Простейшей пирамидой является тетраэдр. Его можно рассма- тривать как фигуру, образованную из точек отрезков, соединяю- щих одну из его вершин с точками противоположной грани, — треугольника (рис. 177, а). Такой подход к построению тетраэдра нетрудно обобщить, заменив треугольник на произвольный мно- гоугольник.
Пусть дан многоугольник и точка вне плоскости этого много- угольника (рис. 177, б). Соединим отрезками все точки много угольника с данной точкой (рис. 177, в). Фигура, состоящая из всех точек построенных отрезков, называется пирамидой, дан-