978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

Поскольку основания усеченного конуса параллельны, то, вос-

= 13 H (S + S s + s) . ■

При доказательстве теоремы 6 можно объем V усеченного кону-

са представить в виде разности объемов «полных» конусов с осно-

ваниями, совпадающими с основаниями усеченного конуса (их площади соответственно S и s), и высотами H + h и h соответствен-

но. Тогда V = 13 S(H + h) − 13 sh, и после преобразований, анало- гичных вышеприведенным, получим искомую формулу. Пример 7. Найти объем шарового сектора.

 Рассмотрим сначала случай, ког-

да шаровой сектор состоит из шарового

сегмента высотой H и конуса, вершина

которого совпадает с центром шара, а

Объем шарового сектора находим, вос- пользовавшись формулами для вычисления объема шарового сег- мента (пример 3) и конуса (теорема 5):

V= π R − H3 H2 + 13 π(R2 − (R − H)2 )(R − H) =

11.В шар вписан прямой круговой конус так, что его основанием служит большой круг шара. Во сколько раз объем шара боль- ше объема конуса?

12.Какие измерения и вычисления целесообразно сделать, что- бы найти массу кучи щебня, имеющей форму конуса?

13.Деталь, имеющая форму правильной четырехугольной пира- миды, образует выступ над корпусом. Вершина детали недо- ступна. Какие измерения нужно сделать, чтобы определить объем пирамиды?

14.Жидкость, содержащаяся в цилиндрическом стакане, диаметр основания которого равен 6 см, а высота равна 9 см, нужно пере- лить в конический сосуд высотой 11 см и с диаметром основания 9 см. Поместится ли жидкость в коническом сосуде?

Графические упражнения

1.Найдите объем жидкости в сосуде, изображенном на рис. 330.

2.Найдите объем прямого кругового цилиндра по:

1)его осевому сечению, изображенному на рис.331;

2)его развертке, изображенной на рис. 332.

3. Найдите объем прямо- го кругового конуса по: 1) его осевому сече- нию, изображенному на рис. 333; 2) развертке его поверх­

ности, изображенной на рис 334.

4.Найдите объем прямо- го кругового усеченно- го конуса по:

1) его осевому сечению, изображенному на рис. 335; 2) развертке его боко-

вой поверхности, изо- браженной на рис. 336.

Задачи

308. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси x криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

1°) y = R, x [0; H], x = 0, x = H, у = 0; 2) y = kx, x [0; H], x = 0, x = H, у = 0; 3) y = x2, x [0; 1], x = 0, x = 1, у = 0.

309°. Найдите объем шара, если площадь его сечения, находяще- гося от центра на расстоянии 4 см, равна 9p см2.

310°. Внешний диаметр полого чугунного шара равен 8 см, а вну- тренний — 4 см. Найдите массу этого шара, если плотность чугуна равна 7300 кг/м3.

311. Peзepвуap для воды состоит из полушара, радиус которого равен 14 дм, и цилиндра, основание которого имеет такой же радиус. Какую высоту имеет цилиндрическая часть, если резервуар содержит 12 000 л воды?

312. Из прямого кругового цилиндра вырезали полушар, осно- вание которого совпадает с основанием цилиндра. Радиус полушара равен 2 см, площадь осевого сечения цилиндра — 64 см2. Найдите объем образовавшегося тела.

313. Чугунный слиток имеет форму двух шаров, соединенных цилиндрическим стержнем. Диаметры шаров 12 см, рассто- яние между центрами — 30 см, диаметр цилиндрического стержня — 4 см. Определите массу слитка (r = 7,2 г/см3).

314. Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат со стороной а. Одно из боковых ребер равноl и образует с пло- скостью основания уголa. Найдите объем параллелепипеда.

315. Найдите объем наклонной треугольной призмы, если в ее основании лежит:

1°) правильный треугольник со стороной 4 см, а боковое ребро равно 6 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°; 2) равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом

а, боковое ребро, проходящее через вершину прямого угла основания, равно l и наклонено к смежным сторонам осно- вания под углом a;

3) равнобедренный треугольник с основанием а, боковое ре- бро, проходящее через вершину этого треугольника, удале- но на h от противоположной грани и равно l.

316. Докажите, что объем наклонной призмы равен произведению длины бокового ребра на площадь сечения, перпендикулярно- го боковому ребру и пересекающего все боковые ребра.

317. Вычислите объем наклонной треугольной призмы, длина бокового ребра которой равна l, ортогональное к боковому ребру сечение является ромбом со стороной с, а угол между смежными боковыми гранями равен a.

318. Образующая прямого кругового конуса равна 6 см и накло- нена к плоскости основания под углом 60°. Найдите:

1°) объем конуса; 2°) диаметр шара, равновеликого конусу;

3) объем правильной четырехугольной пирамиды, вписан- ной в конус; 4) объем вписанного в данный конус прямого кругового ци-

линдра, если его высота равна 3 см; 5*) объем шара, вписанного в конус;

6*) объем шара, описанного вокруг конуса.

319. Образующая прямого кругового конуса равна l, а угол при вершине осевого сечения равен a. Найдите:

1°) объем конуса;

2°) диаметр шара, равновеликого конусу, еслиl = 6 см,a = 90°; 3) объем правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус; 4*) объем шара, вписанного в конус;

5) объем шара, описанного вокруг конуса.

320. Куча песка имеет форму конуса, длина окружности основа- ния которого равна 25 м, образующая — 5 м. Сколько рейсов

322. Жидкость, заполняющая конический сосуд высотой 0,18 м и с диаметром основания 0,24 м, переливается в цилиндриче- ский сосуд с диаметром основания 0,1 м. Как высоко будет находиться уровень поверхности жидкости в цилиндриче- ском сосуде?

323. Копна сена имеет форму прямого кругового цилиндра с ко- ническим верхом. Длина окружности основания цилиндра равна 20,5 м, высота копны — 4 м, а высота ее цилиндриче- ской части — 2,2 м. Найдите массу сена, если его плотность

0,03 г/см3.

324. Из бумажного круга, радиус которого равен 8 см, вырезали фигуру, имеющую форму сектора с центральным углом 23p .

Из остальной части круга сделали лейку. Найдите ее вме- стимость.

325. Сторона основания правильной четырехугольной пирами- ды равна 8 см, а боковое ребро равно 9 см. Определите:

1°) объем пирамиды; 2°) радиус шара, равновеликого данной пирамиде;

3°) объем усеченной пирамиды, полученной при пересече- нии данной пирамиды плоскостью, параллельной основа- нию и делящей высоту в отношении 1:3, считая от вершины; 4) на каком расстоянии от вершины следует провести пло- скость, параллельную основанию, чтобы разделить пирами- ду на две равновеликие части.

326. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b, а угол при основании боковой грани равен a. Найдите:

1°) объем пирамиды; 2°) объем прямого кругового конуса, вписанного в пирамиду;

3) отношение объемов вписанного в пирамиду прямого круго- вого конуса и описанного вокруг нее прямого кругового конуса; 4) объем усеченной пирамиды, полученной проведением че- рез центр основания данной пирамиды секущей плоскости, параллельной боковой грани.

327.Основание пирамиды – прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Высота пирамиды проходит через точ- ку пересечения диагоналей основания. Боковое ребро равно 13 см. Найдите:

1°) объем пирамиды; 2°) высоту равновеликой данной пирамиде правильной четы-

рехугольной призмы, если сторона ее основания равна 4 см; 3°) объем усеченной пирамиды, которую получили при пере- сечении данной пирамиды плоскостью, параллельной осно- ванию и удаленной на расстояние 9 см от нее; 4) расстояние от вершины пирамиды до плоскости, парал-

лельной ее основанию и делящей пирамиду на две равно- великие части.

328.Найдите объем тела, образовавшегося вращением:

1°) равностороннего треугольника вокруг стороны длиной

32p см;

2°) равностороннего треугольника со стороной 6 см вокруг оси, проходящей через вершину треугольника параллельно противоположной стороне;

3°) ромба с диагоналями 15 см и 60 см вокруг большей p

диагонали; 4°) прямоугольного треугольника с катетом 6 см и противо-

положным углом 30° вокруг гипотенузы; 5) трапеции с основаниями 6 см и 12 см, высотой 6 см и

острыми углами при большем основании вокруг меньшего основания; 6) равнобедренного треугольника с основанием 12 см и

углом при вершине 120° вокруг средней линии, параллель- ной основанию.

Упражнения для повторения

329.Постройте развертку поверхности:

1)прямого кругового цилиндра высотой 3 см и с диаметром осно- вания 5 см;

2)прямого кругового конуса, длина образующей которого рав- на 4 см, а радиус основания ра- вен 2 см.

Как вычислить площадь фигу- ры, изображенной на рис. 337?

Чему она равна?330.

Итог

Основное утверждение

Объем тела с зaдaнными пoпepeчными сечениями S = S(x), x [a; b], вычисляется по формуле

§19. Площади поверхностей геометрических тел

Кроме объема, важной чиcлoвoй xapaктepиcтикoй гeoмeтpическoгo тела является плoщaдь его пoвepxности. Это понятие обобщает понятие площади плocкoй фигуры, а в некоторых случаях — даже свoдитcя к нему (нaпpимер, в случае многогранников). Этот и другие подxoды к определению и измере­ нию площади пoвepxности тела мы рассмотрим в этом napагpaфе.

. Плoщaдь пoвepxности мнoгoгpaнникa

pocтейшeе определение имеет площадь поверхно- сти многогранника. Это связано с ее строением.

Площадью noвepxности мнoгoгpaннuкa нa- зывaеmcя сумма nлoщадей всех его граней.

Вычислим площади поверхностей простейших видов много­ гранников — призм и пирамид. Площадь полной поверхности этих многогранников состоит из площади боковой поверхности и площадей оснований. Обозначим эти площади соответственно че-

рез Sп, Sб, So.

Для призмы справедлива формула

Боковая поверхность прямой призмы состоит из прямоугольни- ков, одна из сторон которых равна высоте призмы, а сумма длин смежных с ней сторон равна периметру основания. Следователь- но, имеет место следующее утверждение.

Teopeмa 1 (о площади боковой поверхности прямой призмы).

Площадь Sб боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:

Sб = РН,

где Р — периметр основания; Н — высота призмы.