978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

 Исторический комментарий

Поскольку задачи об измерении объемов и площадей поверх­ ностей геометрических тел имеют четко прикладное направле- ние, то среди стереометрических задач они решались истори- чески первыми. Для отдельных видов многогранников методы вычисления их объемов находим еще в египетских папирусах и вавилонских табличках, хотя, конечно, они приводятся без обо- снований. Ученые древней Греции, в первую очередь Демокрит (ок. 460–370 гг. до н.э.), Эвдокс Книдский (ок. 408–355 гг. до н.э.) и в наиболее совершенной форме Архимед (287–212 гг. до н. э.) приводят и обосновывают известные нам способы вычисления объемов основных геометрических тел. При этом Архимед приме- няет так называемый метод исчерпывания, который развили в своих трудах И. Кеплер (1571–1630), Б. Кавальери (1598–1647),

Э. Торричелли (1608–1647), Б. Паскаль (1623–1662) и др., что, в

конечном итоге, привело к понятию интеграла.

Хотя основные принципы, связанные с измерением длин, площа- дей, объемов кривых фигур, начали формироваться еще в древней Греции, в ХІХ ст. они были существенно пересмотрены. Прежде все- го, французским математиком О. Коши (1789–1857) была построена формальная теория пределов, а это значит, что получило строгое ло- гическое обоснование понятие вещественного числа и соответствия между точками числовой прямой и вещественными числами.

В то же время глубокая и на первый взгляд понятная и про- зрачная идея толкования длины кривой, как общего предела по- следовательностей периметров вписанных и описанных ломаных, или площади кривой поверхности, как общего предела площадей вписанных и описанных многогранных поверхностей, и т. д. требо- вала уточнения и пересмотра. Были построены примеры кривых и поверхностей сложного строения, для которых соответствующие по- следовательности ломаных или многогранных поверхностей имели различные пределы или же совсем не имели пределов в «старом» понимании, что способствовало формированию новых взглядов на теорию измерений. Современная математика в вопросах измерения ориентируется на теорию меры, построенную французскими мате- матиками А. Лебегом (1875–1941) и Ф. Борелем (1871–1956).

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Закономерности, присущие каждому явлению, проявляют себя через совокупность случайностей. Для многих явлений влияние случая настолько существенно, что исследование их невозможно без изучения и количественной оценки такого влияния. Теория вероятностей рассматривает математические модели явлений, учитывающие влияние случая. Анализом

результатов, полученных с помощью вероятностных моделей, занимается математическая статистика. Она разрабатывает методы, позволяющие по результатам испытаний делать определенные выводы относительно изучаемых процессов и явлений. В данном разделе систематизируются, повторяются, расширяются и углубляются понятия и факты теории вероятностей и математической статистики, с которыми вы познакомились в младших классах.

Готовимся к изучению темы «Элементы теории вероятностей и матема - тической статистики»

Для подготовки к изучению темы целесообразно повторить ма- териал, связанный со статистикой, вероятностью, комбинатори- кой, который изучался в младших классах. Он кратко представ- лен в виде таблиц.

Случайное событие и его вероятность

Тест для диагностики готовности к изучению темы «Элементы теории вероятностей и матема - тической статистики»

1.Подбросили правильный игральный кубик. С какой вероят- ностью выпадет менее 5 очков?

§20. Случайные события и их вероятности

В данном параграфе будут рассматриваться понятия случайного испытания, случайного события и его вероятности.

Случайное испытание и случайное событие

реальной жизни мы на каждом шагу встречаемся явлениями, результат протекания которых нель- заранее предусмотреть. К таким явлениям отно-

сятся, например, страхование человека от несчастного случая или страхование имущества, транспортных средств (невозможно од- нозначно предвидеть: произойдет ли то происшествие, от которого проводится страхование); грузовые работы в порту (невозможно точно сказать, сколько времени займут разгрузочно-погрузочные операции на том или другом судне); игра в рулетку (заранее не- возможно знать, в каком секторе остановится шарик) и т. п.

Некоторые примеры таких явлений вы рассматривали в млад- ших классах. Это и подбрасывание монеты, игрального кубика, канцелярской кнопки, покупка лотерейного билета, извлечение шарика из урны. Проанализируем эти и подобные явления.

Во-первых, все испытания, о которых шла речь, можно прове- сти многократно. Так, можно купить много лотерейных биле- тов, многократно подбрасывать игральный кубик, многократно извлекать шары из урны, стрелять по мишени, играть в рулетку, застраховать много людей, разгрузить много судов.

Во-вторых, рассматриваемые испытания проходят прибли- зительно в одинаковых условиях. Не меняется центр тяжести кубика при повторном его подбрасывании. В одной и той же лоте- рее предварительно определено количество выигрышей, и оно не меняется в ходе реализации билетов до проведения тиража. По мишени стреляет тот же стрелок из того же оружия, положение мишени не меняется. Страхование происходит на одинаковых