978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

3)образующую прямого кругового конуса, высота которого совпадает с высотой пирамиды, а радиус основания — с ка- тетом основания пирамиды;

4)площадь сечения этого конуса плоскостью, проходящей через его вершину и середины катета и гипотенузы тре­ угольника, лежащего в основании пирамиды.

233.Отношение площади основания прямого кругового конуса к площади осевого сечения равно p. Определите угол наклона образующей к основанию.

234.Высота прямого кругового конуса равна H. На каком рассто- янии от вершины следует провести плоскость, параллель- ную основанию, чтобы площадь сечения равнялась полови- не площади основания?

235.Две плоскости, параллельные основанию, делят высоту ко- нуса на три равные части. Сравните сумму площадей сече- ний с площадью основания конуса.

Упражнения для повторения

236.Докажите, что при параллельном переносе плоскость ото- бражается на плоскость, параллельную данной или совпа- дающую с ней.

237.Опишите сечения прямоугольного параллелепипеда пло- скостями, параллельными граням и ребрам.

238.Прямоугольную подставку, расположенную горизонталь- но, заполнили карандашами, поставленными вертикально, одинаковой длины. Какую форму имеет полученная кон- струкция? А если подставка круглая?

Итог

Конусом нaзывaетcя гeoмempuческая фигура, обра- зованная отpезкaмu, соединяющими все moчкu дан- ной nлocкoй фигуры с moчкoй, расположенной вне

nлoскости фигуры.

Пирамида является конусом, основанием которого является мнoгoугольник.

Основные утверждения

1.В правильной пирамиде боковые ребра равны между собой и одинаково наклонены к плоскости основания, а боковые грани — равные между собой равнобедренные треугольники, одинаково наклоненные к плоскости основания.

2.Сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости его осно- вания, подобно основанию конуса, и коэффициент подобия равен отношению расстояния между вершиной конуса и пло- скостью сечения к высоте конуса.

§13. Призмы и цилиндры

Данный параграф посвящен рассмотрению двух классов фигур — призм и цилиндров, отдельные представители которых вам хорошо известны. Исследование строения и свойств призм и цилиндров является главной его целью. Эти фигуры строятся также из отрезков, но иным способом по сравнению с пирамидами и конусами.

1. Призмы

течение всей жизни мы постоянно имеем дело с предметами, части которых или сами они имеют форму параллелепипеда (рис. 215, а–в).

Параллелепипед можно сконструировать из равных и парал- лельных между собой отрезков, проведенных из всех точек парал- лелограмма по одну сторону от его плоскости (рис. 216).

По аналогии с пирамидами обобщение этого построения приво- дит нас к понятию призмы.

Пусть дан произвольный многоугольник (рис. 217, а). Отложим из каждой его точки равные и параллельные между собой отрезки по одну сторону от плоскости многоугольника (рис. 217, б). Фигу- ра, составленная из всех точек построенных отрезков, называет- ся призмой. Отрезки, отложенные при ее построении, называют

образующими призмы.

Призма — от греческого πρισµα (prisma), от πριω (prio) — пилю, буквально: отпиленный кусок.

Концы образующих призмы лежат в па- раллельных плоскостях и образуют два рав- ных многоугольника (рис. 218). Это следует из того, что построенные отрезки определя- ют параллельный перенос данного многоу- гольника на вектор, модуль которого равен длине построенных отрезков, а направле- ние совпадает с направлением этих отрез- ков, если точку, от которой откладывается

отрезок, считать его началом.

По свойству параллельного переноса плоскость a, в которой ле- жит данный многоугольник, отображается на параллельную ей плоскость b, в которой содержатся концы построенных отрезков. При этом данный многоугольник в плоскости a отображается на равный ему многоугольник в плоскости b. Эти многоугольники называются основаниями призмы. Расстояние между плоско- стями оснований называется высотой призмы.

В зависимости от вида многоугольника, лежащего в основании (треугольник, четырехугольник, ..., n-угольник), призмы называ-

ются треугольными, четырехугольными, ..., n-угольными.

Поверхность призмы состоит из многоугольников, которые называются гpaнямu, их стороны — pебpaмu, а вершины — вepшuнaмu npuзмы. Две грани призмы — это параллельные и равные основания, а остальные грани (их называют боковы- ми) являются параллелограммами, имеющими общие стороны с основаниями.

Отpезoк, соединяющий две вершины призмы, не принадлежа- щие одной грани, называется диагональю npuзмы.

При изображении призм (как и при изображении пирамид) пользуются следующими правилами:

1)строят изображение верхнего основания призмы (рис. 219, а);

2)из вершин построенного многоугольника проводят образую-

щие (рис. 219, б);

3)строят изображение нижнего основания призмы, соединяя концы построенных образующих (рис. 219, в);

4)выделяют видимые и невидимые ребра (рис. 219, г).

Один из видов четырехугольных призм был рассмотрен в 10 классе, где речь шла о napaллeлenиneдах, тo есть o npuз-

мах, ocнoвaниямu которых являются napaллeлoгpaммы.

Параллелепипед — от греческих παραλληλοζ (paralle­ los) — параллельный и επιπεδοζ (epipedos) — равное, плоское.

Диагонали параллелепипеда обладают такими же свойствами, как и диагонали параллелограмма. Об этом идет речь в следую- щей теореме.

Teopeмa 1 (о свойствах диагоналей параллелепипеда).

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точ­ ке и точкой пересечения делятся пополам. Эта точка яв­ ляется центром симметрии параллелепипеда.

 Пусть дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Проведем диа- гонали B1D и CA1 (рис. 220). Они являются диагоналями парал-

286 Раздел 5. Геометрические тела и поверхности

лелограмма DCB1A1 (DC || A1B1 и DC = A1B1). Обо- значим точку их пересечения через О. Диагонали B1D и CA1 делятся точкой О пополам. Аналогично

рассуждая по поводу всех пар диагоналей, придем к выводу, что их середины совпадают. То есть вер- шины параллелепипеда расположены симметрич- но относительно точки пересечения диагоналей. Отсюда вытекает, что относительно этой точки сим-

метрично расположены ребра, грани параллелепи- педа и вообще весь параллелепипед.g

Чаще всего применяются призмы, у которых образующие перпендикулярны основанию, то есть прямые призмы. Высота прямой призмы равна длине образую- щей. Прямой параллелепипед, основанием которого является пря-

моугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, называются его измерениями. Их еще называют длиной, шириной и высотой параллелепипеда при условии, что две противоположные грани выбраны в качестве оснований.

Теорема 2 (о свойствах диагоналей прямоугольного параллелепипеда).

В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 (рис. 221) рассмотрим диагональ DB1. Так как ребро ВВ1 перпендикулярно основа- нию ABCD, то из прямоугольного треугольника

BB1D имеем: B1D2 = BD2 + BB12 . Кроме того, диаго-

наль основания BD является гипотенузой прямо­ угольного треугольника BCD. Поэтому BD2 = CD2 +

+ BC2 иB1D2 = CD2 + BC2 + BB12 = AB2 + BC2+ BB12.g

Очевидным является родство доказанной тео­ ремы с теоремой Пифагора, поэтому ее и назы- вают пространственной теоремой Пифагора. Из этой теоремы, в частности, вытекает, что диагонали прямоуголь-

ного параллелепипеда равны между собой.

Большое практическое значение имеют правильные призмы.

Прямая призма называется правильной, если ее

основаниями являются правильные многоугольники.

Куб является правильной четырехугольной призмой, так как в его основании лежит квадрат, и куб является прямым паралле- лепипедом. Правильные призмы достаточно часто используются в технике, строительстве, так как разнообразные детали, конструкции имеют форму призмы, в частности, заготовки для гаек чаще всего имеют форму правильной шестиугольной призмы (рис.222, а), иног- да — треугольной, четырехугольной или восьмиугольной. Hepедкo форму призмы имеют башни, части сооружений (рис. 222, б–г).

Очeвиднo, что все боковые гpaни пpaвильнoй призмы являют- ся равными между coбoй пpямoугольникaми (почему?).

При изучении призм, как и при изучении других тел, важным является исследование сечений призм плоскостями. Обратим внимание на диагональ- ное сечение призмы. Речь идет о сечении призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащие одной грани (рис. 223). Из па- раллельности оснований призмы вытекает, что диагональным сечением призмы является парал- лелограмм, а если плоскость сечения параллельна основаниям, то сечением является многоугольник,

равный основанию. Это обосновывается так же, как и равенство оснований.

П р и м е р 1 . Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм со сторонами 6 см, 8 см и острым углом 60°. Диагональ меньшей боковой грани образует с ребром основа- ния параллелепипеда угол 45°. Вычислить: 1) диагонали осно- вания; 2) высоту параллелепипеда; 3) диагонали параллеле-

пипеда; 4) углы между диагоналями и плоскостью основания параллелепипеда; 5) площади диагональных сечений.

 Пусть ABCDA1B1C1D1 — данный парал- лелепипед, AD = 6 см, АВ = 8 см, DАВ = 60°,

D1AD = 45° (рис. 224).

1) Из треугольника ABD по теореме коси- нусов имеем:

равны 1 см, 1 см и 2 см. Вычислить: 1) диагонали параллелепипе- да; 2) углы между диагоналями.

 Пусть ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед,

AВ = ВС = 1 см, АА1 = 2 см (рис. 225).

99 Контрольные вопросы

1°. Сколько ребер имеет пятиугольная призма?

2°. Может ли призма иметь нечетное число вершин? 3. Может ли призма иметь четыре грани?

4. Будет ли сечение, перпендикулярное боковому ребру призмы, перпендикулярным и ее боковой грани?