978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

224

1

Пример

1.

Вычислить: 1) ∫ x2dx ; 2) ∫ cos xdx .

−1

 1) Одной из первообразных для подынтегральной функции

у = х2 на отрезке [–1; 1] является функция у = x3 . Следовательно,

1

1

3

1

3

2 .

∫ x2dx = x

=

− (−1)

=

−1

3 −1

3

3

3

π

2

π

2) ∫cos xdx = sin x 02

0

2

2

Ответ. 1)

; 2) 1.

3

На основании рассмотренных выше задач интеграл имеет про-

стой физический и геометрический смысл.

T

Интеграл òv(t)dt при v(t) ≥ 0 равен пути, пройденно-

t0

му материальной точкой, движущейся прямолинейно

со скоростью v = v(t), за промежуток времени [t0; T].

b

Интеграл ò f (x)dx

a

на отрезке [a; b] функции y = f(x) равен площади кри-

волинейной трапеции, ограниченной графиком этой

функции и отрезками прямых у = 0, х = а, х = b.

Пример

2.

Найти

площадь

ной трапеции, ограниченной графиком функ-

ции у = х2

и отрезками прямых

х = 2.

 Изобразим фигуру, площадь которой

нужно вычислить (рис. 140). Это криволиней-

ная трапеция. Поэтому ее площадь, согласно

геометрическому смыслу интеграла, равняет-

2

2

dx

=

x3

2

1

3

3

ся S = ∫ x

3

=

3

(2

− (−1)

−1

−1

Ответ. 3.

226

Раздел 4. Интеграл и его приложения

Сумма вида Sn = f(a) x + f (x1 ) x + ... + f (xn−1 ) x называется ин-

тегральной суммой для функции у= f(x) на промежутке [а; b].

b

Интеграл ò f (x)dx равен пределу интегральных сумм

a

для функции y = f(x) при n, стремящемся к бесконеч-

ности.

На основании этого вычисление интеграла рассматривают как

некоторый процесс суммирования, то есть объединение отдель-

ных частей в целое. Символ интеграла — это продленная буква

S — первая буква латинского слова «sum» (сумма).

С помощью интегральных сумм при-

ближенно вычисляют различные величи-

ны. Например, площадь криволинейной

трапеции, если функция у = f(x) задана

графически или с помощью таблицы.

Так, для вычисления площади попереч-

ного сечения корпуса судна (рис. 142)

можно действовать следующим образом.

2,4

Интеграл

ò f (x)dx , равный половине искомой площади S, за-

0

меняют его интегральными суммами, выполнив сначала нужные

измерения:

S ≈ 3 0,4 + 2,92 0,4 + 2,75 0,4 + 2,52 0,4 + 2,20,4 +

2

+ 1,840,4 ≈ 6,1 (м2). Вся площадь приближенно равна 12,2 м2.

Интеграл

227

228

b

b

b

∫(f (x) + g(x))dx = ∫ f (x)dx +∫ g(x)dx .

a

a

a

 Действительно, пусть y = F(x), y = G(x) – первообразные для

функций y = f (x) и y = g(x)

на отрезке [a;b] . Тогда функция

b

b

= ( F(b) − F(a)) + (G(b) − G(a)) = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx. g

a

a

Нетрудно доказать, что свойство 1 справедливо для суммы лю-

бого конечного числа слагаемых.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выно-

сить за знак интеграла, то есть

b

b

∫kf (x)dx = k∫ f (x)dx .

230

Раздел 4. Интеграл и его приложения

Заметим, что 2х – 3 ≤ 0 при x ≤

3

и 2х – 3 ≥ 0 при x ≥ 3 . Поэ-

3 − 2x

x ≤ 3 ,

2

2

2

Чтобы избавиться от знака моду-

тому 2x − 3 =

2x − 3

x ≥ 3 .

2

ля в подынтегральной функции, разобьем промежуток [0; 2] на

3

3

два промежутка 0;

2

и

2

;2 . Воспользовавшись свойством 3

интеграла, получим:

2

3

2

3

2

2

2

∫ 2x − 3 dx = ∫ 2x − 3 dx +

∫ 2x − 3 dx = ∫(3

− 2x)dx + ∫(2x − 3)dx =

0

0

3

0

3

3

2

2

= (3x − x2 ) 2 + (x2 − 3x )23 = 2,5.

0

2

Ответ. 2,5.

Пример 6.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини-

ями у = х, у = 1

, х = е, у = 0.

x

 Изобразим фигуру, площадь которой нуж-

но найти (рис. 148). Это криволинейная трапе-

ция. Однако сверху она ограничена графиком

функции

y = f (x) , которая на различных проме-

жутках задается различными формулами:

x

0 ≤ x ≤ 1,

f (x) =

1

1 ≤ x ≤ e.

x

e

1

e

dx

x2 1

e

1

+ 1 =

3

.

Тогда S = ∫ f (x)dx = ∫ xdx + ∫

x

=

2

+ ln x 1 =

2

2

0

0

1

0

Ответ. 1,5.

99

Контрольные вопросы

a

a

1°.

Известно, что ∫ f (x)dx = 1,

∫ g(x)dx = 3.

Чему равен интеграл:

a

0

0

a

а) ∫ (2f (x) − 4g(x))dx;

б) ∫ ( f (x) + 1)dx ?

0

0