Добавил:
researchgate.net Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
24.03.2018
Размер:
10.66 Mб
Скачать

Тест для диагностики готовности к изучению темы

131

4.Чему равен угловой коэффициент прямой, являющейся гра- фиком функции y = 5x2−1 ?

А. 5. Б. 2,5. В. –1. Г. –0,5.

Задайте с помощью формулы функцию, гра- фик которой изображен на рисунке.

 

А. у = − 3x −1 .

Б. у = 3x −1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В. у = − 3x +1 .

Г. у =

3x +1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Какая из следующих функций является воз-

 

растающей?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +2x

 

 

 

 

А. у = 1 – 2х.

Б. у = –1 – 2х. В. у = –(1 – 2х). Г. у = –

.

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

Прямая проходит через точки А(1; 0) и В(1; 2). Чему равен ее

 

угловой коэффициент?

Б. 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А. 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В. 2.

 

Г. Определить невозможно.

8.

Чему равно значение выраженияf(x0 + 5) –f(x0), еслиf(x)= 4х – 3?

 

А. 20.

Б. 12.

 

 

В. 8x0.

 

Г. Ответ отличен от приведенных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

Точка движется вдоль координатной оси. Закон ее движения

 

имеет вид х = 3t + 2, где

х — координата точки, t — время.

 

С какой скоростью v движется точка?

В. v = 1,5.

 

А. v = 3.

Б. v =

2.

 

 

Г. Скорость зависит от времени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

На рисунке изображен график закона

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

движения пешехода. Какова скорость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

движения пешехода на

промежутке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

времени:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) [3;6];

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А. 12 км/ч.

Б. 0 км/ ч.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В. 4 км/ ч.

Г. 3 км/ ч.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) [2;3]?

Б. 0 км/ч.

В. 4 км/ч.

 

 

Г. 3 км/ч.

 

А. 12 км/ч.

 

 

11.

При свободном падении зависимость между пройденным те-

 

лом расстоянием s (в м) и временем t (в с) задается формулой

 

s =

gt2

, где g — ускорение свободного падения. Какой путь

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пролетит тело за вторую секунду падения?

 

А. 2g м.

Б. 1,5g м.

В. 0,5g м.

Г. Ответ отличен от приведенных.

§6. Производная функции

В данном параграфе мы познакомимся с одним из основных понятий математики — производной, ее геометрическим и физическим смыслом; научимся находить производные простейших функций и использовать их при решении прикладных задач.

1. Задачи, приводящие к понятию производной

Решение многих задач физики, геометрии, техники сводится к одинаковым математическим построени- ям, которые и стали основой понятия производной.

Одной из таких задач является задача о нахождении мгновенной скорости движения.

Если материальная точка движется равномерно, то есть за

одинаковые промежутки времени проходит один и тот же путь, то

скорость ее движения легко найти: необходимо путь, пройденный

точкой за любой промежуток времени, разделить на время движе-

ния. Как известно, при равномерном движении зависимость пути

s от времени t выражается формулой s = vt, где v — скорость дви-

жения, то есть является линейной функцией.

Для характеристики неравномерного движения применяют по-

нятие средней скорости движения на промежутке времени.

Средняя скорость движения точки на некотором промежутке

времени — это отношение пути, пройденного точкой за этот про-

межуток времени, к длине этого промежутка. Средняя скорость

неравномерного движения, в отличие от скорости равномерного

движения, зависит от рассматриваемого промежутка времени. Пусть, например, точка движется прямолинейно и s = t2

путь, пройденный ею за промежуток времени [0; t]. Вычислим среднюю скорость ее движения за промежутки времени [3; 4],

[3; 3,1], [3; 3,01], [3; 3,001] и т. д. Получим:

vср[3; 4] =

s(4) − s(3)

=

42 − 32

= 7 ,

 

4 − 3

 

1

 

Производная функции

 

 

 

 

 

 

133

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vср[3; 3,1] =

s(3,1)

s(3)

= 3,12 − 32

= 6,1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,1

− 3

 

 

0,1

 

 

 

 

vср[3; 3,01] =

s(3,01)

s(3)

=

3,012

− 32 = 6,01 ,

 

 

 

 

 

3,01

− 3

0,01

 

 

 

vср[3; 3,001] =

s(3,001)

s(3)

= (3,001)2 − 32

= 6,001 и т. д.

 

 

− 3

3,001

 

0,001

 

 

Возникает вопрос: какой считать скорость движения точки в момент времени t = 3?

Легко заметить, что средняя скорость движения точки при умень- шении промежутка времени приближается (как еще говорят — «стремится») к числу 6. Так как рассмотренные промежутки времени уменьшаясь стягиваются к моменту времени t0 = 3 , то естественно

принять число 6 за скорость движения точки в момент времени t0 = 3 . Подобные рассуждения можно привести и в общем случае.

Пусть материальная точка движется прямолинейно вдоль ко- ординатной прямой и x = x (t) — закон ее движения (то есть зави-

симость координаты точки от времени). Зафиксируем определен- ный момент времени t0 и обозначим через ∆t (читается: дельта t )

промежуток времени, прошедший, начиная с момента t0 . Тогда

x(t +

t) − x(t ) — перемещение точки, а x(t0 + t) − x(t0 )

— ее

0

0

 

средняя скорость за промежуток времени ∆t. Чемt меньше этот

промежуток времени, тем точнее средняя скорость точки характе- ризует движение.

Величину, к которой стремится средняя скорость движения точки, когда промежуток ∆t стремится к нулю, называют скоро-

стью точки в момент времени t0, или мгновенной скоро-

стью движения точки.

Аналогично определяются не только скорость механического движения, но и скорость нагревания тела, скорость испарения жидкости, скорость протекания химической реакции и т. п. Все эти задачи решаются по одной схеме.

1.Находят среднюю скорость протекания процесса за некото- рый промежуток времени [t0; t].

2.Стягивают промежуток [t0; t] в точку t0, т.е. устремляют t к t0.

3.Выясняют, к чему стремится средняя скорость протекания процесса при t, стремящемся к t0.

134

Раздел 3. Производная и ее приложения

!Обратите внимание на то, что мгновенную скорость в точке t0 можно вычислять, пользуясь промежутком [t; t0], то есть для t < t0. Если протекание процесса плав­ ное, то результат будет тот же.

Втаких случаях говорят, что задача решается с помощью пре-

дельного перехода.

Если процесс описывается линейной функцией f(t)= kt + b, то его средняя скорость за любой промежуток времени является по- стоянной:

vср[t ;t + t] =

f (t0 + t) − f (t0 )

=

k (t0 + t) kt0

= k.

 

 

0

0

t

 

t

Следовательно, и мгновенная скорость процесса в любой мо-

мент времени является постоянной и равна k. Линейная функция f(t)= kt +b описывает равномерные процессы, протекающие со ско- ростью k.

Понятие мгновенной скорости изменения величи- ны широко применяется в естествознании и тех- нике. Покажем, например, как вводится понятие силы тока.

Пусть q = q(t) — количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за некоторый промежуток време- ни [0;t] . Тогда q(t0 ) = q(t0 + t) − q(t0 ) — количество электричест-

ва, проходящего через указанное сечение за промежуток времени

[t0 ;t0 + t] .

Величину Dq(t0 ) называют средней силой тока за проме-

Dt

жуток времени [t0 ;t0 + t] . Если устремить t к t0, то величину, к которой стремится средняя сила тока на промежутке[t0 ;t0 + t] ,

называют силой тока в момент времени t0.

Таким образом, сила тока является мгновенной скоростью из- менения количества электричества, проходящего через попереч- ное сечение проводника.

Так как протекание процессов обычно описывается функци- ями, то целесообразно ввести понятие скорости изменения фун- кции в точке.

Производная функции

135

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольные вопросы

 

1°.

Материальная

точка движется прямолинейно по закону

 

 

х = 2 – 3t, где х

— координата точки, t — время. Какова ско-

 

 

рость движения точки? В каком направлении координатной

 

 

прямой движется точка?

2°.

Материальная точка, двигаясь прямолинейно и равномерно, в

 

 

момент времени t = 1 имела координатух = 3, а в момент време-

 

 

ни t = 3 — координатух = 7. Какова скорость ее движения?

3°.

Какой вид имеет график закона равномерного движения ма-

 

 

териальной точки вдоль координатной прямой?

4°.

На рис. 67 изображена зависимость пути s,

 

 

 

 

пройденного материальной точкой, от вре-

 

 

 

 

мени t. Какова скорость движения точки?

 

 

5.

Точка движется вдоль координатной прямой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по закону х = 3t2, где х — координата точки,

 

 

 

 

t — время. Какова средняя скорость движе-

 

 

 

 

 

 

 

ния точки на промежутке [1; 3]?

 

 

6.

Масса соли, растворившейся в воде за промежуток времени

 

 

[0; t], равна m(t). Что следует понимать под:

 

 

а) средней скоростью растворения соли за промежуток време-

 

 

ни [1; 2];

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) скоростью растворения в момент времени t = 1?

 

 

 

2. Предел функции в точке

 

 

 

Перед тем как ввести понятие «скорости изменения

 

 

 

 

 

 

функции в точке» рассмотрим понятие предельно-

 

 

 

го перехода, с помощью которого и будет вводиться

 

указанное

понятие. Как мы видели выше, этот метод рассужде-

ний сводится к исследованию поведения функции при стремле- нии ее аргумента к некоторому значению.

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, за исключением, быть может, самой точки х0.

Если значения функции у = f(x) стремятся к некоторо- му числу а при стремлении х к х0 (х х0), то говорят, что

функция имеет предел в точке х0, равный а.

Сокращенно это записывают так: f(x) → а при х х 0 или

lim f (x) = a (читают: предел функции f(x) в точке х = х0, или при х,

x x0

стремящемся к х0, равен а).

136

Раздел 3. Производная и ее приложения

Символ lim является сокращением латинского слова limes (лимит), которое в переводе означает «предел».

Употребляя термин «предел», можно сказать, что мгновенная скорость v(t0) движения точки – это предел средней скорости vср[t0; t] движения точки на промежутке времени [t0; t] при t, стре- мящемся к t0. В символической форме: v(t0)= limvcp[t0 ;t] .

t t0

Исследуем, например, поведение линейной функции f(x) = x + 1 при стремлении х к 1. Составим таблицу значений этой функции.

Таблица 25

x 0,5

0,8

0,9

0,99

0,999

1

1,001

1,01

1,1

f(x) 1,5

1,8

1,9

1,99

1,999

→ 2←

2,001

2,01

2,1

Из таблицы видно, что когда значения аргумента стремятся к

1 с одной или другой стороны, соответствующие значения фун- кции стремятся к 2. В этом легко убедиться, проследив по графи- ку функции у = f(x) за изменением ее значений при приближении х к 1 (рис. 68). Функция f(x)= x + 1 имеет предел в точке х = 1, рав- ный 2, то есть lim(x +1) = 2 .

x →1

! Обратите внимание на то, что предел функцииf(x) = x + 1 в точке х = 1 равен значению функции в этой точке:

lim f (x) = 2 = f (1) .

x1

Это свойство является характерным для всех непрерывных функций (рис. 69).

Если функция у = f(x) непрерывна в некоторой окрест­

ности точки х0, то предел функции в точке х0 равен ее

значению в этой точке, то есть lim f (x) = f (x0 ) .

x x0

Используя это свойство, можно найти пределы многих фун- кций. Например, мы знаем, что квадратичная функция непре- рывна на промежутке (–∞; + ∞). Поэтому

Производная функции

137

 

 

 

 

 

 

lim(x2

+ 3x +1) = 22

+ 3 2 +1 = 11.

 

 

x→2

 

 

 

 

Аналогично limsin x = sin π = 1

; lim x = 9 = 3

; lim c = c , то

 

π

6 2

x →9

x x0

 

x 6

 

 

есть предел постоянной функции f(x) = с в произвольной точке ра-

вен числу с.

 

 

 

Рассмотрим теперь функции, имеющие точки разрыва, и ис- следуем поведение этих функций в окрестностях точек разрыва.

Функция g(x) =

x2

−1

не определена в точке

x

−1

 

 

 

 

х = 1. Если х ≠ 1, то g(x) = x + 1, то есть совпа-

дает с непрерывной функцией, рассмотрен-

ной ранее. Ее график (рис. 70) совпадает при

х ≠ 1 с графиком функции f(x)

= x + 1. Следо-

вательно, несмотря на то, что функция раз-

рывна в точке х =

1, она имеет предел в этой

точке, равный 2:

 

 

 

 

 

 

lim

x2 −1

= lim(x +1) = 2.

 

 

x −1

 

 

x →1

x →1

Обобщением этого примера является следующее утверждение.

Если функция имеет точку разрыва х0, но ее значения при всех х из некоторой окрестности этой точки, кро­ ме х0, равны значениям некоторой непрерывной фун­ кции, то она имеет предел в точке х0, равный значе­ нию непрерывной функции в точке х0.

Пример

1. Вычислить: 1)

lim

x2 + 3x

; 2) lim

1 − cos2x

.

x

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x →0

 

x →π

 

1) Так как

x2

+ 3x

=

x(x + 3)

= x + 3,x ≠ 0, а функция у = х + 3

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + 3x

 

 

 

 

непрерывна в точке х = 0, то lim

= lim(x + 3) = 0 + 3

= 3.

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x →0

 

 

x →0

 

 

2)lim

1 − cos2x

=

lim

2sin2 x

= lim(2sin x) = 2sin π = 0. g

 

sin x

 

sin x

 

x →π

 

 

 

x →π

 

 

x →π

 

 

 

 

Ответ. 1) 3; 2) 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На основе изложенного выше, функция у = j(х), график кото- рой изображен на рис. 71, имеет предел в своей точке разрыва

138

 

 

Раздел 3. Производная и ее приложения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = 0. В точке разрыва функция определена, ее значение в этой точке равно 3. Если точку графика функции у = j(х) с координата- ми (0; 3) заменить точкой с координатами (0; 2), то получим нераз- рывную линию, являющуюся графиком некоторой непрерывной функции. Функция у = j(х) всюду, кроме точки х = 0, совпадает с этой функцией. Предел непрерывной функции при х, стремящем- ся к 0, равен 2. Поэтому и lim ϕ(x) = 2.

x →0

Функция у = g(x), график которой изображен на рис. 72, не име- ет предела в точке разрыва х = –1 ее графика. Если значения ар- гумента стремятся к –1 слева, то значения функции стремятся к 1, а если справа, то к 2.

И в общем случае, если график функции имеет «скачок» в точ- ке разрыва, то функция в этой точке предела не имеет.

Утверждения, высказанные выше, опирались не на доказательства, а на наглядно-интуитивные представления о пределе функции. Для их дока- зательства необходимо уточнить понятие предела

функции, введенное нами ранее, а именно, необходимо сформу- лировать на математическом языке предложение «функция стре-

мится к числу а при х, стремящемся к х0».

Функция y = f(x) стремится к числу а, когда х стре- мится к х0, если приближенному равенству f(x) а

можно обеспечить любую заранее заданную точ- ность для всех значений х, достаточно близких к х0, за исключением, возможно, самой точки х0.

Точку х0 мы исключаем, так как в ней функция может быть не определена.

Производная функции

139

Это значит, что модуль разности |f(x) а| можно сделать мень- ше любого положительного числа h для всех х, достаточно близ- ких к х0, за исключением, возможно, самой точки х0.

Пользуясь приведенным определением, докажем, что lim(x +1) = 2 . Оценим точность приближенного равенства f(x) ≈ 2.

x →1

Она равна |f(x) – 2| = |x + 1 – 2| = |x – 1|. Поэтому f(x) приближенно равно 2 с точностью 0,1 для всех х таких, что |x – 1| < 0,1, то есть 0,9 < x < 1,1. Рассуждая аналогично, получим следующую таб­ лицу.

 

 

 

 

 

 

Таблица 26

х

0,9 < x < 1,1

0,99 < x < 1,01

0,999 < x < 1,001

1 –h <x < 1 +h

 

 

 

 

 

 

 

|f(x) – 2|

< 0,1

 

< 0,01

< 0,001

< h

Из таблицы видно,

что на самом деле значение функции

f(x) = x + 1 можно приблизить к числу 2 с любой точностью, если х брать достаточно близким к 1.

Пусть теперь функции y = f(x) и y = g(x) в точке х0 имеют преде-

лы а и b соответственно. Это означает, что приближённым равен-

ствам f(x) ≈ а, g(x) ≈ b

можно обеспечить произвольную наперёд

заданную точность, если значения х х0 брать достаточно близки-

ми к х0. Поэтому и приближённым равенствам f (x) + g(x) ≈ a + b,

f (x) g(x) ≈ a b,

f (x)

a (b ≠ 0) можно обеспечить произвольную

 

 

g(x)

b

наперёд заданную точность, если значения х х0 брать достаточно близкими к х0. На основе этих соображений можно утверждать, что сумма, произведение и частное функций y = f(x) и y = g(x) так-

же имеют пределы в точке х0. Итак, справедливы следующие пра-

вила нахождения пределов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если lim f (x) = a

и lim g(x) = b , то:

 

 

 

 

 

 

xx0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) lim

(

f

(

x

)

+ g

(

x

))

= lim f

(

x

)

+ lim g

(

x

)

= a + b;

xx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx

 

 

 

 

xx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

)

 

 

(

 

 

))

 

 

 

0

(

 

 

)

 

 

 

 

(

 

)

 

 

 

2) lim

 

f

x

g

x

=

lim f

x

lim g

x

= ab;

xx

(

 

 

 

 

 

 

 

xx

 

 

 

 

 

xx

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim f (x)

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) lim

 

 

=

 

x

x0

 

 

=

, если b 0.

 

 

xx0

 

 

g (x)

 

 

 

lim g (x)

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

 

 

2.

 

 

 

 

 

Вычислить lim

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x sin x

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

140 Раздел 3. Производная и ее приложения

Пользуясь последовательно правилами 1) и 2), будем иметь:

 

 

 

 

 

 

 

π

 

= lim x sin x − lim

π

= lim x limsin x

π

=

 

 

 

 

 

 

 

lim x sin x

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

xπ

 

 

 

 

xπ

 

 

xπ

 

xπ

xπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= π

sin π

π =

π

π = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99

 

Контрольные вопросы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1°.

 

На рис. 73 изображен гра-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фик функции

у = f(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) Чему равен lim f (x) ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x →7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Укажите точки разрыва

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) Определена ли функция в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точках разрыва?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) Существует ли предел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции в каждой из этих

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точек? Если существует, то чему он равен?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°.

 

Чему равен предел непрерывной функции в любой точке ее

 

 

 

 

области определения?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°.

 

Чему равен предел функции у = f(x) в точке х0, если:

 

 

 

 

а) f(x)=

1 – 2х2, х0 = 1;

 

 

 

б) f(x)= (2x – 4)2, х0 =2;

 

 

 

 

в) f(x) =

(2x − 4)2 , х0 =2?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Производная и ее физический смысл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим теперь детальнее понятие скорости из-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

менения функции в точке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть х0

— некоторая заданная точка, а х— про-

 

извольная

точка из области определения функции y = f(x). Раз-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ность

х х0

называют прираще-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нием аргумента в точке х0 и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обозначают

Dх

 

(читается «дельта

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

икс»),

то есть

Dх = х

 

х0. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = х0

+ Dх. Точку х можно брать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

как слева, так и справа от точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х0.

Поэтому

Dх

может принимать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

как положительные, так и отри-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

цательные значения.