978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus
.pdfТест для диагностики готовности к изучению темы |
131 |
4.Чему равен угловой коэффициент прямой, являющейся гра- фиком функции y = 5x2−1 ?
А. 5. Б. 2,5. В. –1. Г. –0,5.
Задайте с помощью формулы функцию, гра- фик которой изображен на рисунке.
|
А. у = − 3x −1 . |
Б. у = 3x −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В. у = − 3x +1 . |
Г. у = |
3x +1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Какая из следующих функций является воз- |
||||||||||||||||||||
|
растающей? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 +2x |
|
|
|
|||||
|
А. у = 1 – 2х. |
Б. у = –1 – 2х. В. у = –(1 – 2х). Г. у = – |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||
Прямая проходит через точки А(1; 0) и В(1; 2). Чему равен ее |
|||||||||||||||||||||
|
угловой коэффициент? |
Б. 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
А. 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В. 2. |
|
Г. Определить невозможно. |
||||||||||||||||||
8. |
Чему равно значение выраженияf(x0 + 5) –f(x0), еслиf(x)= 4х – 3? |
||||||||||||||||||||
|
А. 20. |
Б. 12. |
|
|
В. 8x0. |
||||||||||||||||
|
Г. Ответ отличен от приведенных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
Точка движется вдоль координатной оси. Закон ее движения |
||||||||||||||||||||
|
имеет вид х = 3t + 2, где |
х — координата точки, t — время. |
|||||||||||||||||||
|
С какой скоростью v движется точка? |
В. v = 1,5. |
|||||||||||||||||||
|
А. v = 3. |
Б. v = |
2. |
|
|||||||||||||||||
|
Г. Скорость зависит от времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10. |
На рисунке изображен график закона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
движения пешехода. Какова скорость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
движения пешехода на |
промежутке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
времени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1) [3;6]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А. 12 км/ч. |
Б. 0 км/ ч. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В. 4 км/ ч. |
Г. 3 км/ ч. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2) [2;3]? |
Б. 0 км/ч. |
В. 4 км/ч. |
|
|
Г. 3 км/ч. |
|||||||||||||||
|
А. 12 км/ч. |
|
|
||||||||||||||||||
11. |
При свободном падении зависимость между пройденным те- |
||||||||||||||||||||
|
лом расстоянием s (в м) и временем t (в с) задается формулой |
||||||||||||||||||||
|
s = |
gt2 |
, где g — ускорение свободного падения. Какой путь |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пролетит тело за вторую секунду падения? |
||||||||||||||||||||
|
А. 2g м. |
Б. 1,5g м. |
В. 0,5g м. |
Г. Ответ отличен от приведенных.
§6. Производная функции
В данном параграфе мы познакомимся с одним из основных понятий математики — производной, ее геометрическим и физическим смыслом; научимся находить производные простейших функций и использовать их при решении прикладных задач.
1. Задачи, приводящие к понятию производной
Решение многих задач физики, геометрии, техники сводится к одинаковым математическим построени- ям, которые и стали основой понятия производной.
Одной из таких задач является задача о нахождении мгновенной скорости движения.
Если материальная точка движется равномерно, то есть за
одинаковые промежутки времени проходит один и тот же путь, то
скорость ее движения легко найти: необходимо путь, пройденный
точкой за любой промежуток времени, разделить на время движе-
ния. Как известно, при равномерном движении зависимость пути
s от времени t выражается формулой s = vt, где v — скорость дви-
жения, то есть является линейной функцией.
Для характеристики неравномерного движения применяют по-
нятие средней скорости движения на промежутке времени.
Средняя скорость движения точки на некотором промежутке
времени — это отношение пути, пройденного точкой за этот про-
межуток времени, к длине этого промежутка. Средняя скорость
неравномерного движения, в отличие от скорости равномерного
движения, зависит от рассматриваемого промежутка времени. Пусть, например, точка движется прямолинейно и s = t2 —
путь, пройденный ею за промежуток времени [0; t]. Вычислим среднюю скорость ее движения за промежутки времени [3; 4],
[3; 3,1], [3; 3,01], [3; 3,001] и т. д. Получим:
vср[3; 4] = |
s(4) − s(3) |
= |
42 − 32 |
= 7 , |
|
4 − 3 |
|
1 |
|
Производная функции |
|
|
|
|
|
|
133 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vср[3; 3,1] = |
s(3,1) |
− s(3) |
= 3,12 − 32 |
= 6,1 , |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3,1 |
− 3 |
|
|
0,1 |
|
|
|
|||||
|
vср[3; 3,01] = |
s(3,01) |
− s(3) |
= |
3,012 |
− 32 = 6,01 , |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
3,01 |
− 3 |
0,01 |
|
|
||||||||
|
vср[3; 3,001] = |
s(3,001) |
− s(3) |
= (3,001)2 − 32 |
= 6,001 и т. д. |
|||||||
|
|
− 3 |
||||||||||
3,001 |
|
0,001 |
|
|
Возникает вопрос: какой считать скорость движения точки в момент времени t = 3?
Легко заметить, что средняя скорость движения точки при умень- шении промежутка времени приближается (как еще говорят — «стремится») к числу 6. Так как рассмотренные промежутки времени уменьшаясь стягиваются к моменту времени t0 = 3 , то естественно
принять число 6 за скорость движения точки в момент времени t0 = 3 . Подобные рассуждения можно привести и в общем случае.
Пусть материальная точка движется прямолинейно вдоль ко- ординатной прямой и x = x (t) — закон ее движения (то есть зави-
симость координаты точки от времени). Зафиксируем определен- ный момент времени t0 и обозначим через ∆t (читается: дельта t )
промежуток времени, прошедший, начиная с момента t0 . Тогда
x(t + |
t) − x(t ) — перемещение точки, а x(t0 + t) − x(t0 ) |
— ее |
0 |
0 |
|
средняя скорость за промежуток времени ∆t. Чемt меньше этот
промежуток времени, тем точнее средняя скорость точки характе- ризует движение.
Величину, к которой стремится средняя скорость движения точки, когда промежуток ∆t стремится к нулю, называют скоро-
стью точки в момент времени t0, или мгновенной скоро-
стью движения точки.
Аналогично определяются не только скорость механического движения, но и скорость нагревания тела, скорость испарения жидкости, скорость протекания химической реакции и т. п. Все эти задачи решаются по одной схеме.
1.Находят среднюю скорость протекания процесса за некото- рый промежуток времени [t0; t].
2.Стягивают промежуток [t0; t] в точку t0, т.е. устремляют t к t0.
3.Выясняют, к чему стремится средняя скорость протекания процесса при t, стремящемся к t0.
134 |
Раздел 3. Производная и ее приложения |
!Обратите внимание на то, что мгновенную скорость в точке t0 можно вычислять, пользуясь промежутком [t; t0], то есть для t < t0. Если протекание процесса плав ное, то результат будет тот же.
Втаких случаях говорят, что задача решается с помощью пре-
дельного перехода.
Если процесс описывается линейной функцией f(t)= kt + b, то его средняя скорость за любой промежуток времени является по- стоянной:
vср[t ;t + t] = |
f (t0 + t) − f (t0 ) |
= |
k (t0 + t) − kt0 |
= k. |
|
|
|
||||
0 |
0 |
t |
|
t |
Следовательно, и мгновенная скорость процесса в любой мо-
мент времени является постоянной и равна k. Линейная функция f(t)= kt +b описывает равномерные процессы, протекающие со ско- ростью k.
Понятие мгновенной скорости изменения величи- ны широко применяется в естествознании и тех- нике. Покажем, например, как вводится понятие силы тока.
Пусть q = q(t) — количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за некоторый промежуток време- ни [0;t] . Тогда q(t0 ) = q(t0 + t) − q(t0 ) — количество электричест-
ва, проходящего через указанное сечение за промежуток времени
[t0 ;t0 + t] .
Величину Dq(t0 ) называют средней силой тока за проме-
Dt
жуток времени [t0 ;t0 + t] . Если устремить t к t0, то величину, к которой стремится средняя сила тока на промежутке[t0 ;t0 + t] ,
называют силой тока в момент времени t0.
Таким образом, сила тока является мгновенной скоростью из- менения количества электричества, проходящего через попереч- ное сечение проводника.
Так как протекание процессов обычно описывается функци- ями, то целесообразно ввести понятие скорости изменения фун- кции в точке.
Производная функции |
135 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы |
|
|||||||||
1°. |
Материальная |
точка движется прямолинейно по закону |
||||||||
|
|
х = 2 – 3t, где х |
— координата точки, t — время. Какова ско- |
|||||||
|
|
рость движения точки? В каком направлении координатной |
||||||||
|
|
прямой движется точка? |
||||||||
2°. |
Материальная точка, двигаясь прямолинейно и равномерно, в |
|||||||||
|
|
момент времени t = 1 имела координатух = 3, а в момент време- |
||||||||
|
|
ни t = 3 — координатух = 7. Какова скорость ее движения? |
||||||||
3°. |
Какой вид имеет график закона равномерного движения ма- |
|||||||||
|
|
териальной точки вдоль координатной прямой? |
||||||||
4°. |
На рис. 67 изображена зависимость пути s, |
|
|
|||||||
|
|
пройденного материальной точкой, от вре- |
|
|
||||||
|
|
мени t. Какова скорость движения точки? |
|
|
||||||
5. |
Точка движется вдоль координатной прямой |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
по закону х = 3t2, где х — координата точки, |
|
|
||||||
|
|
t — время. Какова средняя скорость движе- |
|
|
|
|
|
|||
|
|
ния точки на промежутке [1; 3]? |
|
|
||||||
6. |
Масса соли, растворившейся в воде за промежуток времени |
|||||||||
|
|
[0; t], равна m(t). Что следует понимать под: |
||||||||
|
|
а) средней скоростью растворения соли за промежуток време- |
||||||||
|
|
ни [1; 2]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) скоростью растворения в момент времени t = 1? |
||||||||
|
|
|
2. Предел функции в точке |
|||||||
|
|
|
Перед тем как ввести понятие «скорости изменения |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
функции в точке» рассмотрим понятие предельно- |
|||||||
|
|
|
го перехода, с помощью которого и будет вводиться |
|||||||
|
указанное |
понятие. Как мы видели выше, этот метод рассужде- |
ний сводится к исследованию поведения функции при стремле- нии ее аргумента к некоторому значению.
Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, за исключением, быть может, самой точки х0.
Если значения функции у = f(x) стремятся к некоторо- му числу а при стремлении х к х0 (х ≠ х0), то говорят, что
функция имеет предел в точке х0, равный а.
Сокращенно это записывают так: f(x) → а при х → х 0 или
lim f (x) = a (читают: предел функции f(x) в точке х = х0, или при х,
x →x0
стремящемся к х0, равен а).
136 |
Раздел 3. Производная и ее приложения |
Символ lim является сокращением латинского слова limes (лимит), которое в переводе означает «предел».
Употребляя термин «предел», можно сказать, что мгновенная скорость v(t0) движения точки – это предел средней скорости vср[t0; t] движения точки на промежутке времени [t0; t] при t, стре- мящемся к t0. В символической форме: v(t0)= limvcp[t0 ;t] .
t →t0
Исследуем, например, поведение линейной функции f(x) = x + 1 при стремлении х к 1. Составим таблицу значений этой функции.
Таблица 25
x 0,5 |
0,8 |
0,9 |
0,99 |
0,999 |
→1← |
1,001 |
1,01 |
1,1 |
f(x) 1,5 |
1,8 |
1,9 |
1,99 |
1,999 |
→ 2← |
2,001 |
2,01 |
2,1 |
Из таблицы видно, что когда значения аргумента стремятся к |
1 с одной или другой стороны, соответствующие значения фун- кции стремятся к 2. В этом легко убедиться, проследив по графи- ку функции у = f(x) за изменением ее значений при приближении х к 1 (рис. 68). Функция f(x)= x + 1 имеет предел в точке х = 1, рав- ный 2, то есть lim(x +1) = 2 .
x →1
! Обратите внимание на то, что предел функцииf(x) = x + 1 в точке х = 1 равен значению функции в этой точке:
lim f (x) = 2 = f (1) .
x→1
Это свойство является характерным для всех непрерывных функций (рис. 69).
Если функция у = f(x) непрерывна в некоторой окрест
ности точки х0, то предел функции в точке х0 равен ее
значению в этой точке, то есть lim f (x) = f (x0 ) .
x →x0
Используя это свойство, можно найти пределы многих фун- кций. Например, мы знаем, что квадратичная функция непре- рывна на промежутке (–∞; + ∞). Поэтому
Производная функции |
137 |
|
|
|
|
|
|
lim(x2 |
+ 3x +1) = 22 |
+ 3 2 +1 = 11. |
|
|
x→2 |
|
|
|
|
Аналогично limsin x = sin π = 1 |
; lim x = 9 = 3 |
; lim c = c , то |
|
|
π |
6 2 |
x →9 |
x →x0 |
|
x →6 |
|
|
|
есть предел постоянной функции f(x) = с в произвольной точке ра- |
||||
вен числу с. |
|
|
|
Рассмотрим теперь функции, имеющие точки разрыва, и ис- следуем поведение этих функций в окрестностях точек разрыва.
Функция g(x) = |
x2 |
−1 |
не определена в точке |
|||
x |
−1 |
|||||
|
|
|
|
|||
х = 1. Если х ≠ 1, то g(x) = x + 1, то есть совпа- |
||||||
дает с непрерывной функцией, рассмотрен- |
||||||
ной ранее. Ее график (рис. 70) совпадает при |
||||||
х ≠ 1 с графиком функции f(x) |
= x + 1. Следо- |
|||||
вательно, несмотря на то, что функция раз- |
||||||
рывна в точке х = |
1, она имеет предел в этой |
|||||
точке, равный 2: |
|
|
|
|
||
|
|
lim |
x2 −1 |
= lim(x +1) = 2. |
||
|
|
x −1 |
||||
|
|
x →1 |
x →1 |
Обобщением этого примера является следующее утверждение.
Если функция имеет точку разрыва х0, но ее значения при всех х из некоторой окрестности этой точки, кро ме х0, равны значениям некоторой непрерывной фун кции, то она имеет предел в точке х0, равный значе нию непрерывной функции в точке х0.
Пример |
1. Вычислить: 1) |
lim |
x2 + 3x |
; 2) lim |
1 − cos2x |
. |
||||||||||
x |
|
sin x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x →0 |
|
x →π |
|
||||
1) Так как |
x2 |
+ 3x |
= |
x(x + 3) |
= x + 3,x ≠ 0, а функция у = х + 3 |
|||||||||||
|
|
x |
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 3x |
|
|
|
|
|||||
непрерывна в точке х = 0, то lim |
= lim(x + 3) = 0 + 3 |
= 3. |
||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x →0 |
|
|
x →0 |
|
|
|||
2)lim |
1 − cos2x |
= |
lim |
2sin2 x |
= lim(2sin x) = 2sin π = 0. g |
|||||||||||
|
sin x |
|
sin x |
|
||||||||||||
x →π |
|
|
|
x →π |
|
|
x →π |
|
|
|
|
|||||
Ответ. 1) 3; 2) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основе изложенного выше, функция у = j(х), график кото- рой изображен на рис. 71, имеет предел в своей точке разрыва
138 |
|
|
Раздел 3. Производная и ее приложения |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = 0. В точке разрыва функция определена, ее значение в этой точке равно 3. Если точку графика функции у = j(х) с координата- ми (0; 3) заменить точкой с координатами (0; 2), то получим нераз- рывную линию, являющуюся графиком некоторой непрерывной функции. Функция у = j(х) всюду, кроме точки х = 0, совпадает с этой функцией. Предел непрерывной функции при х, стремящем- ся к 0, равен 2. Поэтому и lim ϕ(x) = 2.
x →0
Функция у = g(x), график которой изображен на рис. 72, не име- ет предела в точке разрыва х = –1 ее графика. Если значения ар- гумента стремятся к –1 слева, то значения функции стремятся к 1, а если справа, то к 2.
И в общем случае, если график функции имеет «скачок» в точ- ке разрыва, то функция в этой точке предела не имеет.
Утверждения, высказанные выше, опирались не на доказательства, а на наглядно-интуитивные представления о пределе функции. Для их дока- зательства необходимо уточнить понятие предела
функции, введенное нами ранее, а именно, необходимо сформу- лировать на математическом языке предложение «функция стре-
мится к числу а при х, стремящемся к х0».
Функция y = f(x) стремится к числу а, когда х стре- мится к х0, если приближенному равенству f(x) ≈ а
можно обеспечить любую заранее заданную точ- ность для всех значений х, достаточно близких к х0, за исключением, возможно, самой точки х0.
Точку х0 мы исключаем, так как в ней функция может быть не определена.
Производная функции |
139 |
Это значит, что модуль разности |f(x) – а| можно сделать мень- ше любого положительного числа h для всех х, достаточно близ- ких к х0, за исключением, возможно, самой точки х0.
Пользуясь приведенным определением, докажем, что lim(x +1) = 2 . Оценим точность приближенного равенства f(x) ≈ 2.
x →1
Она равна |f(x) – 2| = |x + 1 – 2| = |x – 1|. Поэтому f(x) приближенно равно 2 с точностью 0,1 для всех х таких, что |x – 1| < 0,1, то есть 0,9 < x < 1,1. Рассуждая аналогично, получим следующую таб лицу.
|
|
|
|
|
|
Таблица 26 |
х |
0,9 < x < 1,1 |
0,99 < x < 1,01 |
0,999 < x < 1,001 |
… |
1 –h <x < 1 +h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|f(x) – 2| |
< 0,1 |
|
< 0,01 |
< 0,001 |
… |
< h |
Из таблицы видно, |
что на самом деле значение функции |
f(x) = x + 1 можно приблизить к числу 2 с любой точностью, если х брать достаточно близким к 1.
Пусть теперь функции y = f(x) и y = g(x) в точке х0 имеют преде- |
|||
лы а и b соответственно. Это означает, что приближённым равен- |
|||
ствам f(x) ≈ а, g(x) ≈ b |
можно обеспечить произвольную наперёд |
||
заданную точность, если значения х ≠ х0 брать достаточно близки- |
|||
ми к х0. Поэтому и приближённым равенствам f (x) + g(x) ≈ a + b, |
|||
f (x) g(x) ≈ a b, |
f (x) |
≈ a (b ≠ 0) можно обеспечить произвольную |
|
|
|||
|
g(x) |
b |
наперёд заданную точность, если значения х ≠ х0 брать достаточно близкими к х0. На основе этих соображений можно утверждать, что сумма, произведение и частное функций y = f(x) и y = g(x) так-
же имеют пределы в точке х0. Итак, справедливы следующие пра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вила нахождения пределов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Если lim f (x) = a |
и lim g(x) = b , то: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) lim |
( |
f |
( |
x |
) |
+ g |
( |
x |
)) |
= lim f |
( |
x |
) |
+ lim g |
( |
x |
) |
= a + b; |
|||||||||||||||||||
x→x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x |
|
|
|
|
x→x |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
( |
|
|
)) |
|
|
|
0 |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
||||||
2) lim |
|
f |
x |
g |
x |
= |
lim f |
x |
lim g |
x |
= ab; |
||||||||||||||||||||||||||
x→x |
( |
|
|
|
|
|
|
|
x→x |
|
|
|
|
|
x→x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3) lim |
|
|
= |
|
x |
→x0 |
|
|
= |
, если b ≠ 0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→x0 |
|
|
g (x) |
|
|
|
lim g (x) |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример |
|
|
2. |
|
|
|
|
|
Вычислить lim |
|
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x sin x |
2 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
140 Раздел 3. Производная и ее приложения
Пользуясь последовательно правилами 1) и 2), будем иметь:
|
|
|
|
|
|
|
− |
π |
|
= lim x sin x − lim |
π |
= lim x limsin x − |
π |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
lim x sin x |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→ π |
|
|
|
|
x→ π |
|
|
x→ π |
|
x→ π |
x→ π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= π |
sin π − |
π = |
π |
− |
π = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ответ. 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
99 |
|
Контрольные вопросы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1°. |
|
На рис. 73 изображен гра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
фик функции |
у = f(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
а) Чему равен lim f (x) ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x →7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
б) Укажите точки разрыва |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
в) Определена ли функция в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
точках разрыва? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
г) Существует ли предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
функции в каждой из этих |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
точек? Если существует, то чему он равен? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2°. |
|
Чему равен предел непрерывной функции в любой точке ее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
области определения? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3°. |
|
Чему равен предел функции у = f(x) в точке х0, если: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) f(x)= |
1 – 2х2, х0 = 1; |
|
|
|
б) f(x)= (2x – 4)2, х0 =2; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
в) f(x) = |
(2x − 4)2 , х0 =2? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3. Производная и ее физический смысл |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь детальнее понятие скорости из- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
менения функции в точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть х0 |
— некоторая заданная точка, а х— про- |
||||||||||||||||||||||||||
|
извольная |
точка из области определения функции y = f(x). Раз- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ность |
х – х0 |
называют прираще- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нием аргумента в точке х0 и |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначают |
Dх |
|
(читается «дельта |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
икс»), |
то есть |
Dх = х |
– |
|
х0. Тогда |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = х0 |
+ Dх. Точку х можно брать |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как слева, так и справа от точки |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х0. |
Поэтому |
Dх |
может принимать |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как положительные, так и отри- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цательные значения. |
|
|
|
|
|
|
|