Добавил:
researchgate.net Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
24.03.2018
Размер:
10.66 Mб
Скачать
то есть
(

Дифференцирование функций

161

5.Укажите абсциссы точек графика функции y = х + sinх, в кото- рых касательная к этому графику параллельна оси х.

6.Мяч брошен вертикально вверх. Если ось х направлена вверх, то закон движения мяча имеет вид: х = 300t – 5t2, где х — ко- ордината, м; t — время, с. Опускается или поднимается мяч в момент времени t = 32 c?

7.На рис. 86 изображен график фун- кции y = g(x) . Какова скорость изме-

нения в точке х = 1 функции:

а) y = g(x) ;

б) y = −g(x) ;

2

 

в*) y = g2 (x) ?

 

2. Производные показательных и логарифмических функций

 

В § 6 были найдены производные некоторых основ-

 

 

ных элементарных функций. Теперь мы научимся

 

дифференцировать показательные и логарифмиче-

 

ские функции.

 

 

Так как

Рассмотрим

 

показательную функцию f(x) = ах.

f (0 + x) − f (0)

=

a0 + x a0

=

a x −1

, то производная

функции

x

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

у = ах в точке х = 0 равна lim a x −1

. Обозначим это число через k.

 

 

 

 

 

x →0

x

 

 

Найдем производную показательной функции у = ах в произволь- ной точке х:

(ax )= lim

f (x +

x) − f (x)

 

x

x →0

 

= ax lim a x −1

= k ax ,

x →0

x

 

 

= lim ax + x ax

= lim ax

a x −1

=

x →0

x

x →0

x

 

ах)′ = х.

Показательная функция обладает замечательным свойством: ее производная пропорциональна самой функции. Скорость изме- нения величины, описываемой функцией у = ах, пропорциональ- на значению этой величины. Такой закон изменения величин называется законом показательного роста или законом показательного выравнивания в зависимости от значения а:

162

Раздел 3. Производная и ее приложения

а> 1 или 0 < а < 1. По таким законам изменяется, например, биологическая популяция, имеющая благоприятные условия для развития, или масса радиоактивного вещества.

Таким образом, чтобы найти производную функции у = ах в про- извольной точке, достаточно знать число k, то есть значение про- изводной этой функции в точке х = 0. Коэффициент пропорцио­ нальности k зависит от основания а. Для конкретного основания

акоэффициент пропорциональности можно вычислить прибли- женно с помощью калькулятора. В таблице приведены такие вы-

числения для а = 2,5 и а = 3 при ∆x = ± 0,1; ± 0,01; ± 0,001; ± 0,0001.

 

x

0,1

0,01

0,001

0,0001

–0,0001

–0,001

–0,01

–0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а = 2,5

k

0,960

0,920

0,917

0,916

0,916

0,916

0,912

0,876

а = 3

k

1,160

1,100

1,100

1,100

1,100

1,100

1,090

1,040

Таким образом, при а = 2,5 коэффициент k ≈ 0,916, а при а = 3 — он приближенно равняется 1,1. Мы видим, что для одних значе- ний а коэффициент k меньше 1, а для других – больше 1. Оказы- вается, что существует такое основание показательной функции, для которой k = 1. Это основание равняется иррациональному числу е, которое мы ввели в первом разделе. Для показательной функции с основанием е формула производной принимает самый простой вид, а именно:

( ех)′ = ех.

Из этой формулы можно получить следующие формулы для производных показательных функций с произвольным основани- ем и логарифмических функций:

 

(a

x

= ln a a

x

,

1

, (loga x)

=

1 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

(ln x) =

x

 

ln a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти формулы будут обоснованы ниже.

 

 

 

 

 

 

Пример 8.

 

Найти производную функции: 1)у = xlnx; 2) у = e2 x.

1) Воспользовавшись правилом дифференцирования произ- ведения двух функций, получим:

(x ln x )= (x)′ ln x + x (ln x)= ln x + x 1x = ln x + 1.

Дифференцирование функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

163

 

2) Выполнив простейшие преобразования и воспользовавшись

правилом дифференцирования произведения функции на число

и формулой для производной показательной функции с произ-

вольным основанием, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

(

e2−x

=

(

e2 ex = e2

 

1 x

 

1

x

ln

1

= e2 ex (− ln e) = −e2−x .

 

 

 

= e2

 

 

 

 

 

)

 

 

)

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. 1) ln x + 1; 2) –e2x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обоснуем приведенные выше формулы для нахо-

 

 

 

 

 

 

ждения производных показательных и логарифми-

 

 

 

 

 

 

ческих функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как согласно основному логарифмическому

тождеству и свойствам степеней ax

= (eln a )x

= ex ln a , то можно при-

менить правило дифференцирования функций вида у(х)= f(kx +b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(см. п. 1). Напомним это правило: y (x) = kf (u) , где u = kx + b. В

нашем случае k = lna, b = 0. Поэтому (ax )= (ex ln a )= ln a ex ln a =

= ln a · ах. Следовательно (ах)′ = ln a · ах.

 

 

 

 

 

 

Обратите внимание на то, что коэффициент пропорциональ-

ности k, о котором речь шла

выше, для показательной функции

у = ах

равен ln a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения производной фун-

 

 

 

кции

у = ln

х воспользуемся тем, что гра-

 

 

 

фики функций у = ln

х и у = ех симметрич-

 

 

 

ны друг к другу относительно прямой

 

 

 

у = х

(рис. 87). Возьмем на графике фун-

 

 

 

кции

у = ln х точку В(х; ln х). Точка А, сим-

 

 

 

метричная точке В

относительно прямой

 

 

 

у = х, лежит на графике функции

у = ех.

 

 

 

Касательные l1 и l2 к этим графикам, про-

 

 

 

веденные в точках

В и

А, также симме-

 

 

 

тричны относительно прямой у = х. Пусть

 

 

 

касательная l1 образует с осью х

угол

a.

 

 

 

Тогда касательнаяl2

образует с осьюутакже уголa. Угол, образован-

ный касательной l с осью х, обозначим через b. Тогда a + b = p (см.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

1

 

рис. 87) и (ln x )= tg

 

 

 

− β

 

 

 

 

 

 

. Но tgb, согласно гео­

α = tg

= ctgβ =

tg

β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

164 Раздел 3. Производная и ее приложения

метрическому смыслу производной, равен производной функции у = ех в точке с абсциссой lnх, то есть равенelnx = x. Следовательно,

(ln x )= 1x .

Наконец, используя формулу перехода от одного основания ло- гарифма к другому loga x = ln1a ln x и правило дифференцирова- ния произведения функции на число, получим:

(loga x )= ln1a 1x .

Пример 9. Записать уравнение касательной к графику функ- ции у = е2 х в точке с абсциссой 2.

Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке

М0(x0; f(x0)) имеет вид: y = f (x0 ) + f ′(x0 )(x x0 ) . Так как x0 = 2, f(x0) = е2 – 2 = 1, у′ = –e2x (см. пример 8, 2)), f (x0) = –е2 – 2 = –1, то урав-

нение касательной имеет вид: у = 1 – (х – 2), или у = 3 – х. g

Ответ. у = 3 – х.

99

Контрольные вопросы

 

 

 

 

 

 

 

1°.

Может ли производная функции у = ах равняться нулю?

 

 

2°.

Может ли касательная к графику функции y = ax

в некото-

 

рой точке быть параллельной оси х?

 

x

 

 

 

3°.

 

 

 

 

 

1

; б)y = 3

x

?

Какой знак имеет производная функции: а) y =

 

 

 

В какой из точек х1

= 1, х2

= 10, х3 = 100,

2

 

 

 

 

4°.

х4 = 0,01 быстрее всего

 

возрастает функция y = ex ?

 

 

 

 

 

 

5.

При каких значениях а производная функции у = ах принима-

 

ет положительные значения; отрицательные значения?

 

 

6.

При каких значениях а

касательная к графику функции

 

у = ах в точке с абсциссой

х = 0 образует с осью абсцисс:

 

 

 

а) острый угол;

б) тупой угол;

в) угол в 45°;

 

 

 

г*) острый угол, меньший 45°;

 

 

 

 

 

 

 

д*) острый угол, больший 45°?

касательной к графику фун-

7°.

Чему равен угол наклона к оси х

 

кции у = ln x в точке с абсциссой

х = 1?

 

 

 

 

 

8.

Какая из функций: у = ln x или у = lg x — имеет большую ско-

 

рость изменения в точке х = 1?

 

 

 

 

 

 

Дифференцирование функций

165

9.Укажите, на каком из рисунков 88, а)–г) изображён график

 

производной функции: 1) у = ех; 2) y = ln x; 3)

 

1

x

 

y =

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи

143. Найдите производную функции:

1°)

y = 2x4 − 5x3 + 2x − 5 ;

 

 

2°)

y = x3

+

1 x2

5x +

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

4

 

 

 

 

 

 

5

 

 

3°) y = x(x3 + 4x2 + x − 2) ;

 

 

4°)

y =

2

+ 5x

1

+ 3;

 

 

 

 

 

 

x3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5°)

y = 3 x

 

;

 

 

 

 

6°)

y = (x2 +1)(5x − 3) ;

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − x

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7°)

y = (4x

2

 

 

 

−1)

;

 

 

8°)

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x

 

 

 

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9°)

y =

2x +1 в точке х = 0;

10°) y

=

x + 4

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11°) у =

 

 

1 −ctg x

;

 

 

 

 

12°) у = tg x +

 

 

 

1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

p ;

13°) у = x(cos x + 1);

 

 

 

 

14) у =

 

 

 

 

 

в точке х =

 

 

 

 

 

1 + cos x

15) у = cos x sin x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

16°) y = ln3 3x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17)

y =

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18)

y = ln

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19°) f (x) =

 

 

 

в точке х

0

= 1;

20°) y = lgx + 2x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21) y = ln(–x);

 

 

 

22) f (x) = log2 (3 − 2x) в точке х0 = 1;

 

23) y = 102x – 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

144°. В каких точках угловой коэффициент касательной к графи-

ку функции у = 2х3 – 2х2 + х – 1 равен: 1) 1; 2) 3?

166 Раздел 3. Производная и ее приложения

145°. Найдите скорость изменения величины х в момент времени

t = 3, если величина изменяется по закону:

 

t

2) x = 2

 

1

t

1) x = 1 − 0,1 ;

1

3

.

 

 

 

 

 

146.Под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная к

 

графику функции y = x2 ln x в точке с абсциссой х0

= 1?

147.

Запишите

уравнение касательной к

графику

функции

 

y = 3cos x + 2sin x в точке с абсциссой:

 

 

 

1) х = 0;

2) x = π ;

3) x = π .

 

 

 

 

2

4

 

148.

В каких точках касательная к графику функции y = x + 2

 

образует с осью х угол 135°?

 

x 2

 

графику

функции

149.

Запишите

уравнение касательной к

 

у = х2 – 3х + 2:

 

 

 

1)

в точке с абсциссой х = 0;

 

 

 

2)

в точках пересечения его с осью абсцисс;

 

 

3)

в точках пересечения его с графиком функции у = х2 – 1.

150. Материальная точка движется вдоль координатной прямой

по закону x = t4

t2 , где х — координата, м; t — время, с.

2

 

Найдите:

 

1°) зависимость скорости точки от времени; 2°) моменты времени, когда скорость точки равна нулю;

3) скорость точки в тот момент времени, когда она находилась в начале координат;

4*) ускорение движения точки в момент времени t = 1. 151. Материальная точка совершает гармонические колебания

по закону x = 2sin πt , где х — координата точки; t — время. 1) Найдите скорость движения в моменты времени:

t1 = 16 ; t2 = 14 ; t3 =1 .

2) В какие моменты времени меняется направление движе- ния точки?

3) В какие моменты времени точка имеет наибольшую ско- рость?

Дифференцирование функций

167

4*) Докажите, что ускорение движения пропорционально координате точки. Чему равен коэффициент пропорцио- нальности?

152*. Точкадвижетсяпрямолинейнопозаконух= 2t3 – 3t2 –12t +1, где х — координата точки, м; t — время, с (t ≥ 0).

1) Найдите ускорение в момент времени 3 с.

2) В какой момент времени ускорение равно нулю? С какой скоростью движется точка в этот момент?

Упражнения для повторения

153. Найдите область определения функции:

 

1)

y =

5x

 

;

2) y =

x − 2

; 3)

y =

x + 2 ;

4) y =

 

x + 1

.

 

 

 

3x + 1

 

 

4x2 −1

 

3

 

 

x

154.

Исследуйте функцию на четность и нечетность:

 

 

 

1)

y = 2x 4

;

2)у= sinx cosx; 3)

у = e-2x + e2x;

4) у = x3

+ 1.

 

155.

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Укажите наименьший положительный период функции:

1)у = sin 2x; 3 ; 3) у = cos2 x ; 4) у = tg x ctg x.

156.Какие из следующих функций возрастают в своей области определения?

1)y = log0,5x; 2) y = ex; 3) y = 1 – x;2) у = tg x

4) y = x +2 ; 5) y = x2 .

Итог

Правила дифференцирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( f (x) + g(x))

= f (x)

+ g (x),

(cf (x))

= cf (x),

 

 

 

 

 

( f (x) g(x)) = f (x)g(x) + g (x)f (x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

=

f (x)g(x) − f (x)g (x)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(x)

 

 

 

 

 

 

 

g(x)

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

f(kx + b))′ = kf (u), где и = kx + b.

 

 

 

 

 

Производные элементарных функций

 

 

 

y

 

tg x

 

 

 

 

ctg x

 

ex

 

ax

 

ln x

loga x

y

 

1

 

 

 

1

 

ex

 

ax ln a

 

1

 

1

 

 

cos2 x

 

 

sin2 x

 

 

 

x

 

x ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§8. Исследование функций и построение их графиков с помощью производной

Из имеющихся способов задания функции наиболее наглядным является графический, что делает его незаменимым средством при решении различных задач. Поэтому и для аналитически заданной функции часто строят ее график. Графики функций можно строить по точкам. Однако случайно выбранные точки (даже если их много) не позволяют учесть важные особенности функции. Поэтому строить график нужно не по произвольным точкам, а по характерным, «опорным». При этом важно иметь представление о поведении функции на промежутках между опорными точками и т. п. Научить находить характерные точки функции и строить ее график является главной целью данного параграфа.

Признаки постоянства, возрастания и убывания функции

При построении графика функции очень важно уметь находить промежутки возрастания, убыва- ния и постоянства функции, или, другими словами,

промежутки ее монотонности. Легко заметить, что существует связь между возрастанием, убыванием, постоянством функции и углами, образованными касательными к ее графику с осью аб- сцисс. Если функция у = f(x) возрастает, то касательные к ее гра- фику образуют с осью х острые углы a (рис. 89), поэтому tga ≥ 0. Из геометрического смысла производной следует, что tgα = f ′(x ) , то

есть f ′(x ) ≥ 0 . Если же функция f(x) убывает, то углы a тупые (рис. 90) и tg α = f ′(x) ≤ 0 . У постоянной функции угол между ка-

Исследование функций и построение их графиков с помощью производной

169

сательнымикеёграфикуиосьюхравеннулю,тоесть f ′(x) = tgα = 0

. Итак, можно сделать следующий вывод.

Если функция возрастающая, то ее производная не­ отрицательна; если функция убывающая, то ее про­ изводная неположительна; для постоянной функции производная равна нулю.

Таким образом, по свойствам функции можно определить знак ее производной. И наоборот: по знаку производной можно харак- теризовать поведение самой функции.

Пусть f ′(x) > 0. Мы знаем, что f ′(x) равняется тангенсу угла на- клона к оси абсцисс касательной к графику функции в точке с абсциссой х: f ′(x) = tgα > 0 . Следовательно, касательная в каждой

точке графика образует с осью абсцисс острый угол a. Это возмож- но только в том случае, когда график функции с возрастанием аргумента поднимается вверх, то есть функция возрастает.

Аналогично получим, что если f ′(x) < 0, то функция убывает. Приведенные рассуждения подводят нас к следующей теореме.

Теорема 1 (признак монотонности функции).

Если на некотором интервале производная функции по­ ложительна, то функция возрастает на этом интервале, а если производная отрицательна, то функция убывает на этом интервале.

Это утверждение имеет простой механический смысл.

Пусть x = x(t) — закон движения материальной точки вдоль координатной прямой. Если x(t) > 0, то есть v(t) > 0 , то это означа-

ет, что точка движется в положительном направлении оси. Следо- вательно, ее координата увеличивается, то есть x(t) является воз- растающей функцией.

Так же рассматривают случай, когда x′(t) < 0 .

Из приведенных выше соображений вытекает, что промежут- ки возрастания и убывания функции совпадают с промежутками знакопостоянства ее производной.

Если x′(t) = 0 при t0 < t < t1, то это означает, что скорость точки v(t) = x′(t) равна нулю на этом промежутке, то есть точка не дви- жется. Следовательно, ее координата не изменяется: x(t) = const, если t0 <t <t1 . На основании этого можно сформулировать следу-

ющую теорему.

170

Раздел 3. Производная и ее приложения

Теорема 2

(признак постоянства функции).

 

Если на некотором интервале производная функции то­ ждественно равняется нулю, то функция постоянна на этом интервале.

Если функция дифференцируема в своей области определения и ее производная только в конечном числе точек может прини- мать значение 0, то интервалы монотонности функции можно найти по такой схеме:

1)указать область определения функции;

2)найти точки, в которых производная функции равна нулю;

3)разбить область определения функции найденными точками на интервалы;

4)определить знак производной на каждом из интервалов.

Последнее действие можно выполнить, например, вычислив значение производной в любой точке промежутка. Если на рас- смотренном интервале производная функции положительна, то на нем функция возрастает, а если отрицательна – убывает.

Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функ-

ции f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 1.

Данная функция определена и дифференцируема на всей числовой оси. Найдем ее производную: f ′(x)= 6х2 – 6х – 12. Для на- хождения нулей производной решим уравнение 6х2 – 6х – 12 = 0. Получим х1 = –1, х2 = 2. Точки х1 и х2 разбивают область опреде- ления функции на интервалы (–∞; –1), (–1; 2), (2; +∞). Опреде- лим знак производной на каждом из них. Квадратный трехчлен х2 х–2= (х+1)(х–2)положителеннаинтервалах(–∞;–1)и(2;+∞) и отрицателен на интервале (– 1; 2). Следовательно, f ′(x) > 0 на промежутках (– ∞; – 1), (2; +∞ ) и функция у = f(x) возрастает на каждом из этих промежутков. На интервале (– 1; 2) функция убы- вает, так как f (x) < 0 на этом промежутке. g

Ответ. f(x) возрастает на каждом из интервалов (–∞; –1) и (2; +∞), f(x) убывает на интервале (– 1; 2).

!Если функция непрерывна на промежутке [а; b] и воз­ растает (убывает) на интервале (а; b), то она возрастает (убывает) и на промежутке [а; b], то есть точкиа и b мож­ но присоединять к интервалу монотонности функции.