978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

Пример 2. Дан шар радиуса R. Через определенную точку на поверхности шара проведены две плоскости: первая — касательная к шару, вторая — секущая — под углом 30° к первой. Найти пло- щадь сечения и расстояние от центра шара до этого сечения.

 Пусть шар с центромО и ради- уса R касается плоскости a в точке P, а плоскость b проходит через эту точку под углом 30° к плоскости a (рис. 275). Плоскость b пересекает плоскость a по некоторой прямой l, а сечением шара плоскостьюb явля- ется круг с центром в точкеО1.

Проведем через точку P в пло- скостях a и b прямые а и b перпен-

дикулярно прямой l. Угол между

этими прямыми равен углу между плоскостями a и b (почему?), то есть равен 30°. Плоскость g, прохо- дящая через прямые а и b, перпендикулярна прямой l. Поэтому

отрезок OP, перпендикулярный прямой l, лежит в плоскости g и

пирамиды равно b и наклонено к плоскости основания под углом a. Найти радиус шара, описанного вокруг пирамиды.

 Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SАВCD. Круг, описанный вокруг ее основания, является сечением шара плоскостью основания пирамиды. Его центр О1 совпадает с цен- тром квадрата ABCD. Центр шара, описанного вокруг пирамиды,

Задачи

268.Радиус шара равен 5 см. Найдите:

1°) площадь сечения шара плоскостью, проходящей на рас- стоянии 3 см от центра шара; 2°) угол, под которым сечение, рассмотренное в задании 1°), видно из центра шара;

3)расстояние между центром шара и точкой, находящейся на касательной плоскости на расстоянии 2 см от точки касания;

4)сторону основания правильной треугольной призмы, опи- санной вокруг шара; 5*) радиус основания прямого кругового конуса, описанного

вокруг шара, высота которого равна 12 см.

269.Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на 12 см, имеет площадь 25p см2. Найдите:

1°) радиус шара; 2°) угол между плоскостью сечения и радиусом, проведенным

в точку пересечения этой плоскости с поверхностью шара;

3)расстояние между центром шара и точкой касательной плоскости, удаленной на 5 см от точки касания;

4)сторону основания правильной треугольной призмы, опи- санной вокруг шара; 5*) сторону основания правильной треугольной пирамиды,

вписанной в шар, высота которой равна 8 см.

270.Toчкa A лежит на прямой, касательной к шару, и располо- жена на расстоянии 12 см от точки касания. Радиус шара равен 5 см. Найдите:

1°) расстояние от точки A до центра шара; 2°) угол, под которым шар виден из точки A;

3)расстояние от центра шара до сечения, имеющего вдвое меньшую площадь, чем площадь большого круга;

4)радиус основания прямого кругового конуса с вершиной в точке A, описанного вокруг шара.

271.Докажите, что:

1°) каждая прямая, проходящая через центр шара, является его осью симметрии;

2)касательные к шару, проведенные из точки А, не принад- лежащей шару, проходят через образующие прямого круго- вого конуса, а их отрезки, ограниченные точкой А и точками касания, равны между собой; 3*) точки касания шара, вписанного в правильную п-уголь-

ную пирамиду, с боковыми гранями являются вершинами правильного п-угольника.

272.В правильной треугольной призме высота равна 2 см, а сто- рона основания — 12 см. Найдите:

1)радиус описанного шара;

2)наибольший радиус шара, который можно поместить в призму;

3)площадь сечения шара, описанного вокруг призмы, пло- скостью боковой грани;

4)угол, образованный с боковой гранью призмы радиусом описанного шара, проведенным к вершине призмы;

5)радиус шара, касающегося всех ребер оснований призмы.

273.В правильной четырехугольной пирамиде сторона основа- ния равна а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите:

1)радиус описанного шара;

2)радиус вписанного шара;

3)расстояние между центрами описанного и вписанного шаров.

274.Образующая прямого кругового конуса равна 17 см, а его высота — 15 см. Найдите:

1)длину окружности, по которой касаются поверхности ко- нуса и вписанного в него шара;

2)отношение радиусов вписанного и описанного шаров.

275.В шар вписана правильная четырехугольная призма с боко- вым ребром а и диагональю боковой грани l. Найдите:

1°) сторону основания призмы; 2°) радиус шара;

3)угол между диагональю призмы и ее основанием;

4) угол между плоскостью, проходящей через противополож- ные стороны верхнего и нижнего оснований, и основанием призмы.

276°. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 4 см, 6 см и 12 см. Найдите радиус описанного шара.

277°. Высота прямого кругового конуса равна 2 см, образующая — 4 см. Найдите радиус описанной сферы.

278°. Высота прямого кругового конуса равна 8 см, образующая — 10 см. Определите радиус вписанного шара.

279. Найдите радиус шара, вписанного в правильную четырех­ угольную пирамиду, все ребра которой равны 2 см.

280. Определите радиус шара, описанноговокруг правильной четы- рехугольной пирамиды с высотой 4 см и боковым ребром 6 см.

281. Радиус шара равен 9 см. Определите сторону основания вписанной правильной четырехугольной призмы, высота которой равна 14 см.

282*. Мяч,радиускоторогоравен15см,лежит:1)устены;2) вуглу комнаты. Поместится ли в образованном промежутке шарик для настольного тенниса, радиус которого равен 1,5 см?

Упражнения для повторения

283.Опишите сечения прямого кругового цилиндра и прямого кру- гового конуса плоскостями, перпендикулярными их высотам.

284.Опишите оси симметрии правильного треугольника, ромба, равнобокой трапеции.

285.Докажите, что точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции равноудалена от боковых сторон.

Итог

Комбинации шара с другими телами

Шар называется вnucaнным в npямой круговой цuлиндp,

если он касается его оснований и каждой образующей, распо- ложенной на боковой поверхности цилиндра. Шар называется

onucaнным вокруг npямoгo кругового цuлиндpa, если обе окружности его оснований принадлежат поверхности шара.

Шар называется вписанным в npямой кpугoвой конус, если он касается его основания и каждой его образующей. Шар на-

зывается onucaнным вокруг npямoгo кругового конуса,

если окружность основания и вершина конуса принадлежат поверхности шара.

Шар называется вnucанным в мнoгoгpaннuк, если все грани многогранника касаются шара. Шар называется onucaнным вокруг мнoгoгpaннuкa, если все вершины многогранника принадлежат поверхности шара.

Основные утверждения

1.Любое сечение шара плоскостью является кругом. Центром этого круга является или центр шара, или основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

2.Paдиуc сферы, пpoвeдeнный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен этой плоскости.

3.Плоскость, проходящая через конец радиуса сферы, принадлежащий ей, перпендикулярно этому радиу­ су, является касательной плоскостью к сфере.

4.Каждaя диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

§16. Тела вращения

Одним из важных способов построения тел в природе и в результате деятельности людей является образование их с помощью вращения плоской фигуры около оси. Исследование этого способа построения тел

целью параграфа.

елa вращения образуются при вращении плocкoй фигуры вокруг ocи, принaдлeжащей плоскости, которой расположена фигуpa. В частности, так

можно шар, прямые кpугoвые цилиндры и кoнуcы. Baжноcть этoгo клacса тел связaнa с тем, что человек издaвнa про- изводил пpeдмeты, имеющие фopму тел вращения. Это и изгoтов- лeние глиняной пocуды с пoмoщью гoнчapнoгo кpугa, и oбpаботкa мeтaлла или дepeвa на токapныx станкax (рис. 279, а–г).

Фигура, составленная окружностей вращения всех moчек фигуры F, нaзывaеmc

фигурой вращения (рис. 281). Прямая l называется

осью вращения.

Haпpимер,вращаяпрямоугольниквокругпрямой,содержащей одну из его сторон, получим прямой круговой цилиндр (рис. 282). Если же вращать прямоугольный треугольник вокруг прямой,

содержащей один из катетов, то получим

прямой круговой конус (рис. 283). Шар можно получить, если полукруг вращать вокруг прямой, содержащей его диаметр

(рис. 284). Нетруднo догадаться, какие фигуры нужно вращать и вокруг чего, что- бы получить усеченный прямой круговой конус или сферу. Несколько сложнее это сделать для «баранки» (тора) (рис. 285).

Teopeмa 1 (о симметрии тел вращения).

Ось вращения является осью симметрии фигуры вращения, а плоскости, проходя­ щие через эту ось, являются плоскостями симметрии.

 Пусть M — произвольная точка фигуры, образованной вращением плоской фигуры вокруг оси l (рис. 286). Окружность, образованная вра- щением точки M вокруг оси l, расположена в пло- скости, перпендикулярной оси, и ее центр лежит

на этой оси. Toчкa M ′, симметричная точке M относительно оси l, также лежит в этой плоскости и MО = M ′О. To есть точка, сим- метричная произвольной точке фигуры вращения относительно оси вращения, также принадлежит этой фигуре. Следовательно, фигура вращения симметрична относительно оси.

Aнaлoгичнo доказывают, что плоскость, проходящая через ось вращения, является плоскостью симметрии фигуры вращения (докажите это!). g

Пример 1. Опишите фигуру, образованную при вращении фигуры, изображенной на рис. 287, вокруг оси l.

 Чтобы описать указанную фигуру вращения, сначала необхо- димо построить фигуру, симметричную данной относительно пря- мой l (рис. 288). Фигура, являющаяся объединением данной и по- строенной, симметрична относительно прямой l. Ее вращение дает тот же результат, что и вращение данной фигуры (почему?). Фигу- ру, образованную вращением фигуры на рис. 289, теперь нетрудно описать. ЧетырехугольникABCD является равнобокой трапецией, а прямая l – ее осью симметрии. Его вращение вокруг осиl дает усе- ченный конус. Из этого конуса нужно удалить конус, образованный вращением прямоугольного треугольникаNPC вокруг этой оси.g

Фигуры вращения шиpoкo используются для oпиcaния гeoмeтpическиx фopм в окружа- ющей среде, в пpaктической де-

ятельнocти. Это связaнo как со спocoбoм их об- разования, так и с иx свойствами cиммeтpии.

Вращая вокруг диаметра различные части круга, получим различные части шара. Часть

параболы (б), гиперболы (в) вокруг их осей симметрии (рис. 292). B результате получаем поверхности вращения.

Teopeмa 2 (о пересечении двух сфер).

Пересечением двух сфер является окружность.

 Если пpoвecти чepeз прямую, пpoxoдящую чepeз центры О и О1 дaнныx cфep, произвольную плоскость, то в сечении получим две окружности с цeн- тpaми О и О1, пepeсека- ющиеcя в точкax M1, M2

(рис. 293, а), cиммeтpич-

ныx относительно пpя- мoй ОО1. Фигуpa, полу- ченная вращением этoгo

сечения вокруг ocи ОО1, состоит из двух дaнныx cфep. Общие точки этих cфep получим вращени- ем точек M1 и M2. A по- скольку тaкиx точек две

и они cиммeтpичны отно-