978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

Ответы и указания к задачам

471

7)

y′

=

–6x

2

+

3х

+

1;

8)

y

′

= −

2

; 9)

у′(0)

=

–2;

10)

y

′

=

x2 + 8x + 1

;

(1 − x2 )2

11)

y

1

12)

y

=

1 + sin x

;

13)

y′

= cos

x

–

xsin

x

+

1; 14)

2

;

′

= 3 sin2 x ;

′

cos2

x

3

1

1

15)

y

=

; 16) y′

= (ln3)

3

; 17) y′ = ln1,5 · (1,5)

; 18) y

; 19) f ′(1) =

′

2 cos x

2

x

x

′

= − x

1

1

2

2x – 1

1; 20)

y

′

= x

+ 2 ; 21) y

′

= − x

; 22)

y (1)

= −

; 23) y′ = 2ln10 10

. 144. 1) A(0;

ln 2

′

– 1), B

2

; −

17

B

1

; −

44

. 145. 1) ≈0,0023; 2) ≈ 0,0814. 146. 45°.

3

27

; 2) A(1; 0),

−

3

27

147. 1) y = 3 + 2x; 2) y = –3x +

4 + 3π

; 3)

y = −

2

x +

. 148. A(0; – 1),

2

+ 1; 3) y

2

8

B(4; 3). 149. 1) y = –3x + 2; 2) y = –x

= x – 2; 4) y = –x + 1. 150. 1) v =

= (2t3 – 2t) м/с; 2) t1 = 0 c, t2

= 1 c; 3) v(0) = 0 м/с, v(

2) = 2

2 м/с; 4) 4 м/с2.

151. 1) p 3

≈ 5,44 м/с; p

2 ≈ 4,43 м/с; –2p ≈ –6,28 м/с; 2) t =

, где k = 0,

2

1, 2, …; 3) t = k, де k = 0, 1, 2, … . 152. 1) 30

м/с2; 2) t = 0,5 c, v(0,5) = –13,5 м/с. 153.

1

−

1

1

1

;

1

1

1) −∞; −

3

; +∞ ; 2)

−∞; −

2

−

2

2

; +∞ ; 3) [–2; +∞); 4) [–1; 0)

3

2

возрастает на каждом из промежутков

1

и [1; + ∞); 3) функция убывает

0;

3

2

, функция убывает на промежутке

2

; 5) функция убывает на

3

; +∞

−2;

3

3

3

промежутке −∞;

, функция возрастает на промежутке

; +∞ ; 6) фун-

4

5

4

−∞; −

кция возрастает на каждом из промежутков

3

и [1; + ∞), функция

5

убывает на промежутке −

3

;1 ; 7) функция возрастает на промежутке

15

15

; 8) функция убывает на

−∞;

; +∞

4

4

4) 3; 0; 5)

26

1

;

−

2

; 6) 10; 1; 7)

2 ; 1; 8)

2 + π ;

−

2 +

π ; 9) 0; –е–1. 172. 1) −

1

;

25

3

3

2

2

320

3

–5; 2)

; 2. 173. 1) 80×160 м; 2) радиус полукруга

равен

≈ 44,8 м, а

8

π + 4

176. 1) у = 5х + С; 2) y =

x8

+ C ; 3) y = −

1

+ C

; 4) y = −

1

+ C ; 5) y = ln|x|

+ C;

8

2x2

x

3

5

2

3x

3−x

1

5

6) y =

x3 + C ; 7) y = 2x 2 + C ; 8)

y =

x 2

+ C

; 9)

y =

+ C ; 10)

y = −

+ C ;

5

5

ln 3

ln 3

11) y = ex + C. 177. y = –2x + C. 178. 1) y = x; 2)

π

; 3) y = 2 x − 8 ; 4) y =

y = tgx + 4

1

t3

t3

= ex – 3; 5) y = ln(–x) + 2. 179. 1) y

= − x ; 2) y = lnx

– 1. 180.

1)

x = 3

; 2) x = 3

−1 .

181. x = –1. 182. Второй. График первой первообразной можно получить из

направлении оси

у.

183.

1)

y =

u3

−

3u2

2)

y = −

1

−

4

x x + C ;

6

2

+ 5u + C ;

x

3

3t2 3 t

sin x

1

3)

y =

+ t + C ; 4)

y =

+ 5tg x

+ C; 5)

y

= −

+ 2ln x – x + C;

7

5

x

1

x3

1

6)

(e

x

+ sin x ) + C ; 7) y

= x4 – 2x2 + C; 8)

+ 2x + C; 9) y = –4sin x –

y =

3

y = 3 − x

–

5cos

x + 0,3x +

C;

10)

y =

x2

− 2ln|x|

+ x +

C;

11)

y = −

1

cos x + C;

2

2

473

3x

1

π

1

(2x + 1)

12)

y =

+ x + C

;

13)

y

=

3

cos

− 3x

+ C ; 14)

y =

2x + 1 + C ;

ln 3

3

6

15)

1−x

; 16)

1

(5x + 4)7 + C . 184. 1) y = x3 +

3

– 5; 2) y = –3ctg x;

y = −2e 2

+ C

y =

35

x

3

3) y = x2 – 5ex + 7; 4) y = x + cos x –

; 5) y = x3 – ln x

+ 1; 6) y = ex – cos x – 3;

3

t3

3t2

7) y = sin x. 185. 1) y = 1; 2) y = 2x + 1.

186. y = 2x

− 2 x2+ 5. 187. 1)

x =

3 −

2

+ 2t ;

2) x

=

t

– 3cos

t

–

2p;

3)

x = − sin

π

− t

2 . 188.

1)

x

=

–3t2

+

30t

–

1;

4

+

5t2

+ 20t −1 .

2

3

x

2

ex − e−x

2) x

=

2

189. 1) y = x2 – ln x + 4; 2)

y = 3 x 2 + e

−

3

; 3) y =

2

+1 .

190. 1)

1

π

1

;

2)

1

π

t

. 191. 1) 8; 2) – 1,5.

v

= −

cos

2t

−

+

x = −

sin

2t −

+

2

3

4

4

4

3

1

16

1 − e−2

192. 1), 2) Приращения равны.193. 2 м/с2. 195. 1) 3; 2) 1; 3)

2

; 4)

3

; 5) 1; 6)

1

2

;

7) 3

3

; 8) –1. 196. 1) 1; 2)

; 3) 3; 4) 2. 198. 2 м.199. 1) 3 м; 0,75 м; 2 м; 2)ò 2xdx .

2 ln 2

7

0,5

200. 1)

35 ; 2)

2

3

; 3) 1; 4)

2

− 1

; 5) 3е – 2; 6)

8

; 7) 17

; 8) 4; 9) –

1 – ln 2;

3

3 ln 3

3

3

e

6

2

3

10) 5,5 + 4ln 2; 11) 8; 12)

8

+

9

; 13) –

56 ; 14) 1+ e; 15) ln 3; 16)

.

16

м; 2) 11

32

3 ln 3

ln 2

3

3

201. 1)

м; 3)

м. 202. 50 м. 203. 1) Первый; 2) 0,5 м. 204. 1) (0; 1),

3

3

3

(1; 1); 2) (3; 3), (0; 3); 3) (0; 0), (1; 1); 4) (0; 1), (1; 1). 206. 1) 16 ; 2) 28

; 3)

2

;

4) е – 1

4

1

3

3

1

3

+ 2 ≈ 4,35; 5)

; 6) 6; 7) p – 2 ≈ 1,14. 207. 1) 3 –

≈ 2,29; 2) е +

– 2 ≈

3

2

e

e

4

4 ; 8)

2

1

5

≈ 1,09; 3)

; 4) 2; 5) 4,5; 6) 4; 7)

2

2

; 9)

≈ 2,89; 10)

; 11)

;

3

ln 2

12

6

3

12)

π3 +12

≈ 7,16. 208. ln 2 – 0,5 ≈ 0,193. 209. 4

. 210. 0,4 м2. 211. ≈ 624 кг.

6

3

219. 1) 36 см2, 3

2

см; 2) 45°; 3) 90°; 4)

6

см. 220. 1) 4l2cos2a, lsina; 2) arctg

tga

;

3

2

3)

180° – 2 arctg

tga

; 4)

1 lsina. 221. 1)

1

a ; 2) arctg

1

; 3)

1

a ; 4)

3 a ,

a2 .

2

2

2

3

2

2

6

2

16

222.

1)

p2 − a2 ;

2)

arccos a

3

;

3)

arccos

2a

;

4)

a

3p2 − a2 .

12

6p

12p2 +3a2

2p

2

223. 4 3 см. 225. 1) 9 см и

65 см; 2) arctg

7

и arctg

7

2

; 3) 42

2

см2, 42 см2;

4

4)

6

85

см2. 226. 1)

211 ,

163 ;

2)

arctg

7

3

,

arctg

7

3

;

3)

21,

42

3 .

3

3

8

4

3

228. 1) 5; 2) 12; 3) arctg

3

; 4) 2,25p; 5)

3

41 ; 6)

12

. 230. 1)

r ; 2) r; 3)

r ;

4

2

41

2

2

4)

60°; 5)

2 pr. 232. 1) 2

3

см; 2) 2

3

см; 3) 2

5

см; 4) 3

13

см2. 233. 45°.

H

3

2

234.

. 240. 1)

arctg

2 , arctg

5 ; 2)

arctg

2 ; 3) 2

2

см2; 4) 0;

;

2

см2;

2

5

3

1

3

5)

2

2

см2; 6)

6

см2. 241. 1)

103

см; 2)

403

см;

3)

2arctg

;

2

2

403

4)

3

427 см2. 242. 1) H2ctg2a; 2)

H2 cos a

; 3)

arctg

(

2tgα

)

; 2arcsin

2 cos α

;

2

4

sin a

2

4)

H2 c tgα

2 − cos2

α . 243. 6 см. 244. 7 см. 245.

9

2

91 дм. 246. 1) 2а; 2)

2

a ;

2sin α

4

2

3)

4а2;

а2

15 ; 2а2

3 .

247. 2)

l

sin2 α − cos2 α

.

250. 1)

5

см; 2)

5

3

см;

3

3)

125

51

см2; 4) arctg

1

; 5) 20

21 см2; 6)

5 15

см. 251. 1) 2RH; 2) 2 arctg

R

;

12

4

4

3)

2 arctg

R

; 4)

4R2 + H2

. 252. 10 см. 253. 60°. 254.

S

. 255.

S .

R2 + H 2

a

2atg

p

2

258. Указание. Воспользуйтесь симметриями фигур. 260. Указание. Вос-