Добавил:
researchgate.net Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
24.03.2018
Размер:
10.66 Mб
Скачать

О.Н. Афанасьева Я.С. Бродский А.Л. Павлов А.К. Слипенко

МАТЕМАТИКА

класc

Учебник для общеобразовательных

учебных заведений

Уровень стандарта

Рекомендовано Министерством образования и науки Украины

ТЕРНОПОЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН 2011

ББК 22.1я72 А94

Рекомендовано Министерством образования и науки Украины (приказ МОН Украины №235 от 16.03.2011 г.)

Издано за счет государственных средств. Продажа запрещена. Научную экспертизу проводил Институт математики НАН Украины. Психолого-педагогическую экспертизу проводил Институт педагогики НАПН Украины.

Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.Л., Слипенко А.К.

А94 Математика. 11 класс. Уровень стандарта: Учебник для обще­ образоват. учеб. зав. — Тернополь: Навчальна книга – Богдан, 2011. — 480 с.

ISBN 978-966-10-2413-6

Предлагаемый учебник соответствует программе по математике для 11-го класса уровня стандарта и направлен на подготовку учащихся к широкому и сознательному применению математики. Эту ориентацию обеспечивают содержание курса, характер изложения учебного материа- ла, отбор иллюстраций и примеры приложений, система упражнений и контрольных вопросов.

Для учащихся и учителей общеобразовательных учебных заведе- ний.

ББК 22.1я72

Охраняется законом об авторском праве.

Ни одна часть этого издания не может быть воспроизведена в любом виде без разрешения автора или издательства

 

©

Афанасьева О.Н., Бродский Я.С.,

 

 

Павлов А.Л., Слипенко А.К., 2011

ISBN 978-966-10

© Навчальна книга – Богдан, макет,

 

художественное оформление, 2011

! Обращение к читателю

Дорогой юный друг!

Перед Вами учебник по предмету «Математика». Его главное назна- чение — помочь Вам систематизировать, расширить и углубить знания и умения, необходимые для математического моделирования и иссле- дования процессов и явлений с помощью функций, уравнений, про- изводной, интеграла, вероятности и других математических объектов, овладеть смежными предметами (физикой, химией, биологией и т. д.) и тем самым удостовериться в могуществе математических методов для познания окружающего мира и решения различных проблем.

Учебник для 11 класса состоит из семи разделов. Каждому разде- лу предшествует материал, изучавшийся ранее и необходимый для изучения этого раздела. Он представлен в виде таблиц. Для обеспе- чения готовности к изучению материала раздела приводится диаг- ностический тест.

Разделы учебника состоят из параграфов, которые, в свою очередь, делятся на пункты. К каждому пункту даны контрольные вопросы, целью которых является обеспечение активного усвоения основных понятий и фактов в их взаимосвязи.

Изложение учебного материала в каждом пункте структурирова- но по уровням. На первом уровне (он обозначен буквой Б) излагают- ся основные понятия и факты темы, хотя, чаще всего, без формаль- ных доказательств. Этот материал является базой для последующего изучения темы, более основательного и полного.

На втором уровне (он обозначен буквой О) приводится более полное обоснование предыдущего материала, его расширение, при- водятся примеры его применения. Материал на этих двух уровнях обеспечивает овладение предметом в соответствии с требованиями программы уровня стандарта.

Изложение теоретического материала сопровождается примера- ми и решениями типовых задач соответствующего уровня. Начало и конец доказательств утверждений и решений примеров и задач обо- значены знаками и .

4

Обращение к читателю

Система задач, упражнений и контрольных вопросов, приведен- ных в учебнике, имеет три уровня сложности: первый уровень слож- ности обозначен символом «°», второй не имеет обозначений, третий обозначен символом «*».

В общую систему заданий включены упражнения на повторе- ние, которые должны способствовать обеспечению готовности к ов- ладению последующим материалом, сохранению умений и навыков, сформированных при изучении предыдущих разделов.

Каждый раздел завершается материалом для подготовки к тема- тическому оцениванию, состоящим из заданий для самоконтроля (с ответами) и образца тематической контрольной работы. Для повторе- ния и систематизации учебного материала раздела приведены соот- ветствующие таблицы. Каждый из разделов завершается историче- ским комментарием.

Учебник содержит указания и ответы к задачам, а также предмет- ный указатель.

Чтение книги не является легким делом. Некоторые фрагменты доказательств оставлены для самостоятельной проработки. Не про- пускайте их!

Желаем успехов!

Коллектив авторов

Обозначения для ориентирования в учебном материале

, — две ступеньки усвоения учебного материала

!— обратите внимание

— начало решения задачи, доказательства теоремы — конец решения задачи, доказательства теоремы ° — задачи первого уровня сложности * — задачи третьего уровня сложности

— контрольные вопросы— графические упражнения; задачи

— исторический комментарий — границы для различных типов задач— упражнения для повторения ? — задания для самоконтроля— тест для диагностики

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

Основным назначением современной математики является моделирование явлений природы и общества. Понятие функции относится к важнейшим средствам моделирования. Поэтому вполне естественной и актуальной является проблема расширения классов изучаемых функций. В этом разделе мы познакомимся с новыми функциями, которые будут введены с помощью операции возведения в степень и операции, обратной к ней. Свойства и графики таких функций будем изучать с помощью методов, использовавшихся в курсе математики 10-го класса.

В естественных науках и технике встречаются процессы, рост или

«угасание» которых происходит быстрее, чем у любой степенной функции. Такие процессы описываются показательными функциями. Для их изучения необходимо воспользоваться еще одной (кроме извлечения корня) операцией, обратной возведению в степень. Она называется логарифмированием. Функции, вводимые с помощью этой операции, то есть логарифмические функции, также широко применяются для описания реальных процессов и явлений.

Готовимся к изучению темы «Показательная и логарифмическая функции»

Изучение темы «Показательная и логарифмическая функции» существенно использует материал темы «Функции, их свойства и графики», изучавшийся в 10 классе, и практически весь алге- браический материал из предыдущих классов (вычисления, вы- ражения и их преобразования, уравнения и неравенства, после- довательности). Для подготовки к изучению темы важнейший материал приведен в виде таблиц.

Определение степени с рациональными показателями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

Степень с натуральным по-

 

n N, n > 1 an = a a ... a.

казателем

 

а1 = а.

 

 

 

 

 

 

n а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Степень с нулевым показате-

 

а0 = 1, а ≠ 0.

 

 

 

 

 

 

 

лем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Степень с целым отрица-

 

a

n

=

1

, a ≠ 0,

n N .

 

 

тельным показателем

 

 

 

 

 

 

 

 

a

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Степень с рациональным по-

 

 

m

= n am , a > 0, n N, n > 1, m Z.

казателем

 

an

Свойства степени с рациональным показателем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2

Произведение степеней с одинаковыми

a

x

a

y

= a

x + y

, x, y Q.

основаниями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частное от деления степеней с одинако-

ax

: ay = ax y , x, y Q.

выми основаниями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возведение степени в степень

 

 

 

 

 

 

(ax )y

= axy , x, y Q .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Готовимся к изучению темы «Показательная и логарифмическая функции»

7

 

 

 

 

 

 

 

 

Степень произведения

(ab)x

= ax bx , x Q .

 

 

 

Степень частного

a x

=

ax

 

 

 

 

b

x , x Q .

 

 

 

 

b

 

 

 

 

Чтение графика функции

Таблица 3

Область определения функции

D(f) = [a; b]

Нули функции, промежутки знакопостоянства функции

x1, x2, x3 — нули функции f(x) > 0 x [a; x1) (x2; x3) f(x) < 0 x (x1; x2) (x3; b]

 

 

 

 

 

 

Наибольшее, наименьшее зна-

 

 

 

чения, множество

значений

 

 

 

функции

M — наибольшее

значение

 

функции

значение

 

m — наименьшее

 

функции

 

 

 

E( f ) = [m; M]

 

 

8

Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции

 

 

 

 

Промежутки монотонности функции

f (x) x [x1 ,x2 ]

f (x) x [a,x1 ],x [x2 ,b]

Основные классы функций

Таблица 4

Функции Графики

Линейная

функция

Квадратичная

функция

у = ах2 + bх + с

D = b2 – 4ac

Готовимся к изучению темы «Показательная и логарифмическая функции»

9

Функции Графики

Обратная пропорцио- нальность

Степенные

функции с натуральными

показателями

Степенные

функции с целыми от-

рицательными

показателями

Степенные

функции с дробными

показателями

10

Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции

Функции Графики

Тригонометрические функции