Добавил:
researchgate.net Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
24.03.2018
Размер:
10.66 Mб
Скачать

Показательная функция

21

Докажем первое утверждение сначала для натуральных х, затем для положительных рациональных х, для положительных иррациональных х и, наконец, для отрицательных действитель- ных значений х.

Если х = п, п N, то ах = an = a a ... a > 1, так как а > 1.

 

 

n а

 

p

 

 

 

 

 

 

Если x =

p

, p N,q N, q ≠1, то a

x

 

q

 

p

> 1

, так какар > 1.

= aq =

a

q

 

 

 

Еслих=a— положительное иррациональное число, тоaα > arn > 1, где rn — некоторое рациональное приближение a с недостатком.

Если х < 0, то ax = a1x < 1 , так как, по доказанному, ах > 1. При 0 < а < 1 свойство доказывается аналогично. g

Свойство 3. Показательная функция монотонна: при a > 1 функция y = ax возрастает в области определения,

апри 0 < a < 1 она убывает.

Истинность этого утверждения вытекает из свойств степени

и из свойства 2 показательной функции: если a >1 и x1

< x2 , то

ax1

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

ax2

 

= a

1

 

2

< 1, ибо х1 х2 < 0, откуда a 1

< a

2

; если же 0 < a <1 и

x < x

,

то

ax1 = ax1 x2

> 1, или ax1

> ax2 . g

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

ax2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследуем поведение показательных функций, когда значе-

ния аргумента по модулю становятся как угодно большими.

Рассмотрим

таблицу 6

приближенных

 

значений функции

у =

2х.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

–100

 

–50

–10

 

–5

–1

 

1

5

 

10

50

 

100

2х

 

7,8910–31

 

 

8,8810–16

9,7710–4

 

3,1310–2

0,5

 

2

32

 

1024

1,131015

 

1,271030

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Анализ

этой

таблицы показывает, что с возрастанием х зна-

чения функции растут очень быстро. При отрицательных значе- ниях х, когда |x| стремится к бесконечности, значения функции приближаются к нулю. Это свойство функции у = 2х хорошо иллю- стрируется ее графиком (см. рис. 1).

22

Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции

как 1 a

То же самое можно сказать о любой пока-

зательной функции y = ax с

основанием

а > 1 (рис. 5).

функции

Поведение показательной

y = ax

с основанием 0 < а < 1 можно исследо-

 

 

x

 

1

1

x

вать,

если учесть, что a

 

=

 

 

=

 

. Так

 

a

x

 

 

 

 

 

a

 

> 1, то с возрастанием х значения функции приближаются

 

1 x

к нулю. Это свойство функции y =

 

хорошо иллюстрируется

 

2

 

ее графиком (см. рис. 2). При отрицательных значениях х, когда

|x| становится достаточно большим,

значения функции быстро

возрастают. То же самое можно сказать о любой показательной

функции y

1

x

 

1

< 1 (см. рис. 5).

 

=

с основанием 0 <

a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

Симметричность графиков функций y = 2

x

и y =

1

x

 

 

 

относи-

тельно оси

y (см. рис. 1 и 2)

 

 

 

 

 

2

 

является следствием равенства

1

x

 

x

. В общем случае для показательных функций с основа-

 

= 2

 

2

 

 

 

 

 

1 выполняется аналогичное свойство (см. рис. 5). Это

ниями а и

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

1

x

 

дает возможность построить график функций

 

y =

, имея гра-

фик функции y = ax .

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С помощью показательных функций описываются различные

процессы и явления. Например, процесс распада радия можно опи-

сать формулой m = m at, где t – время, с; т = m(t) масса радия в

момент времени t , г;0m = m(0)

— начальная масса радия, г;, а

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

некоторое действительное число. Зависимость температуры тела Т

от времени

t при охлаждении его в среде с постоянной температу-

рой T0

можно выразить с помощью формулыT = T0 + (T1

T0)at, где

Т1 — начальная температура тела. Формула сложных процентов

A = a

1 +

 

 

p t

определяет зависимость суммы A на счете вклад-

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

Показательная функция

23

чика банка от времениt при начислениир% вклада за каждую еди- ницу времени. Подобными функциями описывают развитие биоло- гических популяций, затраты предприятия, рост количества публикаций, объем информации и т. п.

!В последних примерах зависимость имеет вид у = baсx, у = b cax, где х — аргумент, а, b, c — некоторые действи-

тельные числа. Такие функции обычно тоже называют

показательными.

Пример 5. Атмосферное давление в зависимости от высоты местности над уровнем моря изменяется по закону

p = 1,01 105 0,882h , где р — давление, Па, h — высота, км.

1)Найти атмосферное давление на всех уровнях – от уровня моря до уровня наивысшей земной вершины – с интервалом в 1 км.

2)На какой высоте находится вершина горы, если атмосферное давление на ней равно 5,00 104 Па?

1) Так как высота наивысшей вершины на Земле не превы- шает 9 км, то выполнение задания сводится к вычислению значе- ний данной функции при h = 0; 1; 2; …, 9.

Воспользовавшись калькулятором, составим таблицу значе- ний.

h, км

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

р 10–4, Па 10,1

8,91

7,86

6,93

6,11

5,39

4,75

4,19

3,70

3,26

2) Второе задание сводится к решению уравнения

1,01 105 0,882h = 5,00 104 , или 0,882h = 0,495.

Так как пока что в нашем распоряжении нет методов для реше- ния подобных уравнений, то попробуем решить его приближенно. Для этого воспользуемся составленной таблицей. Из нее видно, что искомая высота больше 5 км и меньше 6 км. Если нас устраивает точность в 0,5 км, то в качестве ответа можно взять число 5,5. Для увеличения точности результата можно было бы повторить процеду- ру, найдя значения функции в точках 5,1; 5,2; ...; 5,9. Понятно, что нас не интересует полная таблица значений, а лишь такие числаh1

и h2 изэтойпоследовательности,что0,495содержитсямежду0,882h1 и 0,882h2 . Число h1 +2 h2 является приближенным решением урав-

24

Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции

нения с точностью, не меньшей 0,05, и т. д. Этим путём можно в итоге достичь необходимой точности результатов.g

Ответ. 2) ≈ 5,5 км.

В примере 5 мы опять встретились с необходимостью решения уравнения

ax = b, a > 0.

Существование его решений при b > 0 не вызывало сомнений из «физических» соображений. Нетрудно провести его полное ис- следование в зависимости от параметров a,b . При b £0 уравне-

ние не имеет решений. При b > 0 существует единственное реше- ние уравнения, что следует из свойств функции y = ax .

В частности­ , если b = aс, то из монотонности функции y = ax выте- кает, что решением данного уравнения является х = с. К уравне-

ниям вида ax = ac сводятся и некоторые другие уравнения, где неизвестное содержится в показателе степени.

Пример 6. Решить уравнение 4 2x = 1 .

Данное уравнение можно записать в виде 2x +2 = 20. Отсюда x + 2 = 0 , или x = −2. g

Ответ. –2.

Подобные рассуждения проводят и при решении неравенств, сводящихся к простейшим:

ax > ac или ax < ac .

Так как показательные функции при а > 1 возрастающие, а

при 0 < а < 1 — убывающие, то неравенство ax > ac при а > 1 рав- носильно неравенству х > c, а при 0 < а < 1 — неравенству х < c.

Аналогично неравенство ax < ac при а > 1 равносильно нера- венству х < c, а при 0 < а < 1 — неравенству х > c.

1

Пример 7. Решить неравенство: 1) 23x < 2x2 +2 ; 2) 0,5x < 0,25.

1) Так как показательная функция у = 2t возрастающая, то имеем равносильное неравенство 3x < x2 + 2. Решая квадратное неравенство x2 – 3x + 2 > 0, получим: x (−∞; 1) (2; + ∞).

2) Данное неравенство равносильно неравенству 1x > 2 , так как функция у = 0,5t убывающая и 0,25 = (0,5)2. Далее имеем:

Показательная функция

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − 2x > 0, (2x −1)x <

0, 0

< x < 1 . g

 

 

 

 

 

x

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. 1) (−∞; 1) (2; + ∞); 2) 0;

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Контрольные вопросы

 

 

 

 

99

 

 

 

1°.

Какие из приведенных функций являются показательными:

 

 

 

а) y =

1

; б) y = x2 ; в)

у = 2x; г)

у = (sin2)x; д) y = ( 2 )x ;

 

 

 

x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е) y = (1 − 3 )x ; ж) y = x ?

 

 

 

2°.

Какие из показательных функций, приведенных в вопросе 1,

 

 

 

возрастающие; убывающие?

 

 

 

3.

 

 

 

1 x

 

 

 

Может ли функция y =

принимать значения: а) 2; б) 0;

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

в) −12 ; г) 1; д) 100 000; е) 0,00001?

4.Верно ли, что графики функций у = ах и y = bx , a ≠ 1, b ≠ 1, имеют только одну общую точку?

5.

Какое из чисел больше: а)

1

1

; б)

1

или

1

;

22

или 23

(0,5)2

(0,5)3

 

в) 3 2

или 31,5 ?

 

 

на

 

 

 

 

6.

Какой

из графиков, изображенных

 

 

 

 

 

рис.

6,

является графиком

функции:

 

 

 

 

 

а) у =

2х; б) у = 3х?

 

 

 

 

 

 

 

7.Может ли функция y = 2x 2 прини-

мать:

а) отрицательные значения; б) значение y = 5 ;

в) значение y = −2? 8. Какая из функций y = −2x , y = 2x −10 :

а) возрастающая; б) убывающая?

9*. При каких значениях а показательная функция y = (2a − 1)x убывающая?

26 Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции

Задачи

1°. Вычислите:

2) (25 27 )5 9 ;

 

1) 273 3 : 333 3 ;

3) 51−2 5 251+ 5.

2.Упростите выражение:

1°) x 3 x1− 3 ;

 

2°) x 5 −1 x 5 +1 ;

 

 

 

 

3°)

y 7 − 3 y 7 +

3 ;

4)

(y 5 ) 5 : y6 ;

 

 

 

5)

 

3

 

1 3 −1

6)

 

5

1,5

:

4

 

4

5

;

m

 

 

 

 

;

n

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7) 43−2

2 16 2 ; 8) 31−2 3 9 3 ;

9) 41+ 5 21− 5 2−1− 5.

3.Пользуясь калькулятором, вычислите с точностью до 0,01:

23,14 и 23,15; 23,141 и 23,142.

4.Пользуясь результатами, полученными при решении задачи 3, найдите значение 2p с точностью до 0,01.

5°. Используя график функции y = 2x (см. рис. 1), найдите при-

ближенно:

1) значение функции в точках 1,5 и –1,5; 2) значения аргумента, при которых значение функции рав- няется 0,4;

3) абсциссу точки его пересечения с прямой у = 1,5.

6. Пользуясь графиком функции y = 2x , постройте график фун- кции:

1°)

y = 2

x −2

;

2)

2x

;

3°)

 

1 x

 

y = 2

y =

+ 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4°)

y = 2x

−1;

5*)

y = 2|x|;

6*)

y = 2 x2 .

7.Найдите область определения и множество значений фун- кции:

1°) y = 32x −1;

2) y =1x ;

3*) y = 2x −1.

8.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном промежутке:

1)

y = 3x −1 , [2; 4];

2)

y = 2x , [−1; 2];

3*)

1−2x

, [−1; 1];

4*)

1

2−x

y = 3

y =

 

, [−2; 2].

 

 

 

 

2

 

 

Показательная функция

27

9.Дана функция у = 0,3·(1,5)2х – 1 – 0,45.

1°) С помощью калькулятора составьте таблицу ее значений на отрезке [–3; 3] с шагом 0,5.

2)Постройте ее график.

3)Найдите точки, в которых график функции пересекает оси координат.

4*) При каких значениях аргументах значения функции будут отличаться от –0,45 не более, чем на 0,2?

Скорость погружения тела в жидкость описывается формулой

v = 2,5(1 − 2,7−1,5t ) , где v — скорость, м/с; t — время, с.

1)Найдите скорость тела через 10 с и 20 с после начала по- гружения.

2)На сколько изменится скорость за первые 10 с погружения? За следующие 10 с?

11.При радиоактивном распаде количество вещества уменьша- ется вдвое за сутки. Сколько вещества останется от 250 г через 1,5 суток? 3,5 суток? 100 суток?

12.Решите уравнение:

 

 

2x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

−6x −2,5

 

 

1)

2

 

=

 

;

 

 

 

2)

4

 

2

 

= 9;

 

 

 

 

3)

2

 

 

 

= 16 2.

 

3 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Решите неравенство:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x −1

1)

(0,5)

x

>1;

2) 3

x

<

9;

 

 

 

3)

3x

1

;

 

 

 

 

4)

1

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

≤ 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.Дано выражение f (x) = (2x + 2−2x )2 (2x − 2−2x )2 .

1°) Докажите, что f(x) = 2x + 2. 2°) Вычислите f(1,5), f (1), f (–1).

3°) В каких точках график функции y = f (x) пересекает ось y, ось х, прямую y = 2?

4°) Найдите область определения, множество значений фун- кции y = f (x) , постройте ее график.

5)Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на промежутке [– 1; 2].

6)При каких значениях х справедливы соотношения:

f (x) = 312 ; f (x ) > 312 ?

28

Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции

 

 

 

7*)

При каких значениях а имеет решения уравнение

f (x) = a −1 ? 2

8*) Найдите множество значений функции y = –3f(2x – 1).

15.Дано выражение f (x) = (3x + 3−2x )2 (3x − 3−2x )2 − 3x.

1°) Докажите, что f(x) = 3x + 1. 2°) Вычислите f(0,5), f (2), f (–2).

3°) В каких точках график функции y = f (x) пересекает ось y, ось х, прямую y = 13 ?

4°) Найдите область определения, множество значений фун- кции y = f (x) , постройте ее график.

5)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

y = f (x) на промежутке [–2; 1].

 

6)

При

каких

значениях

х

справедливы соотношения:

f (x ) =

1

; f (x) >

1

?

 

 

 

4 3

 

 

 

4 3

 

 

 

 

7*)

При

каких

значениях

а

имеет решения уравнение

f (x) = a −1 ? 3

8*) Найдите множество значений функции y = –2f(–x + 1) + 1.

Упражнения для повторения

16°.Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

1)

5–3;

2)

8–2;

3)

а–1;

 

4)

с–10;

5)

(mn)–4;

6)

(a – 1)–5;

7)

 

3

−2

8)

 

2

−3

 

 

;

 

3

.

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

17°.Замените дробь степенью с целым отрицательным показате-

лем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

1

 

;

 

2)

1 ;

3)

1

;

 

 

4)

1

;

53

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

a5

 

 

 

b4

5)

1 ;

 

 

6) 0,001;

7) 0,1;

 

 

8) 0,01.

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18. Сравните числа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

−21

2) 3–21

и 4–21;

3)

1

21

и 3–21.

1) 3–21 и

 

;

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

Показательная функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

 

19°.Вычислите:

 

 

5

−5

 

 

 

3) ( 3)

−7

(

3

 

1)

3– 4 · 33;

2)

 

 

4

 

 

4

 

(1,25) ;

 

3)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

110 · 11–2 ;

5)

 

3

−4

 

3

−3

 

 

 

 

 

 

 

4

 

:

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итог

 

Основное понятие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

 

Геометрическая интерпретация

Функцию, заданную

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формулой y = ax , x R ,

 

 

 

 

 

 

 

 

a > 0, a ≠ 1, называют

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

показательной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства показательной функции

 

 

 

 

 

у = ах, 0 < а < 1

 

у = ах, а > 1

Область определения

(– ∞;

+∞)

 

Четность

Ни четная, ни нечетная

Нули

Нулей не имеет

Монотонность

Убывает

 

Возрастает

Множество значений

(0;

+∞)

 

Непрерывность

Непрерывна в области определения

Наибольшее

Не имеет

и наименьшее значения

 

 

 

Некоторые применения показательной функции

Процесс

Формула, которой он описывается

Процесс распада радия

m = m at

 

 

 

 

0

 

 

Рост банковских вкладов

A = a 1 +

p t

 

 

 

t

 

 

 

 

 

100

§2. Логарифмы и их применение

В этом параграфе рассматривается новая операция, с помощью кото-

рой находится решение уравнения ax = b . Это значительно расширяет возможности в исследовании процессов и явлений, описываемых показательными функциями.

1. Логарифмы и их свойства

Рассмотрим задачу о нахождении показателя сте-

пени х по значениям степени ax = b и основания а, то есть уравнение ax = b . В простейших случаях его

решитьнесложно.Например,если 5x = 251 , тох= –2;если 3x = 3,

то x = 12 . В общем случае решение указанной задачи требует вве-

дения нового понятия.

Условия, при которых уравнение ax = b имеет решение, выте-

кают из свойств показательной функции y = ax . Множеством ее

значений при a ≠ 1 является промежуток (0; +∞). Так как функция у = ах является монотонной, то каждое свое значение она прини-