978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus
.pdfПоказательная функция |
21 |
Докажем первое утверждение сначала для натуральных х, затем для положительных рациональных х, для положительных иррациональных х и, наконец, для отрицательных действитель- ных значений х.
Если х = п, п N, то ах = an = a a ... a > 1, так как а > 1.
|
|
n а |
|
p |
|
|
|
|
|
|
||
Если x = |
p |
, p N,q N, q ≠1, то a |
x |
|
q |
|
p |
> 1 |
, так какар > 1. |
|||
= aq = |
a |
|||||||||||
q |
|
|
|
Еслих=a— положительное иррациональное число, тоaα > arn > 1, где rn — некоторое рациональное приближение a с недостатком.
Если х < 0, то ax = a1−x < 1 , так как, по доказанному, а–х > 1. При 0 < а < 1 свойство доказывается аналогично. g
Свойство 3. Показательная функция монотонна: при a > 1 функция y = ax возрастает в области определения,
апри 0 < a < 1 она убывает.
Истинность этого утверждения вытекает из свойств степени
и из свойства 2 показательной функции: если a >1 и x1 |
< x2 , то |
|||||||||||||||||||
ax1 |
|
|
x |
−x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
ax2 |
|
= a |
1 |
|
2 |
< 1, ибо х1 – х2 < 0, откуда a 1 |
< a |
2 |
; если же 0 < a <1 и |
|||||||||||
x < x |
, |
то |
ax1 = ax1 −x2 |
> 1, или ax1 |
> ax2 . g |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
ax2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуем поведение показательных функций, когда значе- |
||||||||||||||||||||
ния аргумента по модулю становятся как угодно большими. |
||||||||||||||||||||
Рассмотрим |
таблицу 6 |
приближенных |
|
значений функции |
||||||||||||||||
у = |
2х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
х |
|
–100 |
|
–50 |
–10 |
|
–5 |
–1 |
|
1 |
5 |
|
10 |
50 |
|
100 |
||||
2х |
|
7,8910–31 |
|
|
8,8810–16 |
9,7710–4 |
|
3,1310–2 |
0,5 |
|
2 |
32 |
|
1024 |
1,131015 |
|
1,271030 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Анализ |
этой |
таблицы показывает, что с возрастанием х зна- |
чения функции растут очень быстро. При отрицательных значе- ниях х, когда |x| стремится к бесконечности, значения функции приближаются к нулю. Это свойство функции у = 2х хорошо иллю- стрируется ее графиком (см. рис. 1).
22 |
Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции |
как 1 a
То же самое можно сказать о любой пока-
зательной функции y = ax с |
основанием |
а > 1 (рис. 5). |
функции |
Поведение показательной |
y = ax |
с основанием 0 < а < 1 можно исследо- |
|||||||
|
|
x |
|
1 |
1 |
−x |
||
вать, |
если учесть, что a |
|
= |
|
|
= |
|
. Так |
|
a |
−x |
||||||
|
|
|
|
|
a |
|
> 1, то с возрастанием х значения функции приближаются
|
1 x |
|
к нулю. Это свойство функции y = |
|
хорошо иллюстрируется |
|
2 |
|
ее графиком (см. рис. 2). При отрицательных значениях х, когда |
||
|x| становится достаточно большим, |
значения функции быстро |
возрастают. То же самое можно сказать о любой показательной
функции y |
1 |
x |
|
1 |
< 1 (см. рис. 5). |
|
|||||||||
= |
с основанием 0 < |
a |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Симметричность графиков функций y = 2 |
x |
и y = |
1 |
x |
||||||||||
|
|
|
относи- |
||||||||||||
тельно оси |
y (см. рис. 1 и 2) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
является следствием равенства |
|||||||||||||||
1 |
x |
|
−x |
. В общем случае для показательных функций с основа- |
|||||||||||
|
= 2 |
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
1 выполняется аналогичное свойство (см. рис. 5). Это |
|||||||||
ниями а и |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
дает возможность построить график функций |
|
||||||||||||||
y = |
, имея гра- |
||||||||||||||
фик функции y = ax . |
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
С помощью показательных функций описываются различные |
||||||||||||||
процессы и явления. Например, процесс распада радия можно опи- |
|||||||||||||||
сать формулой m = m at, где t – время, с; т = m(t) — масса радия в |
|||||||||||||||
момент времени t , г;0m = m(0) |
— начальная масса радия, г;, а — |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
некоторое действительное число. Зависимость температуры тела Т |
|||||||||||||||
от времени |
t при охлаждении его в среде с постоянной температу- |
||||||||||||||
рой T0 |
можно выразить с помощью формулыT = T0 + (T1 |
– T0)at, где |
|||||||||||||
Т1 — начальная температура тела. Формула сложных процентов |
|||||||||||||||
A = a |
1 + |
|
|
p t |
определяет зависимость суммы A на счете вклад- |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Показательная функция |
23 |
чика банка от времениt при начислениир% вклада за каждую еди- ницу времени. Подобными функциями описывают развитие биоло- гических популяций, затраты предприятия, рост количества публикаций, объем информации и т. п.
!В последних примерах зависимость имеет вид у = baсx, у = b –cax, где х — аргумент, а, b, c — некоторые действи-
тельные числа. Такие функции обычно тоже называют
показательными.
Пример 5. Атмосферное давление в зависимости от высоты местности над уровнем моря изменяется по закону
p = 1,01 105 0,882h , где р — давление, Па, h — высота, км.
1)Найти атмосферное давление на всех уровнях – от уровня моря до уровня наивысшей земной вершины – с интервалом в 1 км.
2)На какой высоте находится вершина горы, если атмосферное давление на ней равно 5,00 104 Па?
1) Так как высота наивысшей вершины на Земле не превы- шает 9 км, то выполнение задания сводится к вычислению значе- ний данной функции при h = 0; 1; 2; …, 9.
Воспользовавшись калькулятором, составим таблицу значе- ний.
h, км |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
р 10–4, Па 10,1 |
8,91 |
7,86 |
6,93 |
6,11 |
5,39 |
4,75 |
4,19 |
3,70 |
3,26 |
2) Второе задание сводится к решению уравнения
1,01 105 0,882h = 5,00 104 , или 0,882h = 0,495.
Так как пока что в нашем распоряжении нет методов для реше- ния подобных уравнений, то попробуем решить его приближенно. Для этого воспользуемся составленной таблицей. Из нее видно, что искомая высота больше 5 км и меньше 6 км. Если нас устраивает точность в 0,5 км, то в качестве ответа можно взять число 5,5. Для увеличения точности результата можно было бы повторить процеду- ру, найдя значения функции в точках 5,1; 5,2; ...; 5,9. Понятно, что нас не интересует полная таблица значений, а лишь такие числаh1
и h2 изэтойпоследовательности,что0,495содержитсямежду0,882h1 и 0,882h2 . Число h1 +2 h2 является приближенным решением урав-
24 |
Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции |
нения с точностью, не меньшей 0,05, и т. д. Этим путём можно в итоге достичь необходимой точности результатов.g
Ответ. 2) ≈ 5,5 км.
В примере 5 мы опять встретились с необходимостью решения уравнения
ax = b, a > 0.
Существование его решений при b > 0 не вызывало сомнений из «физических» соображений. Нетрудно провести его полное ис- следование в зависимости от параметров a,b . При b £0 уравне-
ние не имеет решений. При b > 0 существует единственное реше- ние уравнения, что следует из свойств функции y = ax .
В частности , если b = aс, то из монотонности функции y = ax выте- кает, что решением данного уравнения является х = с. К уравне-
ниям вида ax = ac сводятся и некоторые другие уравнения, где неизвестное содержится в показателе степени.
Пример 6. Решить уравнение 4 2x = 1 .
Данное уравнение можно записать в виде 2x +2 = 20. Отсюда x + 2 = 0 , или x = −2. g
Ответ. –2.
Подобные рассуждения проводят и при решении неравенств, сводящихся к простейшим:
ax > ac или ax < ac .
Так как показательные функции при а > 1 возрастающие, а
при 0 < а < 1 — убывающие, то неравенство ax > ac при а > 1 рав- носильно неравенству х > c, а при 0 < а < 1 — неравенству х < c.
Аналогично неравенство ax < ac при а > 1 равносильно нера- венству х < c, а при 0 < а < 1 — неравенству х > c.
1
Пример 7. Решить неравенство: 1) 23x < 2x2 +2 ; 2) 0,5x < 0,25.
1) Так как показательная функция у = 2t возрастающая, то имеем равносильное неравенство 3x < x2 + 2. Решая квадратное неравенство x2 – 3x + 2 > 0, получим: x (−∞; 1) (2; + ∞).
2) Данное неравенство равносильно неравенству 1x > 2 , так как функция у = 0,5t убывающая и 0,25 = (0,5)2. Далее имеем:
Показательная функция |
|
|
|
25 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 2x > 0, (2x −1)x < |
0, 0 |
< x < 1 . g |
|||
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ответ. 1) (−∞; 1) (2; + ∞); 2) 0; |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Контрольные вопросы |
|
|
|
|
|||||
99 |
|
|
|
|||||||
1°. |
Какие из приведенных функций являются показательными: |
|||||||||
|
|
|
а) y = |
1 |
; б) y = x2 ; в) |
у = 2x; г) |
у = (sin2)x; д) y = ( 2 )x ; |
|||
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) y = (1 − 3 )x ; ж) y = x ? |
|
|
|
||||
2°. |
Какие из показательных функций, приведенных в вопросе 1, |
|||||||||
|
|
|
возрастающие; убывающие? |
|
|
|
||||
3. |
|
|
|
1 x |
|
|
|
|||
Может ли функция y = |
принимать значения: а) 2; б) 0; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
в) −12 ; г) 1; д) 100 000; е) 0,00001?
4.Верно ли, что графики функций у = ах и y = bx , a ≠ 1, b ≠ 1, имеют только одну общую точку?
5. |
Какое из чисел больше: а) |
1 |
1 |
; б) |
1 |
или |
1 |
; |
||
22 |
или 23 |
(0,5)2 |
(0,5)3 |
|||||||
|
в) 3 2 |
или 31,5 ? |
|
|
на |
|
|
|
|
|
6. |
Какой |
из графиков, изображенных |
|
|
|
|
||||
|
рис. |
6, |
является графиком |
функции: |
|
|
|
|
||
|
а) у = |
2х; б) у = 3х? |
|
|
|
|
|
|
|
7.Может ли функция y = 2−x − 2 прини-
мать:
а) отрицательные значения; б) значение y = 5 ;
в) значение y = −2? 8. Какая из функций y = −2x , y = 2x −10 :
а) возрастающая; б) убывающая?
9*. При каких значениях а показательная функция y = (2a − 1)x убывающая?
26 Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции
Задачи
1°. Вычислите: |
2) (25 27 )5 9 ; |
|
1) 273 3 : 333 3 ; |
3) 51−2 5 251+ 5. |
2.Упростите выражение:
1°) x 3 x1− 3 ; |
|
2°) x 5 −1 x 5 +1 ; |
|
|
|
|
||||||||||
3°) |
y 7 − 3 y 7 + |
3 ; |
4) |
(y 5 ) 5 : y6 ; |
|
|
|
|||||||||
5) |
|
3 |
|
1 3 −1 |
6) |
|
5 |
1,5 |
: |
4 |
|
4 |
5 |
; |
||
m |
|
|
|
|
; |
n |
|
n |
|
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) 43−2 |
2 16 2 ; 8) 31−2 3 9 3 ; |
9) 41+ 5 21− 5 2−1− 5. |
3.Пользуясь калькулятором, вычислите с точностью до 0,01:
23,14 и 23,15; 23,141 и 23,142.
4.Пользуясь результатами, полученными при решении задачи 3, найдите значение 2p с точностью до 0,01.
5°. Используя график функции y = 2x (см. рис. 1), найдите при-
ближенно:
1) значение функции в точках 1,5 и –1,5; 2) значения аргумента, при которых значение функции рав- няется 0,4;
3) абсциссу точки его пересечения с прямой у = 1,5.
6. Пользуясь графиком функции y = 2x , постройте график фун- кции:
1°) |
y = 2 |
x −2 |
; |
2) |
2−x |
; |
3°) |
|
1 x |
|
y = 2 |
y = |
+ 3; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4°) |
y = 2−x |
−1; |
5*) |
y = 2|x|; |
6*) |
y = 2 x2 . |
7.Найдите область определения и множество значений фун- кции:
1°) y = 32x −1; |
2) y =1x ; |
3*) y = 2x −1. |
8.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном промежутке:
1) |
y = 3x −1 , [2; 4]; |
2) |
y = 2−x , [−1; 2]; |
|||
3*) |
1−2x |
, [−1; 1]; |
4*) |
1 |
2−x |
|
y = 3 |
y = |
|
, [−2; 2]. |
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
Показательная функция |
27 |
9.Дана функция у = 0,3·(1,5)2х – 1 – 0,45.
1°) С помощью калькулятора составьте таблицу ее значений на отрезке [–3; 3] с шагом 0,5.
2)Постройте ее график.
3)Найдите точки, в которых график функции пересекает оси координат.
4*) При каких значениях аргументах значения функции будут отличаться от –0,45 не более, чем на 0,2?
Скорость погружения тела в жидкость описывается формулой
v = 2,5(1 − 2,7−1,5t ) , где v — скорость, м/с; t — время, с.
1)Найдите скорость тела через 10 с и 20 с после начала по- гружения.
2)На сколько изменится скорость за первые 10 с погружения? За следующие 10 с?
11.При радиоактивном распаде количество вещества уменьша- ется вдвое за сутки. Сколько вещества останется от 250 г через 1,5 суток? 3,5 суток? 100 суток?
12.Решите уравнение:
|
|
2x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
−6x −2,5 |
|
|
||
1) |
2 |
|
= |
|
; |
|
|
|
2) |
4 |
|
2 |
|
= 9; |
|
|
|
|
3) |
2 |
|
|
|
= 16 2. |
||||
|
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13. Решите неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|||||||||||
1) |
(0,5) |
x |
>1; |
2) 3 |
x |
< |
9; |
|
|
|
3) |
3x |
≥ |
1 |
; |
|
|
|
|
4) |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
≤ 3 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.Дано выражение f (x) = (2x + 2−2x )2 − (2x − 2−2x )2 .
1°) Докажите, что f(x) = 2–x + 2. 2°) Вычислите f(1,5), f (1), f (–1).
3°) В каких точках график функции y = f (x) пересекает ось y, ось х, прямую y = 2?
4°) Найдите область определения, множество значений фун- кции y = f (x) , постройте ее график.
5)Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на промежутке [– 1; 2].
6)При каких значениях х справедливы соотношения:
f (x) = 312 ; f (x ) > 312 ?
28 |
Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции |
|
|
|
|
7*) |
При каких значениях а имеет решения уравнение |
f (x) = a −1 ? 2
8*) Найдите множество значений функции y = –3f(2x – 1).
15.Дано выражение f (x) = (3x + 3−2x )2 − (3x − 3−2x )2 − 3−x.
1°) Докажите, что f(x) = 3–x + 1. 2°) Вычислите f(0,5), f (2), f (–2).
3°) В каких точках график функции y = f (x) пересекает ось y, ось х, прямую y = 13 ?
4°) Найдите область определения, множество значений фун- кции y = f (x) , постройте ее график.
5) |
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции |
||||||
y = f (x) на промежутке [–2; 1]. |
|
||||||
6) |
При |
каких |
значениях |
х |
справедливы соотношения: |
||
f (x ) = |
1 |
; f (x) > |
1 |
? |
|
|
|
|
4 3 |
|
|
||||
|
4 3 |
|
|
|
|
||
7*) |
При |
каких |
значениях |
а |
имеет решения уравнение |
f (x) = a −1 ? 3
8*) Найдите множество значений функции y = –2f(–x + 1) + 1.
Упражнения для повторения
16°.Замените дробью степень с целым отрицательным показателем: |
|||||||||||
1) |
5–3; |
2) |
8–2; |
3) |
а–1; |
|
4) |
с–10; |
|||
5) |
(mn)–4; |
6) |
(a – 1)–5; |
7) |
|
3 |
−2 |
8) |
|
2 |
−3 |
|
|
; |
|
3 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
17°.Замените дробь степенью с целым отрицательным показате- |
||||||||||||||
лем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
1 |
|
; |
|
2) |
1 ; |
3) |
1 |
; |
|
|
4) |
1 |
; |
53 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
a5 |
|
|
|
b4 |
|||
5) |
1 ; |
|
|
6) 0,001; |
7) 0,1; |
|
|
8) 0,01. |
||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. Сравните числа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
−21 |
2) 3–21 |
и 4–21; |
3) |
1 |
21 |
и 3–21. |
||||
1) 3–21 и |
|
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Показательная функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
19°.Вычислите: |
|
|
5 |
−5 |
|
|
|
3) ( 3) |
−7 |
( |
3 |
|
||
1) |
3– 4 · 33; |
2) |
|
|
4 |
|
||||||||
|
4 |
|
(1,25) ; |
|
3) |
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
110 · 11–2 ; |
5) |
|
3 |
−4 |
|
3 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
: |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итог |
|||||||
|
Основное понятие |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение |
|
Геометрическая интерпретация |
|||||||
Функцию, заданную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулой y = ax , x R , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a > 0, a ≠ 1, называют |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
показательной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства показательной функции
|
|
|
|
|
|
у = ах, 0 < а < 1 |
|
у = ах, а > 1 |
|
Область определения |
(– ∞; |
+∞) |
|
|
Четность |
Ни четная, ни нечетная |
|||
Нули |
Нулей не имеет |
|||
Монотонность |
Убывает |
|
Возрастает |
|
Множество значений |
(0; |
+∞) |
|
|
Непрерывность |
Непрерывна в области определения |
|||
Наибольшее |
Не имеет |
|||
и наименьшее значения |
||||
|
|
|
Некоторые применения показательной функции
Процесс |
Формула, которой он описывается |
|||
Процесс распада радия |
m = m at |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Рост банковских вкладов |
A = a 1 + |
p t |
||
|
|
|||
|
t |
|
|
|
|
|
|
100 |
§2. Логарифмы и их применение
В этом параграфе рассматривается новая операция, с помощью кото-
рой находится решение уравнения ax = b . Это значительно расширяет возможности в исследовании процессов и явлений, описываемых показательными функциями.
1. Логарифмы и их свойства
Рассмотрим задачу о нахождении показателя сте-
пени х по значениям степени ax = b и основания а, то есть уравнение ax = b . В простейших случаях его
решитьнесложно.Например,если 5x = 251 , тох= –2;если 3x = 3,
то x = 12 . В общем случае решение указанной задачи требует вве-
дения нового понятия.
Условия, при которых уравнение ax = b имеет решение, выте-
кают из свойств показательной функции y = ax . Множеством ее
значений при a ≠ 1 является промежуток (0; +∞). Так как функция у = ах является монотонной, то каждое свое значение она прини-