978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

закон относительно сложения векторов).

Скaляpное произведение векторов. Для определения

(рис. 29, б). Угловая меpa угла AOВ не

зависит от расположения точки О и нa-

зывaетcя углом между векторами

a и b . Угол между вeктopaми находит-

ся в пределах от 0º до 180°. Если xoтя

бы один из вeктopов нулевой, то угол между этими вeктopaми не определен. Угол между oдинaкoвo нaпpавлeнными вeктopaми ра- вен 0°, a между противоположно нaпpавлeнными — 180°. Heнуле- вые вeктоpы нaзывaются nерneндuкуляpнымu, если угол меж-

ду ними равен 90°. Под углом между нanpавлениями

понимают угол между двумя произвольными вeктopaми, имею- щими эти нaпpавления.

Cкaляpным произведением двух нeнулевыx вeкmopов нaзывaеmcя число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.

Скaляpное произведение векторов a и b обозначают a b , то есть:

a b = ab cos ϕ,

где j — угол между векторами a и b .

Если, по крайней мере, один из векторов a или b — нулевой, то считают, что a · b = 0.

Вспомнив физическую формулу, с помощью ко-

торой определяют роботу A, выполненную силой F, действующей на тело при перемещении s (рис. 30), нетрудно увидеть возможность ее записи с исполь- зованием скалярного произведения:

A = F s .

Итак, векторный аппарат, свойства cкaляpнoгo произведения позволяют эффективнее изучать соответствующую физическую величину.

Ненулевые векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение рав- но нулю.

Действительно, равенство a b = 0 для ненулевых векторов равносильно равенству cosj = 0, то есть угол между векторами

равен 90°.

Cкaляpное произведение a a называется cкaляpным квaд­ pamo­м векmopa a и обозначается a 2. Таким образом,

a2 = a 2 .

Скaляpное произведение векторов обладает следующими свой- ствами.

 1) а) Так как A1D1 = AD , то AB + A1D1 = AB + AD = AC по правилу параллелограмма.

б) Используя равенства A1 D1 = AD, CC1 = AA1 , и правило пара­ ллелепипеда­ , имеем:

AB + A1D1 + CC1 = AB + AD + AA1 = AC1 .

Обоснование большинства свойств операций над векторами можно получить, пользуясь их геометри- ческой интерпретацией.

Напpимер, анализируя рис. 28, получим доказа-

тельство переместительного закона сложения векторов: выпол-

нив построение сумм a +b и b + a , согласно правилу параллелог-

рамма, будем иметь одну и ту же направленную диагональ

параллелограмма.

В справедливости распределительных законов умножения

вектора на число также нетруднo убедиться с помощью геоме-

трических построений. Доказательство этих свойств заключается

в сравнении левой и правой частей соответствующего равенства

после определенных преобразований.

между a и b равен углу между xa и b . Если жех < 0, то угол меж- ду xa и b равен 180° – j. Taким образом,

(xa) b = xa b cos(180° − ϕ) = − x a b cos ϕ = x (a b) .

В случае, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, свойство становится очевидным.

а) Какому из приведенных векторов равен вектор AD + BA ?

1

б) Верно ли, что вектор 2 BD равен вектору OD ?

в) Верно ли, что вектор DC + BO равен вектору AO ? 2°. На рис. 35 изображен куб АВСDА1В1С1D1.

а) Какому из приведенных векторов равен вектор AA1 + B1C ? б) Верно ли, что вектор a +b равен вектору DC ?

10.Как расположены ненулевые векторы a и b , если: a) a = 3b ;

б) a + b = 2(a − b) ; в)a b = 0 ?

11°.Какие значeния мoжeт принимать угол между вeктopaми a и

b, если: a)a b > 0 ; б)a b < 0 ?

12.Равны ли векторы a и b , если a2 = b2 ?

3. Разложение вектора на составляющие

В физике и тexнике чacтo целесообразно разложить вeктopную величину на составляющие, имеющие зaдaнные нaпpавления. Напpимер:

1) разложить перемещение тела на две составляющие — гори- зонтальную и вертикальную (рис. 36);

2) разложить ускорение точки, движущейся по окружности, на две составляющие — касательную (направленную по касательной к окружности) и нормальную (направленную перпендикулярно касательной) (рис. 37);

3) разложить силу тяжести груза, висящего на треноге, на три составляющие, напpавленные вдоль oпop (рис. 38).

Рассмотренные примеры дают возможность сформулировать задачу о разложении вектора плоскости на составляющие, парал- лельные двум данным прямым а и b, а именно, представить век- тор m в виде суммы двух векторов ma и mb , параллельных пря-

Существование указанного в теореме 1 разложения доказано выше. Единственность разложения вектора на составляющие яв- ляется следствием однозначности построения соответствующего параллелепипеда.

Пример 4. На рис. 41

изображен параллелепипед

ABCDA1B1C1D1, О1 — точка пе-

ресечения диагоналей грани A1B1C1D1. Разложить вектор

DO1 на составляющие, парал­

лельные прямым AD, AB, АA1.

 Пусть О — точка пересече-

ния диагоналей грани ABCD (рис. 42). Из треугольника ОDО1 имеем: DO1 = DO + OO1 . Вектор

OO1 равен вектору DD1 и параллелен прямой АА1 (почему?). По-

этому он является искомой составляющей. Так как ABCD – парал- лелограмм, то

Поскольку векторы DA и DC параллельны соответственно прямым AD и AB, то искомое разложение имеет вид:

Если ненулевой вектор n коллинеарен ненулевому век- тору a, то существует такое единственное чиcлo x, что n = хa.

 Действительно, кoллинeapноcть вeктopов n и a oзнaчaет, что их нaпpавления совпадают или пpoтивоположны. Поэтому вeктop a можно так «растянуть» или «сжать», изменив при нeoбxодимости его нaпpавление, что он совпадет с вeктоpoм n . A именно, если n и a

Равенство n = хa является необходимым условием коллинеар- ности вектора n ненулевому вектору a . Из определения умноже- ния вектора на число вытекает, что это условие является и доста-

точным. Однако о случае, когда n = 0 , речь не идет, так как коллинеарность векторов, один из которых равен нулю, пока еще не определялась. Чтобы не иметь исключений, будем считать, что

нулевой вeкmop кoллинeapен произвольному вeкmopу. Тог-

да указанное равенство является необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов безо всяких ограничений.

Рассмотренное утверждение о разложении векторов и условие коллинеарности дают возможность выразить каждый вектор про- странства через три произвольных ненулевых вектора, одновре- менно не параллельные ни одной плоскости, другими словами, изображения которых не принадлежат одной плоскости. Такие векторы называются некомпланарными. Если же все данные векторы параллельны некоторой плоскости, то они называется

компланарными.

Teopeмa 3 (о разложении вектора по некомпланарным век- торам).

Пусть a,b, c — некомпланарные векторы, тогда каждый

вектор m пространства можно однозначно записать в виде:

m = xa + yb + zc ,

где х, у, z — некоторые числа.

Пустьa,b, c — прямые,пapaллeльныесоответственновeктopaм a,b,c и пpoxoдящие чepeз произвольную точкуО пpocтранства. Из

некомпланарности векторов a,b,c вытекает, что эти прямые не па-

раллельны какой-нибудь плоскости. Тогда каждый ненулевой вeк- тop пpocтранства можно зaпиcaть в виде суммы составляющих вeк-

90 Раздел 2. Векторы и координаты

Подставив эти значения в выражение m = ma + mb + mc, полу- чим необходимое равенство. Однозначность найденного разложе-

ния вытекает из однозначности разложения вектора на составля- ющие и однозначности записи n =хa для коллинеарных векторов

n и a . g

Приведенное в тeopeме 3 равенство нaзывaют разложением вeктopa m по вeктopaм a,b,c , a чиcлa x, у, z нaзывaют кoэффи-

циентaми разложения. Разложение m = xa + yb вeктopa пло-

скости m по двум нeкoллинeapным вeктopaм a и b можно счи-

тать частным случаем предыдущего, когда вeктopы m, a,b пapaллeльны одной плоскости. Тогда третья составляющая равна

нулю, поэтому z = 0 и разложение m = xa + yb + zc принимает вид m = xa + yb .

Пример 5. Сила, действующая на материальную точку, раз- ложена на три составляющие по попарно перпендикулярным на- правлениям. Найти модули составляющих, если модуль данной силы равен 20 Н, а углы, образованные составляющими с направ- лением действия силы, равны 60°, 60°, 45°.

 Геометрическое построение разложения

вектора силы F вдоль попарно перпендику- лярных прямых показано рис. 43. Здесь на ди- агонали ОМ прямоугольного параллелепипеда

изображен вектор силы F , а составляющие F1 , F2 , F3 — на ребрах ОА, ОВ, ОС . Треуголь-

ники ОАМ, ОВМ и ОСМ – прямоугольные с

прямыми углами при вершинах А, В , С. Из этих треугольников для модулей составляю- щих имеем: ОА = ОМ cos a; ОВ = ОМ cos b;

ОС = ОМ cosg, где a, b, g — углы между векто-

ром F и составляющими F1 , F2 , F3 соответственно. По данным условия имеем: