978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

Итог

Основные определения

Прямоугольными координатами точки М пространства называют координаты проекций М(х; у; z) точки М на оси координат, взятые в порядке нуме- рации осей.

Координатами вектора a в прямоугольной сис-

теме координат называют коэффициенты в его раз- a = (х; у; z) ложении по ортам i , j , k : a = xi + yj + zk .

Фигуру, составленную из всех точек M простран- ства, расстояния R от которых до заданной точки О одинаковы, называют сферой.

Основные утверждения

Координаты вектора AB вычисляются по формуле

AB = (x2 − x1 ; y2 − y1 ; z2 − z1 ) , где A(x1; у1; z1), В(x2; у2; z2). a = (x; y;z)

a = x2 + y2 + z2 .

Расстояние d между точками M1(х1; у1; z1) и М2(x2; у2; z2) вычи- сляется по формуле

d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .

Для вычисления угла j между двумя ненулевыми векторами a1 = (x1 ; y1 ; z1 ) и a2 = (x2 ; y2 ; z2 ) используют формулу

a2 = (x2 ; y2 ; z2 ) тогда и только тогда, когда существует такое чи-

сло l, что x1 = λx2 ; y1 = λy2 ; z1 = λz2 .

Уравнение (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 является уравнением

сферы с центром в точке (а; b; c) и радиуса R.

Уравнение ах + by + cz + d = 0 является уравнением плоскости, если не все коэффициенты а, b, c равны нулю.

Готовимся к тематиче - скому оцениванию по теме «Векторы и координаты»

?? Задания для самоконтроля

1°. Верно ли, что вершины параллелограмма задают 12 различ- ных ненулевых векторов?

2°. Является ли четырехугольник АBCD параллелограммом, если AB = DC ?

3.Является ли условие коллинеарности векторов AB и CD не- обходимым для параллельности прямых АВ и СD?

4.Верно ли, что a + b > a ?

5.Следует ли из неравенства k < 1 неравенство kc < c ?

6°. Верно ли, что если (a + b)(a − b) = 0 , то a = b ?

7.Перпендикулярны ли прямые АВ и АС, если

8.Обязательно ли тело будет двигаться, если на него действуют три равные силы?

Верно ли, что расстояние от точки М(–2; 3; 1) до плоскости ху меньше расстояния от этой точки до начала координат?

10°.Симметричны ли точки А(a;b; −c) и В (−a;b;c) относительно

плоскости ху?

11. Изменятся ли координаты точек на противоположные, если направления всех координатных осей изменить на противо- положные?

12°.Верно ли, что скалярная проекция вектора a = (−5;1; −3) на ось х равна 5?

13°.Верно ли, что векторы a = (2;4;2) и b = (1;2;1) коллинеарны? 14°.Противоположны ли векторы a = (5; −4;1) и b = −5i + 4 j − k ?

15°.Перпендикулярны ли векторы a = (1;2;3) и b = (1; −2;1) ?

16. Верно ли, что уравнение у = –1 в пространстве задает прямую?

17.Верно ли, что уравнение x2 + y2 + z2 + 2 = 0 является уравне- нием сферы?

Ответы к заданиям для самоконтроля

Образец контрольной работы №2

Даны точки А(1; 1; –2), В(–3; 5; 1), С(4; 5; –1).

1°) Найдите координаты точки, симметричной точке С относи- тельно плоскости ху.

2°) Вычислите расстояние от точки В до плоскости хz. 3°) Вычислите длину отрезка АВ.

4°) Найдите координаты вектора 2AB − BC .

 Исторический комментарий

Идея изображения величин отрезками (не направленными) ис- пользовалась в Древней Греции. В физике, начиная с XVI ст., уче- ные с помощью направленных отрезков изображали действие сил

(Леонардо да Винчи (1452–1519), Г. Галилей (1564–1642) и др.).

Голландский математик и инженер С. Стевин (1548–1620) разлагал силы на составляющие и ввел правило параллелограмма.

Вматематикупонятиевекторавошлозначительнопозже.Первым векторное исчисление предложил норвежский математик К.Вессель (1745–1818), хотя его работы остались вне поля зрения современ- ников. Поэтому творцами векторной алгебры считают английско- го математика В. Гaмильтoна (1805–1865), немецкого математика Г. Грассмана (1809–1887). Современный вид векторное исчисление приобрело в конце XIX ст. в трудах американского физика и мате- матика Дж. Гиббса (1839–1903) и aнглийcкoro физика О. Xeвиcaйдa (1850–1925). С конца ХІХ века векторная алгебра и векторный ана- лиз стали надежным инструментом математиков и физиков.

Введение в математику координатного метода связывают с французскими математиками Р. Декартом (1596–1650) и П. Фер- ма (1601–1665). И хотя исторически первым к идее характеризо- вать точки плоскости с помощью пар чисел – координат – пришел П. Ферма, первым опубликовал и активно пропагандировал ко- ординатный метод именно Р. Декарт. Ему и отдают первенство открывателя аналитической геометрии. Р. Декарт четко сформу- лировал идею моделирования геометрических образов алгебраи- ческими средствами и с помощью своего метода дал решение не- скольких классических задач геометрии.

Как ни странно, координатный метод в пространстве стали при- менять лишь через сто лет. Первым, кто постоянно и широко исполь- зовал координаты в стереометрии, был французский математик А. Клеро (1713 – 1765). Швейцарский математик Л. Эйлер (1707 – 1783), долгое время работавший в Петербурге, составил близкий к современному курс аналитической геометрии пространства.

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Ранее рассматривались элементарные методы исследования функций — математических моделей многих реальных процессов и явлений. В этом разделе мы познакомимся с новыми методами исследования функций — методами дифференциального исчисления. Методы дифференциального исчисления дают возможность сводить изучение сложного процесса к более простому — равномерному, находить его скорость и ускорение, определять условия оптимального протекания процесса, оце-

нивать допущенные погрешности, строить графики и т. п. Особое внимание в данном разделе будем уделять закреплению и развитию навыков «чтения» и построения графиков функций. Использование производной позволит точнее изображать графики функций. Будем решать прикладные задачи, в частности, на нахождение наибольшего и наименьшего значений функций. Производную будем использовать для исследования и решения уравнений и неравенств.

Готовимся к изучению темы «Производная и ее приложения»

Изучение темы «Производная и ее приложения» целесообразно начать с обзора основных классов функций, изучавшихся ранее, их свойств и графиков, общих свойств функций, построения и чте- ния их графиков. Для подготовки к изучению темы важнейший материал приведен в виде таблиц.

Линейная функция