978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

3. Корни уравнения x3 + 3x = а — это абсциссы точек пересече-

ния графика функции y = x3 + 3x и прямой у = а. Из рис. 109 и 110

видим, что прямая у =а пересекает график функции в единствен- ной точке лишь при a = ±4. Итак, при a = ±4 уравнение имеет единственный корень. g

99 Контрольные вопросы

1°. На рис. 111, а)–б) изображены графи- кифункцийу=f(x) иу=g(x).Укажите

свойства, общие для этих функций, и свойства, которыми они отличаются.

2. Известно, что f ′(x)= 2x – 1. Какой из графиков функций, изображенных на рис. 112, а)–в), является графиком функции у = f(x)?

3.Постройте график какой-либо функции, удовлетворяющей условиям:

а) f ′(x) < 0 при x < 0, f ′(x) > 0 при x > 0, f ′(0) = 0;

б) f ′(x) > 0 при x < 0, f ′(x) < 0 при x > 0, f ′(0) не существует;

в) f ′(x) < 0 при x ≠ 0; f ′(0) = 0.

4.Какой из графиков, изображенных на рис. 113, а)–д), являет- ся графиком функции: а) y = x3 − x ; б) y = x3 + x ?

4. Наибольшее и наименьшее значения функции

Решение многих практических задач сводится к установлению условий, при которых исследуемая величина достигает своего наибольшего или наи-

меньшего значения.

Например, какие размеры должен иметь ящик, чтобы при опре- деленном количестве материала, израсходованного на его изго- товление, объем ящика был наибольшим? Как из круглого бревна изготовить прямоугольную балку с наименьшими затратами мате- риала? На какой высоте над центром круглой площади нужно под- весить фонарь, чтобы освещение было наилучшим? Как выполнить определенную работу за кратчайший срок?

Подобные задачи решаются с помощью производной. В первую очередь уточним понятие наибольшего и наименьшего значений функции.

Пусть функция у = f(x) определена на некотором промежутке и х0 — точка из этого промежутка.

Значениефункцииу= f(х) вточкех0 называютнаиболь-

шим значением функции на промежутке, если оно не меньше любого другого значения функции на нем.

Следовательно, если f(x0) — наибольшее значение функции на некотором промежутке, то для всех х из этого промежутка выпол- няется неравенство f(x) ≤ f(x0).

Значение функции у = f(х) в точке х0 называют наи-

меньшим значением функции на промежутке, если оно не больше любого другого значения функции на нем.

Следовательно, если f(x0) — наименьшее значение функции на некотором промежутке, то для всех х из этого промежутка выполняет-

ся неравенство f(x) ≥ f(x0).

Например, наибольшее значение функции

у = f(x), график которой изображен на рис. 114, на промежутке [–2; 4] равно f(1) = 3, а наи-

меньшее равняется f(–2) = 1.

!Обратите внимание на то, что при определении наи­ большего и наименьшего значений функции на проме­ жуткемысравнивалиих со всеми значениямифункции на этом промежутке. В то же время при определении

точки экстремума мы сравнивали значение функции в точке экстремума только со значениями функции из некоторой окрестности этой точки.

Если непрерывная функция возрастает на некотором отрезке [а; b], то наибольшее значение она принимает в точке b, а наи- меньшее — в точке а (рис. 115, а). Если непрерывная функция убывает на некотором отрезке [а; b], то наибольшее значение она принимает в точке а, а наименьшее — в точке b (рис. 115, б).

Если непрерывная функция не является монотонной на отрезке, то наибольшее или наименьшее значение она принимает не обяза- тельно на его концах. Наибольшее значение функция принимает или в точке максимума, или на концах отрезка (рис. 116), а наи- меньшее — или в точке минимума, или на концах отрезка (рис. 117).

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения дифферен- цируемой функции на заданном отрезке, достаточно:

1)найти точки, в которых производная функции равна нулю;

2)выбрать из них те, которые принадлежат заданному отрезку;

3)вычислить значение функции в этих точках и на концах от- резка;

4)среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Пример 8. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-

ции f(x) = x3 + x2 + 4x + 2 на отрезке [–1; 2].

 Найдем производную функции:f′(x) = 3x2 + 2x + 4. Полученный квадратный трехчлен везде принимает положительные значения, то есть f′(x) >0. Функция возрастает на промежутке [–1; 2]. Следова- тельно, f(–1) = –2 — ее наименьшее значение, аf(2) = 22 — наиболь- шее на отрезке [–1; 2].g

Ответ. 22 и –2.

Пример 9. Материальная точка движется прямолинейно по закону x = t3 – 12t + 10. Найти наибольшую и наименьшую координаты точки на промежутке времени [0; 4].

 Найдем производную функции: х′(t)= 3t2 – 12. Нулями про- изводной функции являются точки t1 = –2 и t2 = 2. Однако лишь одна из них, t = 2, принадлежит отрезку [0; 4]. Вычислим значе- ние функции на концах отрезка и в точке t2 = 2: x(0) = 10, x(4) = 26, x(2) = –6. Наибольшая координата точки равна х(4) = 26, наимень- шая равна х(2) = –6. g

Ответ. 26 и –6.

При решении прикладных задач сначала перево- дят задачу на язык математики, то есть строят ее математическую модель. Как известно, математи-

ческое моделирование состоит из трех этапов:

1)выбор или построение математической модели для описания данной задачи;

2)исследование построенной модели, то есть решение матема- тической задачи;

3)содержательное толкование результатов исследования и установление соответствия полученного результата цели иссле- дования.

Внашем случае для построения математической модели пред- ложим такую последовательность действий.

1.По условию задачи выделить величину, которую следует оп- тимизировать.

2.Выбрать удобную переменную, которая может быть аргумен- том функции, описывающей исследуемую величину.

3.Найти аналитическое выражение для функции.

4.Из условия задачи найти промежуток, на котором исследует- ся полученная функция.

Так завершается первый этап математического моделирования: данная задача сводится к нахождению наибольшего или наимень- шего значения функции на некотором промежутке. С помощью производной или другими средствами (используя возрастание или убывание функции или свойства квадратичной функции и т. п.) ре- шают полученную задачу. После этого выясняется, какое реальное содержание имеет результат, полученный в терминах функций.

Приведем примеры применения описанного метода.

Пример 10. В отделе упаковки посылок принимают ящики, если сумма их длины и обхвата не превышает 150 см. Найти размеры ящика с двумя квадратными стенками, удовлетворяю- щего этому требованию и имеющему наибольший объем.

 Математической мо- делью ящика для посылок (рис. 118, а) является пря- моугольный параллелепи-

пед (рис. 118, б). Оптимизи- ровать объем ящика — это значит выяснить, при ка-

ких значениях х и l, удов- летворяющих условию, объем параллелепипеда будет наибольшим. Как

известно, объем V прямоугольного параллелепипеда с квадрат- ной гранью равен: V = x2 l. По условию задачи, 4х + l = 150. Отсю- да l = 150 – 4x. Подставив полученное выражение для l в формулу для нахождения объема, получим функциональную зависимость:

V = x2(150 – 4x), где 0 < x < 1504 = 37,5 . Таким образом, необходимо

найти наибольшее значение функции V = 150x2 – 4x3 на интерва- ле (0; 37,5). Найдем по приведенной схеме наибольшее значение этой функции на отрезке [0; 37,5]. Производная исследуемой фун- кции равна: V ′ = 300x – 12x2. Производная принимает нулевое значение при х = 0 и х = 25. Поскольку V(0) = V(37,5) = 0, а V(25) = = 252 50 = 31250, то наибольшее значение на отрезке [0; 37,5], а поэтому и на интервале (0; 37,5) функция принимает при х = 25. Следовательно, оптимальные размеры ящика: (25×25×50) см. g

Ответ. (25×25×50) см.

задача: найти наибольшее значение функции S = a2(1 + cos x)sin x

3. Таким образом, доски нужно соединить друг с другом под углом 120°. g

Ответ. Соединить доски под углом 120°.

99 Контрольные вопросы

1°. На рис. 120 изображен график функции у = f(x). Укажите наи- большее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; 2]. 2°. Обязательно ли наибольшее зна- чение функция принимает в точ- ке максимума?

3°. Среди функций, графики кото- рых изображены на рис. 121, а)–г), укажите ту, которая наи-

меньшее значение принимает в точке минимума, а наиболь- шее — на одном из концов отрезка [a; b].

4.Известно, что f ′(x) < 0 на промежутке [–1; 2]. В какой точке промежутка функция принимает наибольшее значение?

5.Производная функции у = f(x) имеет вид f ′(x) = x(x + 2). В ка- ких точках следует вычислить значения функции у = f(x), что- бы найти ее наибольшее и наименьшее значения на проме-

жутке [–3; –1]?

6.Существует ли функция, у которой наиболь- шее и наименьшее значения совпадают? График производной функции у = f(x) изо-

бражен на рис. 122. В какой точке функция (x) принимает наименьшее значение?

Задачи

157.Докажите, что функция y = f (x) возрастает в своей области оп- ределения, если: 1°) f (x) = x3 + 2x + 1; 2) f (x) = 1 + 2x + sin x .

фик ее производной изображен на рис. 124. Укажите проме- жутки возрастания и убывания функции y = f (x) .

ный корень.

163.Нарис.125,а)–б)изображенграфикфункцииy = f (x) .Найдите: 1°) интервалы, на которых производная данной функции положительна; 2°) интервалы, где производная отрицательна;

3°) точки, в которых производная равна нулю; 4°) точки экстремума функции; 5) точки, в которых производная не существует.

9) y = 4xex .

165.Докажите, что не имеет точек экстремума функция:

4) у = х4 – 2х2 + 1; 5) у = 2х4 – 8х; 6) у = х3(3х – 4).

168.Материальная точка движется прямолинейно по закону

x = (t − 3)3 (t −1) −1, где х — координата, t — время (t ≥ 0).

1) Постройте график скорости движения точки.

2) Постройте график закона ее движения.

169*. Сколько корней имеет уравнение х3 – 6х2 + 9х = 4?

172. Материальная точка движется вдоль координатной прямой по закону x = − 32 t3 + 32 t2 + 2t − 5, t ≥ 0. Найдите:

1) наибольшую и наименьшую координаты точки за первые две секунды движения; 2) наибольшую и наименьшую скорости точки за первую се- кунду движения.

173*. Из имеющегося материала можно сделать забор длиной 320 м. Опреде- лите:

1) как этим забором огородить пря- моугольный участок наибольшей площади, использовав с одной сторо- ны стенку здания (рис. 128, а);

2) как этим забором огородить стади- он, являющийся прямоугольным полем с полукруговой об-

ластью, присоединенной к одной из его сторон (рис. 128, б), чтобы площадь стадиона была наибольшей?

174*. Какими должны быть размеры закрытой коробки с квадрат- ным основанием, если объем ее должен равняться V и на ее изготовление необходимо потратить наименьшее количест- во материала?