Добавил:

quantum researchgate.net Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский государственный экологический университет

Предмет:

Алгебра и начала анализа

Файл:

978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2018

Размер:

10.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 4847 48 > Следующая >>>

Выборочный метод в статистике

461

п овец, среди которых m оказываются клеймеными. Вычи- слите приближенно количество N овец в отаре.

408. После экспериментальной проверки некоторого лекарства на животных было высказано предположение, что его эф- фективность составляет 80 %. Дальнейшую проверку прово- дили на людях. Случайно отобрали 100 больных. Оказалось, что для 75 из них лекарство было эффективным. Примите решение относительно гипотезы о 80-процентной эффектив- ности исследуемого лекарства.

Итог

Основные понятия

Определение

Символическая запись

Средним арифметическим п

значений х1, х2, ..., хп называется

x =

x1 + x2 + ... + xn

частное от деления суммы этих

значений на их количество п.

Мода — это варианта, которая

Мо = xm, где nm

— наибольшее

чаще всего встречается в совокуп-

из чисел n1, n2, …, nk

ности данных.

Медиана — это значение при-

x ,x

,...,x

m+1

m+2

,...,x

2m+1

знака, делящее всю совокупность

1 2

m а

данных пополам.

Ме = хm + 1.

x1 ,x2 ,...,xm ,xm+1 ,...,x2m

m а

Me =

xm + xm+1

Размах — это разность между

максимальным и минимальным

w = xmax – xmin

значениями в совокупности дан-

ных.

1	Готовимся к тематическо-
	му оцениванию по теме
	«Элементы теории веро-
	ятностей и математиче-
	ской статистики»


	Задания для самоконтроля
??

1°.	Какие из следующих действий можно считать случайными
	экспериментами:
	а) изготовление атомной подводной лодки;
	б) выращивание семян какой-то культуры;
	в) бросок мяча в корзину;
2°.	г) поступление юноши в высшее учебное заведение?
	Правильный игральный кубик подбросили 20 раз. Получили
	такие результаты: 5, 2, 2, 1, 6, 6, 1, 3, 5, 2, 2, 4, 3, 1, 1, 6, 4, 2, 5, 3.
	а) Чему равна относительная частота события «выпало 3 очка»?
	б) Какое событие происходило чаще: «выпало 5 очков» или
	«выпало 1 очко»?
	в) Чему равна относительная частота события «выпало менее
3°.	четырех очков»?
	Относительная частота пар проданной в магазине в определен-
	ный день обуви для взрослых по отношению к общему числу пар
	проданной обуви равна 0,6. В этот день продали 24 пары дет-
4.	ской обуви. Сколько всего пар обуви продали в этот день?
	Правильный игральный кубик подбросили шесть раз. Полу-
	чили такие результаты: 3, 1, 3, 6, 2, 4. Можно ли по этим дан-
	ным оценить вероятность события:
	а) выпало три очка;	б) выпало пять очков?
5°.	Вероятность события А в некотором эксперименте равна 1 .
		6
	Можно ли утверждать, что в 600 таких же опытах событие А
6.	произойдет ровно 100 раз?
	Для контроля за качеством продукции, изготовленной на
	данном станке, отбирают для проверки 200 изделий. Провер-
	ку не выдерживают в среднем три изделия. Как оценить веро-
	ятность выпуска пригодной детали данным станком:
	а°) в данное время;	б) после его переналадки?

Готовимся к тематическому оцениванию по теме

463

7.Как оценить вероятность рождения девочки в Киеве?

8.Из урны, содержащей белые и красные шары, извлекают пять шаров. Какие из приведенных событий являются парами про- тивоположных событий:

а) извлекли хотя бы один белый шар; б) извлекли более одного белого шара; в) среди извлеченных шаров белых нет; г) извлекли один белый шар?

9.Будут ли равновозможными такие исходы экспериментов: а) правильный тетраэдр с номерами 1, 2, 3, 4 на гранях упал на грань с номером 1; с номером 2; б) трехгранная линейка с номерами 1, 2, 3 на гранях упала на

грань с номером 1; с номером 2; с номером 3?

10.Из полного набора домино — 28 камней — наугад извлекает- ся один. Равновозможны ли исходы:

а) сумма очков равна 6 и 9; б) сумма очков равна 8 и 4? Как проверить предположение о равновозможности исходов опыта?

При проведении эксперимента можно получить шесть равно- возможных исходов, взаимно исключающих друг друга. Чему равна вероятность события, происходящего:

а) только при одном исходе; б) при любом из двух фиксированных исходов;

в) при любом, кроме одного, исходе?

При проведении эксперимента происходят равновозможные исходы, взаимно исключающие друг друга. Вероятность собы- тия, наступающего при любом из двух фиксированных исхо- дов, равна 0,1. Чему равняется:

а) вероятность каждого из исходов; б) количество всех исходов?

Вероятность некоторого события равна 0,43. Опыт, в котором наступает это событие, проведен 500 раз. Сколько примерно раз наступило это событие в проведенных опытах?

Сколько существует двузначных чисел, у которых обе цифры четные?

Сколько существует двузначных чисел, у которых обе цифры имеют различную четность?

У одного учащегося 7 книг по математике, у второго — 9 де- тективов. Сколькими способами можно обменять одну книгу первого ученика на одну книгу второго?

Для какого значения накопленная частота совпадает с его ча- стотой?

464	Раздел7.Элементытеориивероятностей иматематическойстатистики
19. На рисунке изображен поли-
	гон частот, построенный по
	значениям массы m (в грам-
	мах) случайно отобранных бу-
	ханок хлеба, изготовленных
	в течение одного дня в одной
	пекарне.
	а°) Сколько отобрали буханок хлеба?
	б) Запишите вариационный ряд, по которому построен поли-
	гон частот.
	в°) Чему равна мода совокупности?
	г) Вычислите среднюю массу отобранных буханок хлеба.
	д) Можно ли принять эти выборочные характеристики за
	оценки соответствующих характеристик массы буханок хлеба,
	выпекаемых в этой пекарне? Ответ обоснуйте.

Ответы к заданиям для самоконтроля

1. б), в). 2. а) 0,15; б) «выпало 1 очко»; в) 0,6. 3. 60. 4. а) Нет; б) нет. 5. Нет. 6. а) ≈0,15; б) собрать новые данные о качестве изделий. 7. По статистичес- ким данным о поле рожденных в течение достаточно длительного времени. 8. а) и в). 9. а) Да; б) нет. 10. а) Нет; б) нет. 11. Экспериментально.

12. а) 16 ; б) 13 ; в) 56 . 13. а) 0,05; б) 20. 14. ≈ 215. 15. 20. 16. 45. 17. 63. 18. Для наибольшего. 19. а) 12; б) см. табл.

775	785	815	825	840	845	880
1	2	3	2	1	1	2

в) 815; г) ≈ 824 г; д) нет, так как объем выборки небольшой.

Образец контрольной работы №7

Урна содержит 25 шаров, среди них — 4 белых, 6 черных, 5 красных, остальные — голубые. Из этой урны 40 раз наугад извлекают шар, каждый раз возвращая его назад и тщательно перемешивая шары. При этом в 6 случаях извлеченный шар оказался белым, в 10 — чер- ным, в 7 — красным, в остальных случаях — голубым.

1°)Найдите вероятность того, что при некотором извлечении поя- вится красный шар; голубой шар.

2°) Найдите относительную частоту этих событий.

3) Оцените близость вероятностей и относительных частот этих событий.

4) Найдите вероятность того, что при извлечении наугад двух ша- ров оба окажутся красными.

5) По результатам опытов постройте вариационный ряд, полигон частот, укажите моду.

Готовимся к тематическому оцениванию по теме

465

Понятие вероятности события

Таблица 64

Определение Символическая запись


Если относительная частота события от се-			P( A) ≈ ν( A) .
рии к серии из большого числа опытов ко-
леблется около некоторого числа, то такие
опыты называют статистически устой-
чивыми, а число, около которого колеблется
относительная частота события, принимает-
ся за вероятность этого события.
Вероятностью события А называют отноше-			P( A) = N( A) .
ние числа исходов опыта N(A), приводящих
к наступлению этого события, к общему чи-			N
слу N равновозможных исходов опыта.
		Элементы комбинаторики	Таблица 65

Название		Содержание утверждения
утверждения

Комбинаторное		Если объект А можно выбрать m способами
правило		и если после каждого такого выбора объект В
умножения		можно выбрать n способами, то выбор пары
		(А, В) можно осуществить m n способами.
Комбинаторное		Если некоторый объект А можно выбрать m спо-
правило		собами, а другой объект В можно выбрать n спо-
сложения		собами, причем ни один из способов выбораА не
		совпадаетскаким-тоспособомвыбораВ,товыбор
		«А или В» можно осуществитьm + n способами.
Выборочный метод в статистике
			Таблица 66
Вариационный	Упорядоченная совокупность различных элемен-
ряд	тов вместе с их частотами.
Генеральная	Набор объектов, о которых необходимо получить
совокупность	информацию.
Выборка	Набор объектов, которые извлекаются из гене-
	ральной совокупности.
Основные зада-	Оценивание неизвестных параметров совокуп-
чи статистики	ности, проверка статистических гипотез.

 Исторический комментарий

Задачи и проблемы, существенно повлиявшие на зарождение и первые шаги развития теории вероятностей, возникали при обра- ботке статистических данных и результатов наблюдений в различ- ных науках, из практики страховых компаний, в связи с анализом азартных игр. Статистические закономерности исторически первы- ми привлекли внимание ученых, стремившихся выяснить сущность азартных игр, — таких, как игра в кости, «орлянку».

Классическое определение вероятности предложил П. Лаплас в начале XIX ст. Фактически таким определением пользовались раньше в своих трудах Г. Галилей, Б. Паскаль, П. Ферма, X. Гюй- генс, Я. Бернулли, Т. Байес и другие ученые.

Некоторые элементы комбинаторики были известны еще во ІІ ст. до н.э. Термин «комбинаторика» впервые ввел Г. Лейбниц (1646–1716). К началу ХХ ст. комбинаторика считалась практи- чески завершенным разделом математики. В последнее время роль комбинаторики выросла в связи с развитием теории вычи- слительных машин, теории информации, изучающей методы оп- тимальной кодировки, декодирования и передачи информации.

Известными исследователями в области математической ста- тистики были С.Н. Бернштейн (1880–1968), А.Я. Хинчин (1894– 1959), Е.Е. Слуцкий (1880–1948), В.И. Романовский (1879–1954), А.М. Колмогоров (1903–1992), М.В. Смирнов (1900–1966).

Большой вклад в развитие теории вероятностей и математи- ческой статистики внесли украинские математики В.Я. Буняков ский (1804–1889), М.В. Остроградский (1801–1862), Б.В. Гнеденко

(1912–1996), М.Ф. Кравчук (1892–1942), И.И. Гихман (1918–1985),

В.С. Королюк (род. 1925), А.В. Скороход (1930–2011), М.И. Ядрен- ко (1932–2004) и многие другие.

 Ответы и указания к задачам

Раздел І

1. 1) 1; 2) 8; 3) 125. 2. 1) х; 2)											x2	5 ; 3)						y2		7 ; 4)			1	; 5) m; 6) n1,5; 7) 64; 8) 3; 9) 4.
																							y
3.1)8,82и8,88;8,82и8,83.4)8,82.7.1) R; (−1; + ∞);																									2) R; {1};				3) 0; + ∞);							0; + ∞).
									1 ; 4) 1;						1
8. 1) 27; 3; 2) 2; 0,25; 3) 27;															1			. 9. 1) см. табл.
8. 1) 27; 3; 2) 2; 0,25; 3) 27;														16				. 9. 1) см. табл.
									3					16
		х		–3		–2,5					–2									–1,5					–1				–0,5								0
		у		–0,432		–0,424					–0,410							–0,391							–0,361				–0,317							–0,25
		х		0,5		1					1,5									2					2,5						3
		у		–0,15		0					0,225								0,563						1,07			1,83
	3) (1; 0);			(0; 0,25); 4) х (–∞; 0]. 10. 1) ≈2,50; ≈2,50 м/с; 2) ≈2,50; ≈0,00 м/с.
11.		≈ 88,4; ≈ 22,1; ≈ 1,97 10−28									г.	12.					1) −			1	; 2) {2};					3) {−1; 7}.							13. 1) (−∞; 0);
	2) (−∞; 2); 3) − 1 ; + ∞																			3
	2) (−∞; 2); 3) − 1 ; + ∞						; 4)		0; + ∞). 14. 2)												2 ; 2; 8; 3) (0; 4), ось у не пересека-

				3								7							7																				1
ет, (1; 2); 4) R; (0; +∞); 5) 8; 1; 6)												7	;			−∞;			7		; 7) a > 1; 8) (−∞; 0) . 15. 2)																3	;	1	;
ет, (1; 2); 4) R; (0; +∞); 5) 8; 1; 6)												3	;			−∞;					; 7) a > 1; 8) (−∞; 0) . 15. 2)																3	;	3	;
												3					1		3																				3
27; 3) (0; 3), ось у не пересекает,														2;			1		; 4) R; (0; +∞); 5) 27; 1; 6)															5	;		−∞;		5	;
27; 3) (0; 3), ось у не пересекает,														2;					; 4) R; (0; +∞); 5) 27; 1; 6)															4	;		−∞;		4	;
																	3																	4					4
7) a > 1; 8) (−∞; 1) . 16. 1)								1		;	2)	1		;		3) 1				; 4)		1		;	5)	1			; 6)				1			;	7)		49 ;
							125					64						a				c10				(mn)4						(a −1)5							9
8)		27	. 17. 1) 5–3; 2) 6–1; 3) a–5; 4) b–4; 5) 9–1; 6) 10–3; 7) 10–1; 8) 10–2. 18. 1) 3–21 <																																		1	−21		;
8)		8																																						;
		8																																			3
				1	21								1										1			1				4
2) 3–21 > 4–21; 3)						= 3–21. 19. 1)										; 2) 0,8; 3)									; 4)		; 5)						. 20.		1) 4; 2) 0;
2) 3–21 > 4–21; 3)						= 3–21. 19. 1)							3			; 2) 0,8; 3)								9	; 4)	121	; 5)			3			. 20.		1) 4; 2) 0;
				3									3											9		121				3
3) –3; 4)				2 ; 5) –2; 6) 3; 7)						2	; 8)	−		3			; 9)			−	3 ; 10) 1,5. 22. 1) 12; 2) 3; 3) 5; 4) 7;
				3										4							2							1 . 25. 1)
5) 9. 23. 1) 32; 2) 125; 3)							7 ; 4) 2. 24. 1) 1; 2) 144; 3)																			5 ; 4)		1 . 25. 1)								3 ; 2) 25;
																												9			8 ; 5) 3; 6) 0,75.
3) 7; 4) 6 . 26. 1) 216; 2) –3; 3) 25; 4) 16,5. 27. 1) 3; 2) 1; 3) 5; 4)																															8 ; 5) 3; 6) 0,75.
																															3

468 Ответы и указания к задачам

28.

1) 2; 2) 3; 3) 2; 4) 2; 5) 2. 29. 1) 1,23; 2) 2,10; 3) 1,06; 4) –0,329; 5) 3,402;

6) –1,316. 30. 1)

≈ 2,322; 2)

≈ 7,604; 3) ≈ 6,931; 4)

≈ 1,107; 5) ≈ –1,955; 6) ±

1,622.

31.

1) 7 + 5 lg x ≈ 7,41;

2) 3 + 2,5 log3 x ≈ 3,43;

3) 2,5 ln x − 4 ≈ −3,52. 32.

2) –4;

≈10,6; 3) 0,1. 33. 1) Через 1,42 с; 2) через 2,01 с. 34. 152. 35. Через 9.

36.

h = H ln

. 37. 1) (−3; + ∞);

2) (−∞; + ∞)

;

3) (−1; 1);

4) (0; 1 ;

5) (0; + ∞);

6) (1; + ∞).

38. 1) +; 2) –; 3) –; 4) +. 39. 1) log5

2) log3

7 > log3 2,6;

< log5 11 ;

3) log0,2 4,21 < log0,2 4,19;

4) log0,9 e > log0,9 p.

40. 1) c < b < a; 2) b < a < c.

41.

1) (3; + ∞);

1 ; + ∞ ;

3) (0; 2); 4) 4; + ∞);

5) (−∞; −3) (3; + ∞);

; 0

1) (0; + ∞); 2) (– ∞; 0) (0; + ∞); 3) при всех х, кроме 0

−

. 42.

и ±1; 4) (0; 1) (1; + ∞). 43. 1) 0; –1; 2) 0; –1. 45. 1) (–1; + ∞); (–∞; + ∞); 2) (0; 0);

4) через точку А проходит, через точку В – нет; 5) 2. 46. 1) −1 ± 2 ; 2) 2 и 5;
3) 3. 47. 1) (– ∞; 1,5); 2)		1		; 3) (– ∞; –1,5) (–1; + ∞); 4) (– ∞; –1) (0; + ∞).
	−	3	;1

48. 1) (–1; + ∞); 2) (– ∞; 0] (2; + ∞); 3) [1; 2]. 49. 1) –1; 4; 2) 1; 2; 3) –1; 4; 4) 0,5;
2; 5) 2; 6) 2.						50.		1) 0; 2) 0; 3) 4; 4) 3.									51.		1) 2; 2) 0,5; 3) 0; 1; 4) нет решений;
5)	log1,53.				52.			1)				1; 2)		2;	3)		–2.				53.			1)	1 ;		2) −1.	54.			1) (−2; 0);
			π			nπ																			2
		n	π			nπ										55. 1)						(5;		20736); 2) (2;				1458); 3)						(0;	5)
2)	(−1)			+				; 0		, n Z;				3) (2; 0).
2)	(−1)	12		+			2	; 0		, n Z;				3) (2; 0).
		12					2
и (1; 30); 4) (2; 16). 56. 1) (– ∞; 0,5); 2) (1;2); 3) нет решений;																													4) (log3 2; + ∞);
5) (−∞; −1) (7; + ∞).												57. 1) (0; +∞); 2)					log				2	; + ∞			;					;	4)	(−∞; 2 .
5) (−∞; −1) (7; + ∞).												57. 1) (0; +∞); 2)					log			2	2	; + ∞			;	3) −∞; log		2	2	;	4)	(−∞; 2 .
																				2	7							2
																					7							3
	1) (2; 1) ,							(log				3; log		4);	2)	−2;				1			;	3)		(3; 2) , (2; 3);						1		2
58.											2		3																	4)			;		.
58.																														4)			;		.
																		900														2		5
									2									900														2		5
59. 1) (0,5; 0);								0;	2			; 2) 1; 3) (1; +∞); 4) (–∞; 0,5). 60. 62 500. 61. ≈ 0,3 года.
59. 1) (0,5; 0);								0;	9
			3						9
62. 1) 0; −			3	;		2) нет решений;									3) 9;		4) 81; 5) 5;								6) –5. 63. 1) 0; 2) 0,0001; 10;
			2																									1
																												1
3) 3 0,25; 8;						4) 10. 64. 1) 10( 10 − 2);											2) 10; 3) 10; 0,001; 4)													, 100			, если
3) 3 0,25; 8;						4) 10. 64. 1) 10( 10 − 2);											2) 10; 3) 10; 0,001; 4)											10		, 100			, если
																												10
областью определения функции у =																	xlg x2 −3					считать множество положитель-
ных действительных чисел. 65. 1) 2																;	2)				3 . 66. 1) (2; 2 lg 2) ;							2) (3; 2), (–5; 2);
															3						2			1
																								1		; 2
3) (2; 3lg 3), (3; 3lg 2); 4) (10; 3). 67.1) 1; 2) 0,5. 68. 1)																										; 2	; 2) (−∞; − 2) (4; + ∞);
																								3

Ответы и указания к задачам																																	469
3)	1 ; 4		;			4) (2; 3) 6; + ∞).											69.		1) (−3; − 2) (3; + ∞);												2) 0,01; 10000 ;
	4
	4
3)	−3;	−	1				3		; + ∞			; 4)		3 −			5		3	+	5	; 3					10			6	; 0,1	)	; 2) (1000; 10);
3)	−3;	−							; + ∞			; 4)	0;									; 3	. 70.1)				10				; 0,1		; 2) (1000; 10);
			3												2					2						(
			3				2								2					2				1
																								1
3) (10; 1000), (1000; 10); 4) (3; 3) , (																	3; 9) . 71. 1) (1; 0),								; 0				; с осьюу не пересе-
3) (10; 1000), (1000; 10); 4) (3; 3) , (																	3; 9) . 71. 1) (1; 0),							27	; 0				; с осьюу не пересе-
																								27
				1		1				1		1					1										−		v					−	D
				1		1				1		1					1										−	v						−	D
кается; 2)				9	;	3		; 3)			;	;	4)		0;			(1; +∞)			. 72. m = m0 e								3 .		73.	p = p0 10			A.
кается; 2)					;			; 3)		9	;	;	4)		0;	27		(1; +∞)			. 72. m = m0 e								3 .		73.	p = p0 10			A.
										9		3				27
																	Раздел 2
74. 2) Например, (А; В) и (D; C); 3)																	AO, OC ; 4)				BC, CB, AD, DA, MO . 75. ≈36 км.

76. Указание. Воспользуйтесь условием равенства векторов и признаком

параллелограмма. 77. Указание. Постройте параллелограмм с вершинами А, В, С, D. Рассмотрите также случай, когда эти точки лежат на одной пря- мой. 78. 1) 12; 2) 26; 3) 26. 79. Указание. Докажите, что при параллельном

переносе треугольник переходит в треугольник, а плоскость можно считать объединением вложенных друг в друга треугольников. 80. 1) AC ; 2) CA ; 3) PQ . 81. 1) BB1 ; 2) CC1 ; 3) A1 D ; 4) D1C . 82. 1) ≈6,9 и 4; 2) 6 и 0; 3)≈9,3 и ≈3,6;

4) ≈15,4 и ≈2,3. 83. ≈34°. 84. 1) a ↑↓ b ; 2) a ↑↓ b и a ≥ b ; 3) параллелограмм

АВСD является прямоугольником; 4) соотношение между сторонами и диаго- налями параллелограмма. 85. Указание. Воспользуйтесь неравенством тре- угольника. 86. Указание. Запишите условие перпендикулярности векторов

с помощью скалярного произведения. 87. 1) а) 0; б) 2а2; в) 0; 2) a 3 ; 3) 0°.

88.2 ; 90°. 89. 1) ≈ 4,6 м/с; 2) 2,5 м/с.90. 1) 4 Н; ≈7 Н; 2) ≈7 Н; ≈4 Н; 3) ≈32 Н и

≈25Н. 91. 1) 5 2 Н, 5 Н, 5 Н; 2) 5 3 Н, 1,25 Н, 1,25 Н.92. Указание. Постройте векторы на указанных прямых и воспользуйтесь разложением вектора плоско-

сти

по

двум

неколлинеарным

векторам.

93. 1)

OB = DO =

(AB

− AD) ,

;

= AO =

(AB + AD); 2)

AB =

(AC

− BD);

AD =

(AC

+ BD),

OP =

. 94. 1)

a + c ; 2)

a +b

+ c ; 3)

b +

2 c

; 4) a +b +

2 c ; 5)

+ 2 b +

2 c

;

; 7) a . 95. 1) В четвертом; 2) –3; 3) 3; 4)

10 ; 5) (–1; –3), (1; 3); (–1; 3);

−4

6) (–3; 1). 96. 1) (4; –9); 2) (–5; –1) 3) –8 и –34; 4)

5 ;

52 ; 5) arccos

≈ 120° .

97. Указание. Одну из осей целесообразно направить вдоль подходящей сто-
роны многоугольника. 98. 1) –3; 1; 2;	2)	(–3; 1); (–3; 2); (1; 2); 3) 2; 1; 3.
99. 1) В(1; 1; 0), С(0; 1; 0); С1(0; 1; 1); 2)	0;1;	1	; 3) D; 4) М — вне, N — внутри,

		2

F — на поверхности куба. 100. Указание. Проанализируйте, какие коорди-

470 Ответы и указания к задачам

наты имеют точки указанной в условии плоскости. 101. 1) m = (–8; –1; –6);

2) –9; 3)

M(3; 4; 1). 102. (–9; 5; –2); 2) –18; 3) (4; –1; 1). 103. 1) (–28; 8; –16); 2) –1;

–7. 104. 1) (2; 2; 0); 2) (–2; 4; 0). 105. 1) (4; –1; –6); 2) –58; 3)

; −

;

−

;

. 106. 1) (–2; –1; 0); 2) (–5; –5; 1). 107. 1) (4 3; 4) ; 2)

2; 4

2 ) ;

3) (0; 8); 4)

(−4; 4 3 ) . 108. (2; −2; 2 2 ). 109. 1) 5; –2; 3); 2) (4; 7; 4); 3) (6; 5; 5).

110. 1) 4

2 , 135°; 2) да; 3) да; 4) (5; 0; 0); 5) (2 2; 2 2; 0) ; 6) (2; 0; 7). 111. 1) 6,

180°; 2) нет; 3) да; 4) (0; 9; 0); 5) (3; 0; 0); 6) (2; 3; 0). 112. 1)

10 ; 5; 2) ≈125°;

3) (9; –3; 0), (–9; 3; 0). 113. 1) Прямоугольник; 2) параллелограмм.

114. Указа-

ние.Сравнитевекторы AB иDC . 115.1)Нет;2)3;3) (x + 5)2 + (y − 2)2 + z2 = 16;

4)	(x − 3)2 + y2 + (z − 1)2					= 16. 116. 1) Да; 2)				29;	3)		x2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 9;
4)	x	2	+ ( y + 2)	2	+ (z + 3)	2	= 16.		117. 1) Нет;	2)	1					1
4)	x		+ ( y + 2)		+ (z + 3)		= 16.		117. 1) Нет;	2)		; 0; 0		, 0;		4	; 0 , (0; 0; −1);
											3					4
3)	х – 2у + 2z + 14 = 0; 4) пересекаются; 5) arccos												7		≈ 64°.			118. 1) Нет;
3)	х – 2у + 2z + 14 = 0; 4) пересекаются; 5) arccos												2 26		≈ 64°.			118. 1) Нет;
							2		3) х – у – z = 0; 4) пересекаются; 5) 90°. 119. Ука-
2) (2; 0; 0); (0; –; 0); 0; 0;							3	;	3) х – у – z = 0; 4) пересекаются; 5) 90°. 119. Ука-
							3

зание. Проверьте, что указанные точки удовлетворяют данному уравнению.

Раздел 3

120. 1)

2,1;

2,01;

2001; 2)

2. 121. 1)

км/год. 122. 54

км/год. 123. 6.

124. 1)

≈ 4,9 м/с; 30g ≈ 294 м/с; 2) ≈ 9,8 м/с; ≈ 588 м/с. 127. 1) 2; 2) – 1; 3) –3;

1) – 0.19; 2) – 7; 3) 0,1. 130. 1) 10; –6; 1; 2) x1 = 0, x2 = 2. 131. 1) 1; 2) 0;

4) 1,5. 129.

t 0 ≤ t ≤ 4,

3) –1.

132.

t =

1,5;

(1,5;

+∞).

133.

t =

1,5.

134.

+1 t > 4.

1 ; 2)

135. 1)

; 3)

. 136. 1) 135°; 2) 150°. 137. 1) y = 4x – 4; 2) y = 0; y = 2x – 1;

2 x0

3) y = –x – 1

; 4) y = –x –

. 138. 1) v

(2) > v

(2); v

(3) > v

(3); 2) равные; 3) вторая

точка изменила направление движения в момент t = 2 c; 4) [2; + ∞).

139.

1) Параллельны; 2) пересекаются. 141. Все действительные числа, кроме

х = kp, k Z. 142. 1) 2; 2) 0. 143. 1) y′ = 8x

– 15x

+ 2; 2)

′

2 + 2 − 5 ; 3) y′ =

= 4x

+ 12x

+ 2х – 2; 4)

′

5 ; 5) y

′

; 6) y′

= 15x

– 6х + 5;

= − x4

+ x2 +

2 x

+ x3

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 4847 48 > Следующая >>>