Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
14
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
4.53 Mб
Скачать

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

r

P θ

 

 

r(z)

θ'

P'

А

O

В

 

 

ξ

 

 

ξ'

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8.1

Ход лучей в собирающей линзе

31

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

точками “А” и “В” около точки z = 0 . Левее точки “А” показатель преломления равен n = n01 , правее точки “В” n = n02 , где n01,2 - постоянные. Ход луча, выходящего из точки “Р” и

приходящего в точку “Р'”, для случая собирающей линзы изображен на Рис. 8.1. Проинтегрируем уравнение (8.17) по z от точки “Р” до точки “Р'”. Имеем

n02

dr

n01

dr

= В r(z)n0′′(z)dz .

(8.18)

dz

dz

 

 

А

 

Здесь drdz и drdz - производные функции r(z) в точках “Р” и “Р'” соответственно.

Предположим теперь, что линза тонкая, т.е. размер области АВ мал по сравнению с расстояниями от точек “Р” и “Р'” до начала координат. Тогда (8.18) можно записать следующим образом:

n02

dr

n01

dr

= r0 В n0′′(z)dz ,

(8.19)

dz

dz

 

 

А

 

где r0 = r(0) . Вне линзы, поскольку среда однородная, лучи являются прямыми. Из рисунка видно, что (в параксиальном приближении)

 

dr

= tgθ =θ = −

r0

dr

= −tgθ

= −θ

= −

r0

(8.20)

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

ξ

 

dz

 

 

ξ

(надо иметь в виду, что ξ < 0 ). Подставляя (8.20) в (8.19), получаем формулу линзы

 

 

f

 

+

f

= −1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.21)

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где фокусные расстояния линзы

f

и

f

определяются формулами

 

 

1

 

= −

 

1

В n0′′(z)dz,

 

1

 

 

=

1

 

В n0′′(z)dz .

 

 

(8.22)

 

f

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

n01 А

 

 

n02 А

 

 

 

 

 

 

 

 

При f > 0 и

f ′ < 0 линза является собирающей, в чем легко убедиться, анализируя формулу

(8.21). В следующем параграфе будет показано, что по формулам (8.22) могут быть рассчитаны и фокусные расстояния электростатической линзы, применяемой для фокусировки электронных пучков.

§9. Аналогия между движением электрона в электростатическом поле

ираспространением луча в прозрачной среде

Сучетом того, что заряд электрона отрицательный запишем уравнение движения нерелятивистского электрона в электростатическом поле с потенциалом ϕ(r) в виде

m

dvr

=| e |

ϕr .

(9.1)

dt

 

 

r

 

Будем нормировать потенциал так, что он равен нулю там, где электрон имеет нулевую ско-

32

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

рость. Тогда для кинетической энергии электрона имеем

 

mv2

 

r

 

 

 

=| e | ϕ(r ) .

(9.2)

2

Из (9.2) для абсолютной величины скорости электрона находим следующее выражение:

 

 

 

2 | e |

r

 

v =

m

ϕ(r ) .

(9.3)

Из (9.3) следует, что электрон может находиться только в тех областях пространства, где

ϕ(rr) > 0 .

Предположим, что электрон из полупространства z < 0 , где потенциал ϕ(r) постоя-

нен и равен ϕ 1 , перелетает в полупространство z > 0 , где потенциал также постоянен и ра-

вен ϕ 2 . Рассмотрим, что происходит с траекторией электрона при переходе через границу раздела z = 0 (Рис. 9.1). Разложим скорость электрона на составляющие: v - составляющая нормальная к границе раздела и v|| - составляющая тангенциальная к границе раздела. По-

скольку ϕ x = ∂ϕ y = 0 , то силы тангенциальные к границе раздела z = 0 отсутствуют.

Тогда из уравнения (9.1) следует сохранение тангенциальной составляющей скорости электрона

v|| 1

= v|| 2 .

 

 

 

 

(9.4)

Нормальная составляющая меняется,

поскольку на границе z = 0 на электрон действует

мгновенная бесконечно большая сила

 

 

| e |

ϕ

 

= (ϕ 2 ϕ 1 )δ(z) .

 

 

(9.5)

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изменение полной скорости v = v2

+ v2

можно вычислить по формуле (9.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

||

 

v

=

 

 

2 | e | ϕ

1,2

.

 

 

(9.6)

1,2

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку v|| 1

= v1 sinα , v|| 2 = v2 sin β , то из (9.4) имеем

 

sinα

=

v2

.

 

 

 

 

(9.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

sin β

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

И, наконец, подставляя (9.6) в (9.7), находим следующий закон преломления электронных траекторий на границе скачкообразного изменения электростатического потенциала:

sin α

=

ϕ 2

.

(9.8)

sin β

ϕ 1

 

 

 

Вспомним теперь закон преломления луча света в оптике при переходе луча из одно-

родной среды с постоянным показателем n1 в однородную среду с постоянным показателем

33

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ϕ = ϕ 1

 

ϕ = ϕ 2

 

v

vr

 

|| 1

2

 

 

v 2

 

β

z

 

α

 

v

vr

 

|| 1

1

 

v 1

z=0

Рис. 9.1

Преломление траектории электрона при переходе через скачок потенциала

34

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

преломления n2 (закон Снеллиуса). Если α - угол падения луча на границу раздела сред, а

β - угол преломления, то имеет место соотношение

sinα

=

n2

.

(9.9)

sin β

 

 

n

 

 

1

 

 

Сравнивая формулы (9.8) и (9.9), замечаем аналогию между движением электрона в электростатическом поле с потенциалом ϕ(r) и распространением светового луча в среде с показа-

телем преломления n(rr) . Роль коэффициента преломления в электростатике играет корень квадратный из электростатического потенциала. Правда доказано это пока только для резких границ раздела потенциалов и сред.

Перейдем к рассмотрению общего случая плавного изменения электростатического потенциала. В статическом поле траектория частицы стационарна в том смысле, что все частицы, вылетающие из одной точки с одной и той же скоростью, движутся по одинаковым траекториям. Если известен закон движения частицы r = r(t) , то уравнение траектории по-

лучается переходом от времени t к натуральному параметру l - расстоянию вдоль траекто-

рии от ее начальной точки. Из уравнения drrdt = vr , взятого по модулю, следует связь между дифференциалами

dt =

1

dl .

(9.10)

 

 

v

 

Заметим, что если имеет место соотношение (9.3), то v > 0 и каких-либо ограничений на использование соотношения (9.10) нет. Переходя при помощи (9.10) в уравнении (9.1) от переменной t к переменной l , преобразуем это уравнение к виду

 

 

d

 

 

drr

 

 

mv

 

 

v

 

 

=| e | grad ϕ .

(9.11)

 

 

dl

 

dl

 

 

 

Подставляя в (9.11) скорость v

из (9.3), получим следующее дифференциальное уравнение

для траектории электрона rr(l) в электростатическом поле:

d

 

ϕ

drr

= grad ϕ .

(9.12)

 

 

 

 

dl

 

 

dl

 

 

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (8.14), видим их полную идентичность. При этом роль показателя преломления n(r) в оптике, в электростатике играет функция

ϕ(rr) . Уравнение (9.12) является основным уравнением электронной оптики. Заметим, что оптика электронов в электростатическом поле открывает принципиально новые возможности в сравнении с обычной оптикой световых лучей. В обычной оптике показатель преломления прозрачных сред изменяется в пределах нескольких единиц (у стекла n 1.5 , а у алмаза n 2.5 ). Кроме того, показатель преломления можно изменить, только заменив среду. В

35

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

электронной оптике “показатель преломления” ϕ(rr) определяется потенциалом электро-

дов, создающих поле. Поэтому величина ϕ(rr) может меняться в самых широких пределах,

причем в одном и том же устройстве.

Используем уравнение (9.12), точнее его аналогию с уравнением (8.14), для расчета фокусного расстояния тонкой центрированной электростатической линзы. Такую линзу можно осуществить с помощью двух соосных полых металлических цилиндров: левый ци-

линдр с потенциалом ϕ 1 расположен в области левее точки “А” (см. Рис. 8.1), правый ци-

линдр с потенциалом ϕ 2 расположен правее точки “В”. В области между точками “А” и “В”

имеется неоднородное электростатическое поле, обладающее фокусирующим воздействием на электроны. Траектория электрона вполне аналогична лучу света, изображенному на Рис. 8.1.

Принимая во внимание аналогию с геометрической оптикой, воспользуемся форму-

лами (8.22), в которых n01 =

 

ϕ 1

, n02

= ϕ 2

. Учтем также, что оси симметрии системы име-

ет место равенство (ϕ r)r=0

= 0 , поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

2

ϕ

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

ϕ

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

2

 

 

ϕ

r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r=0

2

 

r=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда из формул (8.22) имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

+∞

1

2ϕ

 

 

1

 

1

+∞

1 2ϕ

 

 

 

= −

 

 

 

 

2

 

dz,

 

=

 

 

 

2

 

dz .

(9.13)

f

 

ϕ

r

 

f

 

ϕ r

 

 

2 ϕ

1 -

 

r=0

 

2 ϕ 2 -

 

r=0

 

 

Пределы интегрирования в (9.13) взяты бесконечными, поскольку потенциал изменяется (в отличие от обычной оптики) и вне области между точками “А” и “В”. Преобразуем формулы (9.13) к более удобному виду. Электростатический потенциал ϕ удовлетворяет уравнению Лапласа

2ϕ

+

2ϕ +

2ϕ

= 0 .

(9.14)

z2

 

 

x2

y2

 

 

 

 

Из-за осевой симметрии системы на оси выполнены равенства 2ϕ x2

= ∂2ϕ y2 = ∂2ϕ r2 (*).

Поэтому из (9.14) следует, что

 

 

2

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

ϕ

 

= −

ϕ

 

(9.15)

 

2

 

 

 

r

 

2

 

z

2

.

 

 

r=0

 

 

r=0

 

Подставляя (9.15) в (9.14) для фокусных расстояний тонкой электронной линзы получаем

(*) Поскольку исходное уравнение (9.1) записано в декартовых координатах, то r не является цилиндрической координатой (!), а только обозначает любую из декартовых координат поперечных к оси z . Т.е. r имеет знак: r > 0 - выше оптической оси, r < 0 - ниже. При смене знака у r(z) изображение перевертывается.

36

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

следующие выражения:

1

 

1

+∞

1 2ϕ

 

1

 

1

+∞

1 2ϕ

 

 

 

=

 

 

 

2

 

dz,

 

= −

 

 

 

2

 

dz .

(9.16)

f

 

ϕ z

 

f

 

ϕ z

 

4

ϕ 1 -

 

r=0

 

 

4 ϕ 2 -

 

r=0

 

 

Если при

x → ±∞ выполнены условия (ϕ x)r=0

= 0

(это имеет место в случае линзы, со-

стоящей из двух соосных полых металлических цилиндров), то в (9.16) целесообразно выполнить интегрирование по частям, что дает

1

 

1

+∞

 

 

ϕ

2

 

 

1

 

1

+∞

 

 

ϕ

2

 

 

 

=

 

3 2

 

 

dz,

= −

 

3 2

 

 

dz .

(9.17)

f

 

ϕ

 

 

 

 

 

f

 

ϕ

 

 

 

 

 

 

8 ϕ 1 -

 

 

z

 

r=0

 

 

8 ϕ 2 -

 

 

z

 

r=0

 

 

Поскольку

f > 0

и

f ′ < 0 , то тонкая электростатическая линза является собирающей. В

обычной оптике тонкие линзы могут быть как собирающими, так и рассеивающими. Используя набор тонких электростатических линз (толстая линза) можно получить и эффект рассеяния электронов.

§ 10. Строгая теория параксиальных аксиально-симметричных электронно-оптических систем

Помимо фокусных расстояний электронно-оптическая система характеризуется коэффициентами линейного и углового увеличения, а также рядом соотношений общего характера. Все это может быть получено на основании аналогии с геометрической оптикой световых лучей. Мы же проведем соответствующее рассмотрение, основываясь на электроннооптическом уравнении (9.12).

Запишем уравнение (9.12) для центрированной электронно-оптической системы в параксиальном приближении. В этом приближении можно записать

 

 

 

1

 

2

ϕ0 (z)

 

 

r

2

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(r, z) =

 

ϕ0

(z) +

 

r

 

2

2 =

 

 

ϕ0 1+

 

r

r

2

 

r

 

 

4ϕ0

 

 

 

 

 

 

r

 

2ϕ0

r2

 

 

 

r

′′

(z)

 

 

 

 

= −

ϕ0

.

(10.1)

 

4

ϕ0 (z)

 

 

 

 

Здесь ϕ0 (z) = ϕ(0, z), ϕ0′′(z) = ∂2ϕ0 (z)z2 . При получении (10.1) было использовано соотно-

шение (9.15). При dl = dz z - компонента уравнения (9.12) удовлетворяется тождественно, а r-компонента преобразуется к следующему виду:

 

d

ϕ0 (z)

dr(z)

= −

r(z) ϕ0′′(z)

,

(10.2а)

 

dz

 

dz

 

4 ϕ0 (z)

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2r

 

+

ϕ0

 

dr

+

ϕ0′′

 

r = 0 .

 

(10.2б)

 

dz2

2ϕ0

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

4ϕ0

 

 

 

Уравнение (10.2) и есть искомое уравнение центрированной электронно-оптической системы

37

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

в параксиальном приближении.

Построим общее решение уравнения (10.2) в области a < z < b . Пусть r1,2 (z) - линейно независимые решения уравнения (10.2), удовлетворяющие следующим начальным условиям в начальной точке траектории электрона:

r1 (a) = 0,

r2

(a) =1,

(10.3)

(a) = 0.

r1 (a) =1,

r2

 

Общее решение уравнения (10.2) дается линейной комбинацией линейно независимых решений r1,2 (z)

r(z) = c1r1 (z) + c2r2 (z) .

(10.4)

В силу условий (10.3) постоянные c1,2

в решении (10.4) имеют простой физический

смысл. Поскольку r(a) = c2 , то c2 задает расстояние электронной траектории от главной оп-

тической оси в плоскости z = a . Далее, т.к. r(a) = c1 , то c1 определяет тангенс угла наклона траектории электрона к оптической оси системы в той же плоскости. Предположим теперь,

что r1 (b) = 0 (Рис. 10.1). Тогда, как следует из (10.4), справедливо соотношение

 

r(b) = c2r2 (b) ,

(10.5)

имеющее наглядный физический смысл: все траектории, вышедшие в плоскости

z = a из

точки r = c2 , в плоскости z = b соберутся в точке r = c2r2 (b) . Если c2 = 0 , то r(a) = r(b) = 0 . Следовательно, пучок траекторий вышедших в плоскости z = a из точки на главной оптической оси, в плоскости z = b соберется в точке лежащей на той же главной оси. Это означает фокусировку пучка (Рис. 10.2). Заметим, что мы имеем право говорить именно о пучке тра-

екторий, т.е. о пучке электронов, поскольку результат (10.5) не зависит от постоянной c1 , за-

дающей угол α = arctanc1 вылета электрона из точки r = 0 в плоскости z = a . Угол β , под которым траектории пересекают оптическую ось в плоскости z = b , равен α = arctan c1r1(b) .

Как и в обычной оптике, плоскость z = a называют плоскостью объекта, а плоскость z = b - плоскостью изображения (Рис. 10.2).

Таким образом, аксиально-симметричные электростатические поля пригодны для получения точечных изображений при помощи параксиальных электронных пучков. В плоскости объекта и в плоскости изображения имеют место соотношения

r(a) = c2 ,

r(b) = c2r2 (b) .

(10.6)

Величина

 

 

 

 

K

l

=

r(b)

= r (b)

(10.7)

 

 

 

r(a)

2

 

 

 

 

 

 

38

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

дает изменение (увеличение или уменьшение) линейных размеров объекта при его

r1 (z)

r2 (z)

z

z = a

z = b

Рис. 10.1

Траектории электрона, описываемые решениями r1,2 (z)

39

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Плоскость

Плоскость

объекта

изображения

α

β

z

β

z = a z = b

Рис. 10.2

Получение изображения точечного объекта, расположенного на главной оптической оси. α = arctanc1, β = arctanc1r1(b)

40

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке ЭЛТ