ASVT Материалы / Лекции / ЭЛТ / 27_VaN[1]

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Поскольку в металле из-за очень большой (бесконечной) проводимости электрическое поле равно нулю, то из (19.14) следует равенство нулю на границе металла тангенциальной со-

ставляющей вектора Er . Из второго уравнения (19.1) следует условие на разрыв нормальной составляющей вектора напряженности электрического поля E :

E2n − E1n = 4π(σ +σ0 ),

где σ − поверхностная плотность зарядов в плазме, а σ0 − поверхностная плотность заряда внешнего источника. Интегрирование в (19.15) производится вдоль нормали к границе раздела сред так, что точка “1” находится в первой среде, а точка “2” – во второй. Из третьего уравнения (19.1) следует условие на разрыв тангенциальной составляющей вектора магнит-

ной индукции B :

внешнего источника.

Обозначим через L характерный пространственный, а через T характерный временной масштабы некоторого исследуемого с помощью уравнений (19.8) нестационарного процесса. Не трудно видеть, что первое и третье уравнения системы (19.8) содержат параметр

L(cT) . Действительно, по порядку величины ∂∂t ~ T −1 , а rot ~ L−1 . Если выполнено силь-

то в нулевом приближении по параметру (19.17) уравнения Максвелла (19.8) можно записать в виде:

Электрическое поле ~r , определяемое из уравнений (19.18), называют потенциальным или

E

электростатическим (хотя статическим поле ~ не является, поскольку, вообще говоря, зави-

E

сит от времени). Нулевое приближение по параметру (19.17), получило название потенциального или электростатического приближения. Неравенство (19.17) означает, что скорость

81

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

переноса возмущений в системе мала по сравнению со скоростью света. В дальнейшем мы часто будем пользоваться потенциальным приближением при описании сравнительно медленных процессов в плазме и электронных пучках.

то первое уравнение в (19.18) удовлетворится автоматически, а второе – перейдет в уравнение Пуассона

нельзя. Например, вклад внешнего магнитного поля в силу Лоренца определяется цикло-

тронной частотой Ωα = eα B0 mα c частиц сорта α , которая с неравенством (19.17) не связана.

Уравнения (19.7) для собственных электрического E(s) (rr) и магнитного Br(s) (rr) полей являются уравнениями электростатики и магнитостатики. Для стационарных собственных полей параметр (19.17) равен нулю, поскольку T = ∞. Заметим, что деление электромагнитного поля на собственное стационарное и переменное строго обосновано, если плазма находится в некотором состоянии равновесия, определяемом из уравнений (19.7). При этом уравнения (19.8) описывают динамику плазмы при ее отклонении от равновесного состояния. В общем случае ситуация сложнее, поскольку состояние равновесия может отсутствовать, или оно еще не успело установиться, а поэтому собственные поля зависят от времени. Однако на фоне сравнительно медленной эволюции собственных полей, зарядов и токов в плазме могут развиваться быстро протекающие процессы, описываемые уравнениями (19.8). В этих случаях разделение полей на собственные стационарные и быстро переменные вполне оправдано.

§ 20. Движение заряженных частиц в стационарном нескомпенсированном пучке, находящемся во внешнем магнитном поле

Даже когда пучок в целом стационарен, его собственные поля приводят к сложному движению каждого отдельного электрона. Рассмотрим это на примере бесконечно длинного цилиндрического пучка с равномерно распределенной плотностью заряда, находящегося в однородном аксиальном магнитном поле B0 . Плотность электронов пучка зададим в виде

где rb - радиус пучка. Предположим, что заряд электронов частично скомпенсирован одно-

родным фоном бесконечно тяжелых однозарядных ионов, т.е. плотность ионов есть

82

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ni (r) = f nb (r) , где f ≤1- постоянный коэффициент зарядовой нейтрализации. Считаем также, что система имеет осевую симметрию и все характеризующие её величины не зависят от продольной координаты z . Пока ограничимся случаем нерелятивистского пучка.

В принятых условиях электрическое и магнитное поля следует представить в виде E = {Er ,0,0}, B = {0, Bϕ , B0 + Bz }, где Er , Bϕ , Bz - компоненты собственного поля пучка (здесь

и в дальнейшем, если это не приводит к недоразумениям, мы индекс “ (s) ” при записи собст-

венных полей опускаем.). Уравнения движения произвольного электрона пучка в цилиндрических координатах имеют вид

времени на обычную.

Самым простым решением уравнений (20.2) является следующее:

Здесь ω - некоторая круговая частота. Согласно решению (20.3) каждый электрон движется вдоль оси z со скоростью u и вращается по круговым орбитам вокруг оси симметрии r = 0 с круговой частотой ω , т.е. весь пучок вращается как целое с угловой скоростью ω . Однако, для применимости решений (20.3) необходимо еще выполнения условия баланса сил (центробежной, электростатического расталкивания и магнитного сжатия), которое следует из второго уравнения системы (20.2):

83

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

В дальнейшем, конечно, будет учтено и собственное магнитное поле пучка и его релятивизм.

Для нахождения собственного электростатического поля Er используем первое уравнение стационарной системы (19.7), которое в рассматриваемом случае оказывается следующим:

Подставляя далее (20.7) в (20.5) и учитывая, что vϕ = ω r (см. (20.3)), получаем следующее уравнение для определения частоты вращения пучка:

При η >1 частоты ωb(±) становятся комплексными, что свидетельствует об отсутствии ста-

ционарного состояния пучка: при η >1 силы электростатического расталкивания электро-

нов, определяемые величиной ωLb2 (1− f ) , превосходят силы магнитного сжатия (точнее не сжатия, а магнитного удержания электрона на ларморовской орбите), определяемые величи-

ной Ωe2 . В частном случае η =1 , при котором ωb(+) = ωb(−) = Ωe 2 , пучок называется бриллю-

эновским потоком.

При η = 0 электрический заряд пучка полностью нейтрализован зарядом ионного фо-

на ( f =1). При этом ωb(+) = Ωe , а ωb(−) = 0 , что является очевидным результатом: при наличии только внешнего однородного магнитного поля электрон либо вообще не вращается, либо вращается с электронной циклотронной частотой. Если η <<1, то частоты вращения равны

где Er определено в (20.7). Первая частота описывает дрейфовое движение электронов в скрещенных собственном электрическом и внешнем магнитном полях. Действительно,

84

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Рис. 20.1

Угловые скорости ωb(±) вращения сплошного нерелятивистского электронного пучка в однородном внешнем магнитном поле

85

вое выражение (20.11). Вторая частота в (20.11) соответствует обычному циклотронному вращению в магнитном поле.

Обобщим проведенное рассмотрение на случай, когда проекция орбиты электрона на плоскость, перпендикулярную вектору внешнего магнитного поля, не является окружностью с центром на оси симметрии. Введем декартовы координаты x, y, z так, что на оси симмет-

рии пучка x = y = 0 . Собственное электрическое поле (20.7) в декартовых координатах за-

пишем в виде (собственное магнитное поле по-прежнему не учитываем):

где точками обозначено дифференцирование по времени. Расписывая (20.13) по компонентам ( e < 0 ), имеем

2

&z&= 0.

Для решения уравнений (20.14) удобно перейти во вращающуюся систему координат. Введем новые переменные

x′ = x cos ωt + y sin ωt,

(20.15)

y′ = y cos ωt − x sin ωt,

где ω - одна из частот (20.9). Подставляя (20.15) в уравнения (20.14) и учитывая уравнение (20.8), получим следующую систему для новых переменных:

Здесь ωv = Ωe − 2ωb(±) - так называемая частота вихря. Таким образом во вращающейся систе-

ме координат электрон пучка движется по круговым орбитам с круговой частотой, равной частоте вихря.

Легко видеть, что

86

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Если возмутить движение электрона, вращающегося с угловой скоростью ωb(±) по круговой орбите с радиусом r и с центром на оси симметрии пучка, то во вращающейся системе его движение будет круговым с периодом 2π| ωv | (радиус этого кругового движения определя-

ется величиной возмущения исходной орбиты). В лабораторной системе координат электрон движется по трохоиде (Рис. 20.2).

87

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Траектория возмущенного движения электрона пучка во внешнем магнитном поле

88

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Глава V. Равновесные конфигурации электронных пучков

§ 21. Уравнение баланса радиальных сил

Рассмотрим стационарные равновесные состояния многокомпонентной аксиально симметричной заряженной плазмы, ориентированной вдоль внешнего однородного магнит-

ного поля Br = {0,0, B0 } и состоящей из электронного пучка и заряженных частиц других сор-

тов. Предположим, что плазма бесконечна и однородна вдоль оси z и все характеризующие ее величины зависят только от координаты r (в цилиндрической системе {r,ϕ, z}). Исходим из уравнений многожидкостной гидродинамики (18.7), записанных в форме (18.12).

Поскольку в стационарном равновесном состоянии макроскопическое радиальное движение в плазме отсутствует, гидродинамическую скорость любой ее компоненты можно

Так как равновесное состояние стационарно ( ∂∂t = 0 ), аксиально симметрично ( ∂∂ϕ = 0 ) и

однородно вдоль оси z ( ∂∂z = 0 ), то при скорости вида (21.1) уравнение непрерывности для каждой компоненты плазмы удовлетворяется автоматически.

Движение электрических зарядов плазмы в азимутальном направлении (со скоростью

Vαϕ ) создает аксиальное собственное магнитное поле Bz , а движение зарядов в направлении

а электрическое поле внешних источников отсутствует (составляющие собственного поля

Eϕ и Ez могут отличаться от нуля только при неоднородном распределении зарядов по координатам ϕ и z , чего в рассматриваемом сейчас случае нет).

Для нахождения собственных электрического и магнитного полей используем ста-

ционарные уравнения Максвелла (19.7) с материальными уравнениями (19.4) divEr = 4π∑eα Nα (r),

Расписывая с учетом (21.1), (21.2) и (21.3) уравнения (21.4) по компонентам, получим следующие соотношения:

89

Интегрируя (21.5) по r , находим выражения для собственных полей заряженной плазмы

Обратим внимание на пределы интегрирования в выражениях (21.6). При интегрировании соотношений (21.5) возникают произвольные константы, для определения которых используются очевидные граничные условия:

Легко видеть, что функции (21.6) удовлетворяют именно этим граничным условиям, что и обусловило выбор пределов интегрирования в (21.6).

Перейдем теперь к рассмотрению уравнения баланса сил. Подставляя в стационарные уравнения (18.12) представления (21.1), (21.2) и (21.3), получим единственное для каждой компоненты системы уравнение баланса радиальных сил

И наконец, подставляя в (21.10) выражения (21.6), получим следующее уравнение баланса радиальных сил:

90