Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

Аппаратные средства вычислительной техники

Файл:

27_VaN[1]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

4.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2924 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

		Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
		L			π U
ω = iaLδ = ia			a −		.	(47.7)
ω = iaLδ = ia		U	a −		.	(47.7)
		U			2 L
В общем случае даже простейшее уравнение (47.2) решается только численно. Введем
безразмерные частоту x и параметр плотности пучка σ
x = ω ,	σ = 2a		L	.		(47.8)
x = ω ,	σ = 2a			.		(47.8)
a			U
В новых переменных уравнение (47.2) запишется в виде
exp(iσ	1+ x2 )= x +				1+ x2 .	(47.9)
			x −		1+ x2
На Рис. 47.1 представлены зависимости безразмерных частот x = Re x + i Im x						от па-

раметра плотности пучка σ , полученные из уравнения (47.9) численно. Имеется бесконечное множество продольных мод колебаний (на рисунке показаны частоты продольных мод с n = 0, 1, 2 ). Пороги развития неустойчивости для каждой из мод, как показано в (47.3), равны

σ =π (2n +1) . Частота моды n = 0 является чисто мнимой: при изменении σ от 0 до ∞ мнимая частота Im x этой моды изменяется от − ∞ до 1. Остальные моды n =1, 2,K на на-

чальном участке изменения σ также имеют растущую Im x , а кроме того не равные нулю и противоположные по знаку действительные части частот ± Re x (на Рис. 47.1 показаны толь-

ко Re x ≥ 0 ). У порога неустойчивости мод с n =1, 2,K действительные части Re x обраща-

ются в нуль. При дальнейшем увеличении σ у этих мод обе действительные части Re x ≡ 0 ,

но имеются две различные мнимые части Im x : растущая к +1 и убывающая к −1.

В переменных (47.8) решение (47.5) дается формулой

x = i	2	1+	π		(47.10)
x = i		1+		(σ −π) −1 .	(47.10)
	π		2
	π		2

На Рис. 47.2 представлен результат сравнения (около порога неустойчивости) аналитического решения (47.10) – сплошная линия, с численным решением уравнения (47.9) – пунктирная линия. Наблюдается хорошее совпадение результатов.

Обсудим физический смысл порогового условия (47.6). Коллективный эффект Черенкова на встречной волне является абсолютной неустойчивостью, при которой возмущения неограниченно нарастают в любой точке пространства. При Vg < 0 и |Vg |=U собственные частоты, определяемые из первого дисперсионного уравнения (46.1), даются формулами:

ω = ± k 2U 2 − a2 . (47.11)

Следовательно, неустойчивость имеется только в следующей области волновых чисел

231

	Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
\| k \|<	a .				(47.12)
	U
В системе протяженностью L длина волны возмущений не может превосходить значения
1	Im x	0
	Im x			1	2
0				1	2
0					σ
-1
-2
-3
-4
-5
0	3.14	6.28	9.42	12.56	15.7
10	Re x
	Re x

6
4
	1	2
	1
2
0					σ
0	3.14	6.28	9.42	12.56	15.7

Рис. 47.1

Зависимости безразмерной частоты x от параметра плотности пучка σ при коллективном эффекте Черенкова на встречной волне

в резонаторе без отражений, к = 0

232

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

	Im x	0.4
		0.3
		0.2
σ		0.1
σ		0
		0
1.57	3.14	4.71
		-0.1
		-0.2
		-0.3
		-0.4
		-0.5
	Рис. 47.2

Зависимость безразмерного инкремента Im x от параметра плотности пучка σ вблизи порога развития неустойчивости. Сплошная линия – аналитическое решение (47.10), пунктирная

– численное решение уравнения (47.9)

233

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

λmax = 4L - на длине резонатора помещается четверть длины волны возмущения, а значит минимальное волновое число дается соотношением

k	min	=	2π	=	π	.	(47.13)
			λmax
					2L

Из (47.12) и (47.13) следует, что неустойчивость в конечной системе возможна при условии

kmin =	π	<		a	,	(47.14)
	2L		U

что совпадает со стартовым условием (47.6). Таким образом, порог (47.6) обусловлен невозможностью развития абсолютной неустойчивости в конечной системе при её малой длине. Затухание же волн в такой системе (мнимая часть частоты, как видно из (47.7) и Рис. 47.1

может

быть отрицательной) связано,

конечно, с вытеканием

излучения через границы

z = 0,

z = L .

Перейдем к рассмотрению более общего случая |Vg |≠U ,

но по-прежнему при κ2 = 0 .

Вводя обозначения

ξ =

, χ0

ω2 (1 +ξ)2

+ξa2 ,

(47.15)

| Vg |

представим уравнение (47.1) в виде

exp(2iχ0 L)=

(1+ξ) 2 + χ0U

(47.16)

(1+ξ) 2 − χ0U

Как и (47.2) уравнение (47.16) имеет решения ω = 0 , если 2χ0 L = π(2n +1) - см. (47.3). От-

сюда следует пороговое условие возникновения неустойчивости на продольной моде n = 0 , обобщающее условие (47.6)

a >	π	\|Vg	\|U	(47.17)
	2	L	.

Выражение для частоты вблизи порога на моде n = 0 дается формулой (см. (47.7))

ω = ia

−

|Vg

(|V

| +U )

Вводя аналоги величин (47.8)

x = ω

, σ = 2a

, µ =

1+ξ

|Vg |U

преобразуем уравнение (47.11) к следующему виду:

exp(iσ 1+ µ2 x2 )=	µx +	1	+ µ2 x2 .
	µx −	1	+ µ2 x2

(47.18)

(47.19)

(47.20)

234

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Заменой µx → x уравнение (47.20) сводится к (47.9), поэтому ничего нового, в сравнении с

приведенным на Рис. 47.1, численные решения уравнения (47.20) не содержат.

Учтем теперь конечное отражение от продольных границ системы. Подставляя реше-

ние (46.2) в общие граничные условия (45.16) при κ1,2

≠ 0 , получим следующее характери-

стическое уравнение:

exp(i(k

− k

)L)=

ω − k2U

+κ κ

(k2 − k1 )U

exp(i(k

− k

)L).

(47.21)

ω − k U

1 2 (ω − k U )

Заметим, что при нулевой плотности пучка ( a = 0 ) из уравнения (47.21), как это и должно быть, следует решение (46.7). Как и при нулевом отражении, случай различных скоростей волн сводится к случаю |Vg |=U , рассмотрением которого мы здесь и ограничимся. Кроме того, считаем для простоты, что κ1κ2 =κ > 0 , где κ - положительная вещественная постоян-

ная. Используя величины (47.8), преобразуем уравнение (47.21) к виду, удобному для дальнейшего анализа:

exp(iσ

1+ x

x + 1+ x2

2 1+ x2

1+ x

(47.22)

x − 1

−κ

x − 1+ x2

exp i

x .

+ x2

Сначала определим пороги развития неустойчивости. Для этого, полагая в уравнении

(47.22) x = 0 , сведем его к виду

(47.23)

exp(iσ) = −1+ 2κ exp i

Последнее уравнение, поскольку κ2 ≤1, преобразуется к следующему:

(47.24)

cos

= κ .

Если расположить корни уравнения (47.24) относительно σ в порядке возрастания, то полу-

чатся пороговые условия развития неустойчивости на продольных модах n = 0 ,			n =1 и т.д.
соответственно. Для моды n = 0 пороговое условие записывается в виде
a >	U	arccos(κ) .	(47.25)

	L

При κ = 0 неравенство (47.25) переходит в (47.6). Вблизи порога (47.25), учитывая неравенства x <<1 и (σ − 2 arccosκ) <<1, из уравнения (47.22) для безразмерной частоты получаем

x ≈ i σ / 2 − arccosκ .	(47.26)
1 + κ arccosκ
1 −κ 2

Обобщением стартового условия начала генерации (47.25) на случай | Vg |≠ U очевидно яв-

ляется следующее (см. (47.17)):

235

			Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
a >	U	\| Vg \|	arccos(κ) .	(47.27)
a >	L		arccos(κ) .	(47.27)
	L
На Рис.		47.3 представлены зависимости безразмерной частоты x		для низшей про-

дольной моды n = 0 от параметра плотности пучка σ при различных коэффициентах отражения κ = 0, κ = 0.2, κ = 0.4 иκ = 0.8 , полученные численным решением уравнения (47.22).

Чем больше отражение κ , тем левее и выше расположена на Рис. 47.3 соответствующая кри-

вая Im x(σ) .

Из рисунков Рис. 47.1 и Рис. 47.3 следует, что при	σ → ∞ имеет место предельное
соотношение Im x →1, которое при \| Vg \|≠ U записывается	в виде Im µx →1. Откуда, с уче-

том определений (47.19), имеем

Imω →2a	U \| Vg \|	≤ a .	(47.28)

L→∞	U + \| Vg \|

Формула (47.28) дает инкремент глобальной неустойчивости при коллективном эффекте Че-

ренкова на встречной волне. При | Vg |=U он переходит в инкремент Imω = a неустойчиво-

сти, развивающейся в системе бесконечной длины. Заметим, что согласно общей теории неустойчивостей, пучковые неустойчивости на встречных волнах являются абсолютными, а неустойчивости на попутных волнах (см. предыдущий параграф) – конвективными.

§ 48. Генераторы попутных волн на одночастичном вынужденном эффекте Черенкова

Перейдем теперь к одночастичному вынужденному эффекту Черенкова в ограничен-

ной области пространства. Рассмотрение начнем со случая Vg > 0 , когда излучаемая волна распространяется в ту же сторону, что и пучок, т.е. является попутной. Представляя решения уравнений (45.12), (45.14) в экспоненциальной форме ~ exp(−iωt +ikz) , получим следующие дисперсионные уравнения:

D1	(ω, k) ≡ (ω − kU )2 (ω − kVg )− b3 = 0,	(48.1)
D2 (ω, k) ≡ (ω + kVg )= 0.		(48.1)
D2 (ω, k) ≡ (ω + kVg )= 0.

Используя (48.1), запишем общее решение уравнений (45.12), (45.14) в виде (без общего множителя exp(−iωt) ):

	Aw (z) = Aexp(ik1 (ω)z)+ B exp(ik2 (ω)z)+ C exp(ik3 (ω)z),
	b3		b3		b3
Ab (z) =		Aexp(ik1 (ω)z)+		B exp(ik2 (ω)z)+		C exp(ik3 (ω)z), (48.2)
Ab (z) =	(ω − k U )2	Aexp(ik1 (ω)z)+	(ω − k U )2	B exp(ik2 (ω)z)+	(ω − k U )2	C exp(ik3 (ω)z), (48.2)
	1		2		3

Bw (z) = D exp(ik4 (ω)z).

236

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

1	Im x
0				σ
0
	0	3.14	6.28	9.42
-1
-2
-3
-4
-5
			Рис. 47.3
Зависимости мнимой частоты Im x низшей продольной моды n = 0 от параметра
плотности пучка σ при различных коэффициентах отражения: κ = 0, κ = 0.2, κ = 0.4, κ = 0.8

237

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

где k1,2,3 (ω) - решения первого уравнения (48.1) относительно k , а k4 = −ωVg - решение вто-

рого уравнения (48.1).
Чтобы не записывать сложных решений							кубического дисперсионного			уравнения
D1 (ω, k) = 0		получим некоторые полезные для дальнейшего формулы. Дифференцируя пер-
вое уравнение (48.1) по ω находим соотношения
	∂k1,2,3	(ω) =	k(U + 2Vg ) −3ω	,	∂k1,2,3	(0)	=	(U + 2Vg )	≡Wg−1 .	(48.3)
	∂ω		3kUVg −ω(2U +Vg )
					∂ω			3UVg

В некоторой области частот ω решения первого уравнения (48.1) являются комплексными,

причем два из решений комплексно-сопряженные. Пусть, например Im k2 (ω) < 0 , тогда функция exp(ik2 (ω)z) нарастает в положительном направлении оси Z . То есть волновое число k2 (ω) принадлежит усиливаемой волне. При этом из (48.3) следует, что максимум усиления, т.е. максимум | Im k2 (ω) |, достигается при ω = 0 . В окрестности нулевой частоты решения первого дисперсионного уравнения (48.1) очевидно записываются следующим образом:

k	(ω) = k		(0) +ω ∂k1,2,3			(0) = δ			σ + ω	,
1,2,3	1,2,3				∂ω			1,2,3	Wg
					∂ω				Wg	(48.4)
	b				1−i	3 ,	1+i		3 , −1.	(48.4)
σ =	b	,	δ1,2,3	=	1−i	3 ,	1+i		3 , −1.
	3 U 2Vg				2			2

Используя (48.4), выпишем еще условие, при котором излучение пучка можно действительно считать одночастичным эффектом Черенкова. Для этого решения k1,2,3 следует подставить в

(45.11). В результате получится следующее неравенство:

b(U Vg )1 3 >> Gb ωb ,

(48.5)

означающее, что плотность электронного пучка должна быть достаточно малой ( b ~ ωb23 ).

Неравенство (48.5) является аналогом неравенства (39.11).

Перейдем теперь к выводу характеристического уравнения для определения собственных частот ω , рассматриваемой системы конечной длины. Подставляя решения (48.2) в граничные условия (45.17) и используя первое уравнение (48.1), получим следующую линейную однородную систему относительно постоянных A, B,C и D :

A + B + C = κ1D,

k1 A + k2 B + k3C = (ω Vg )κ1D,

k12 A + k22 B + k32C = (ω Vg )2 κ1D, (48.6) exp(ik1L) A + exp(ik2 L)B + exp(ik3 L)C = κ2−1 exp(ik4 L)D.

Предположим, что выполнено неравенство

238

	Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
ω Vg << σ ,	(48.7)

которое согласуется с формулами (48.4) и означает, что имеет место максимальное усиление одной из волн. Тогда правые части второго и третьего уравнений в (48.6) можно положить равными нулю. Выражая при этом из первых трех уравнений (48.6) А, В и С имеем:

A =α1κ1D,	α1	=			k2k3	,
			(k2		− k1 )(k3 − k1 )

B =α2κ1D,	α2	=			k1k3		,	(48.8)
				(k1	− k2 )(k3 − k2 )

C =α3κ1D,	α3	=			k2k1		.
				(k1	− k3 )(k2 − k3 )

Исключая далее с помощью (48.8) из последнего уравнения (48.6) постоянные А, В, С и D, находим следующее характеристическое уравнение для определения собственных комплексных частот системы:

exp(ik4 L) = κ1κ2 [α1 exp(ik1L) +α2 exp(ik2 L) +α3 exp(ik3 L)].	(48.9)
При b = 0 , т.е. когда электронного пучка нет, уравнение (48.9)	сводится, как это и

должно быть, сводится к (46.7) (предельный переход b → 0 выводит за рамки неравенства (48.7) и применимости формул (48.4), поэтому должен совершаться не в (48.9), а в точной системе уравнений (48.6)).

Пусть теперь b ≠ 0 и выполнено неравенство (48.7). Тогда, подставляя (48.4) в (48.8),

получим
α1 =α2	=α3	=	1 .	(48.10)
			3

Подставляя далее (48.4) и (48.10) в (48.9), сведем уравнение для собственных частот к виду

= 1

exp

−i

κ κ

(exp(iδ σL) + exp(iδ σL) + exp(iδ σL))exp i

L .

Откуда для комплексной собственной частоты ω имеем выражение

−1

ω = i

| κ1κ2 |

∑exp(iδ jσL)

+φ .

j 1

Величина

∂k

−1

3UV

1,2

(0)

∂ω

U + 2Vg

(48.11)

(48.12)

(48.13)

входящая в (48.12) и введенная в (48.3), называется групповой скоростью сноса волн при усилении в режиме одночастичного эффекта Черенкова на попутной волне (для коллективного эффекта Черенкова на попутной волне аналогичная скорость определена в (46.10)).

239

			Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
В длинной системе, у которой
σL >>1,											(48.14)
инкремент (48.12) принимает вид
L		+	L			−1	3	σL − ln	3		(48.15)
Imω =		+	W				2	σL − ln	\| κ κ	.	(48.15)
V	g		W	g			2		\| κ κ	\|
	g			g					1 2
Отсюда получаем стартовое условие начала генерации
3 σL > ln			3		\|	.					(48.16)
2		\| κ κ		2	\|
			1	2

при одночастичном эффекте Черенкова на попутной волне в резонаторе длины L . Известно, что одночастичный эффект Черенкова на попутной волне является конвек-

тивной неустойчивостью, при которой любые финитные возмущения сносятся по движению пучка и в каждой фиксированной точке пространства при t → ∞ из-за сноса затухают. Наличие границ препятствует сносу возмущений и при выполнении порогового условия (48.16) приводит к их нарастанию в любой точке z на отрезке [0, L] .

Совершая в (48.15) предельный переход L → ∞ , получим инкремент глобальной неустойчивости при одночастичном черенковском взаимодействии электронного пучка с попутной волной

Imω →	3	b	1	33 UVg2	.	(48.17)
L→∞	2		2 (2U +Vg )
	2		2 (2U +Vg )

Максимального значения Imω = b 3 4 глобальный инкремент достигает при Vg =U , что в

два раза меньше инкремента обычной одночастичной пучковой неустойчивости в системе бесконечно большой длины.

Приведем еще один метод вычисления комплексной частоты (48.12). Пусть на границах z = 0 и z = L амплитуда попутной электромагнитной волны дается соотношениями (46.13) и (46.14) соответственно. Очевидно, что эти соотношения связаны между собой уравнением обратной связи (46.15). Несложно показать (например, используя (48.2)), что общее решение уравнений (45.12) c граничными условиями (46.13) и первыми двумя условиями (45.17) имеет вид

	1			z	3
Aw (z,t) =		ψ				(48.18)
Aw (z,t) =	3	ψ	t −		∑exp(iδ jσz) ,	(48.18)
	3			Wg j=1

где Wg - скорость (48.13), а σ и δ j приведены в (48.4). Подставляя (46.13) и (48.18) в соот-

ношение (46.15), получим функциональное уравнение

240

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2924 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ЭЛТ

#
29.03.20164.53 Mб3427_VaN[1].pdf
#
29.03.2016116.12 Кб20Мониторы с ЭЛТ лекция.mht
#
29.03.20166.45 Кб22Схема монитора с ЭЛТ.gif
#
29.03.201634.05 Кб21Устройство кинескопа.jpg
#
29.03.2016133.55 Кб21Устройство монитора на ЭЛТ.jpg
#
29.03.201622.05 Кб22Устройство ЭЛТ.gif