ASVT Материалы / Лекции / ЭЛТ / 27_VaN[1]

Здесь A и B - постоянные, а Il (x) и Kl (x) - функции Инфельда и Макдональда соответствен-

но. При записи решения (43.4) в области r > a полагалось, что при r = R имеется металлический кожух, на котором потенциал ψ (r) равен нулю.

которое получается интегрированием уравнения (43.1) в окрестности точки r = a (штрихом обозначено дифференцирование по r). Подставляя решения (43.4) в условия (43.5) и (43.6) и исключая постоянные A и B , получим следующее дисперсионное уравнение:

Проанализируем уравнение (43.7) в различных предельных случаях. В длинноволно-

вом пределе, когда kz a >>1, уравнение сводится к виду ε1 +ε2 = 0 , или

Но последнее уравнение элементарными подстановками можно свести к исследованному нами ранее дисперсионному уравнению (32.4) пучково-плазменной неустойчивости. Следовательно, и уравнение (43.9) имеет решения с Imω > 0 , т.е. описывает неустойчивую систе-

му. Функция (43.4) затухает в обе стороны от границы r = a (при kz a >>1 это затухание экс-

поненциальное). Поэтому неустойчивость, описываемая уравнением (43.9), обусловлена возбуждением поверхностной волны на границе проскальзывающих относительно друг друга электронных потоков. Ее называют slipping-неустойчивость. Напомним, что уравнение (32.4) описывает неустойчивость, связанную с возбуждением объемной волны. То есть при всем формальном математическом сходстве уравнения (32.4) и (43.9) относятся к существенно различным физическим системам: уравнение (43.9) учитывает поперечные движения про-

211

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

дольной границы раздела двух соприкасающихся пучков; уравнение (32.4) учитывает только продольные движения двух взаимопроникающих потоков.

Не сложно показать, что комплексные относительно ω решения у уравнения (43.9) имеются при выполнении условия

При ωLb = 0 решения последнего уравнения ω = ±ωLe 2 дают коротковолновую асимпто-

Поскольку неустойчивость с инкрементом (43.16) развивается при резонансе kzu = ωLe 2 ,

то она очевидно обусловлена одночастичным вынужденным черенковским излучением пучком поверхностной волны ограниченной плазмы. Инкремент (43.16) имеет смысл сопоставить с инкрементом, приведенным в формуле (32.11).

В противоположном длинноволновом пределе, когда kz R <<1, уравнение (43.7) пре-

образуется к следующему виду:

212

Мы не будем здесь приводить решений уравнений (43.17), поскольку существенно нового по сравнению с уже изложенным не возникает. На Рис. 43.1 изображены дисперсионные кривые первого уравнения (43.17) для системы с вполне реальными параметрами. Видно, что в длинноволновой части спектра ( kz R < 0.5) расположена область slipping-неустойчивости.

Топология дисперсионных кривых, изображенных на Рис. 43.1, такая же, как и кривых, представленных на Рис. 32.1.

Рассмотренная slipping-неустойчивость является сильной, в том смысле, что ее инкремент может быть того же порядка, что и вещественная часть частоты. Действительно, в

случае, когда инкремент дается формулой (43.12) имеем Reω ~ ωLb . Данное обстоятельство связано с тем, что скорость u(r) в некоторой точке меняется скачком. Иная неустойчивость

имеет место в случае, когда скорость u(r) является медленно меняющейся функцией коор-

динаты. Для исследования этой неустойчивости запишем дифференциальное уравнение

спектры частот объемных пучковых волн плотности заряда – быстрой и медленной (см. § 27)

Бесселя, а µls - ее корень. Заметим, что уравнения (43.18) с нулевой правой частью и условия

ψ (R) = 0 не достаточно для определения потенциала поля объемных волн пространственно-

го заряда пучка. Необходимо учесть хоть маленькое, но все же не нулевое внешнее магнитное поле. Однако подробно обсуждать этот вопрос мы здесь не имеем возможности.

Определим поправки к спектрам (43.19), связанные с отличием правой части уравне-

где ∆u - постоянная, которую считаем малой. Будем действовать методом последовательных приближений по ∆u . Умножим обе части уравнения (43.18) на собственную функцию ψ (r)

213

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

1 ω

0.5

k z

0 0 0.5 1

Рис. 43.1

Дисперсионные кривые уравнения (43.17) для l = 0 :

ωb1 = ωb2 =109 рад/ c, u1 = 2 109 см/ с, u2 =1010 см/ с, a =1см, R = 2см.

214

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

и проинтегрируем его по rdr в пределах от нуля до R . При этом в левой части пренебрежем ∆u в результате чего получим

Здесь ψ - норма собственной функции. Причем при подстановке в соотношение (43.21) соб-

ственной функции следует взять функцию нулевого приближения Jl (k r) .

Очевидно, что вклад правой части в соотношение (43.21) существенен только если при некотором r разность ω − kzu(r) проходит через ноль (в противном случае правая часть

(43.21) пропорциональна ∆u ). Но при ω − kzu(r) → 0 под интегралом в (43.21) возникает особенность. Для ее устранения используем правило Ландау, для чего полагаем ω = ω + iδ , где δ → +0 . В результате имеем

При получении (43.22) было использовано дисперсионное уравнение (43.19) нулевого по ∆u приближения.

Подставляя (43.22) в правую часть соотношения (43.21) и совершая предельный переход δ → +0 , получим

Здесь α = kz du dr = kz ∆u R , а ψ0 =ψ (r0 ) . При вычислении (43.24) была использована из-

вестная формула Сохоцкого. С учетом (43.24) из (43.21) находим следующее дисперсионное уравнение первого по ∆u приближения:

Преобразуем последнюю формулу к более простому виду. Из (43.23) и (43.20) находим

215

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

В качестве иллюстрации приведем выражение для δω в случае азимутально симметричных возмущений системы

В зависимости от взятого в (43.30) знака и от знака произведения функций J0 (x)J1 (x)

возможно как затухание возмущений, так и их раскачка, т.е.неустойчивость. И нарастание и затухание возмущений обусловлены резонансным черенковским взаимодействием (взаимодействие волна-частица) между волной (43.12) пространственного заряда пучка и слоем ре-

зонансных электронов, для которых выполнено условие ω − kzu(r0 ) = 0 . Явление вполне ана-

логично прямому и обратному затуханиям Ландау. Разница только в том, что затухание Ландау обусловлено тепловым разбросом частиц по скоростям, а резонансная slippingнеустойчивость обусловлена различием скоростей частиц из-за пространственной неоднородности потока. Условие применимости формул (43.29) и (43.30) сводятся, как это следует из (43.26), к неравенству

В силу (43.28) резонансная slipping-неустойчивость является коротковолновой. Одна-

ко, при большом значении производной dudr такая неустойчивость смещается в длинно-

волновую область, а инкремент ее по порядку величины равен kz R dudr .

Учтем теперь наличие внешнего магнитного поля. Если это поле бесконечно велико,

то Ω2bε b → 0 и дифференциальное уравнение (40.18) записывается в виде

где ε(r) дается формулой (43.2). Если распределения плотности и скорости электронов пуч-

ка определить формулами (43.3) и положить, например, u 1 = 0 , то уравнение (43.32) будет описывать колебания цилиндрической плазмы, обдуваемой полым электронным пучком. В такой системе возможна обычная пучково-плазменная неустойчивость, подробно рассмот-

ренная нами в § 37. Резонансные (ω − kzu(r) ≈ 0 ) раскачка и затухание возмущений описы-

216

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ваются уравнением (43.32) и при плавной зависимости u(r) . Однако, к явлениям типа slip- ping-неустойчивости мы эти процессы причислять не будем. Условимся для slippingнеустойчивостей считать важным как наличие градиента продольной скорости электронов, так и возможность их поперечного к направлению внешнего магнитного поля смещения. Поэтому запишем дифференциальное уравнение (40.18) для случая достаточно большого,

ωLb2 << Ωe2 , но все же конечного внешнего магнитного поля и для однородного по r распреде-

ления плотности электронов пучка

для распределения (43.20). Умножим обе части уравнения (43.33) на собственную функцию

где

Рассмотренные неустойчивости приводят не только к выравниванию поперечного профиля скорости электронов пучка, но и к перемешиванию соседних слоев электронов. Последнее связано с возможностью поперечного смещения электронов в конечном внешнем магнитном поле. Поэтому при slipping-неустойчивости ламинарное движение электронов пучка становится турбулентным.

217

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

§ 44. Неустойчивость пучка с неоднородным поперечным профилем плотности - диокотронная неустойчивость

Данная неустойчивость развивается в частично нейтрализованном электронном пучке с радиально неоднородным профилем плотности и обусловлена его азимутальным вращением. Считаем, что нейтрализация пучка обеспечивается фоном бесконечно тяжелых ионов,

электроны фона отсутствуют, а продольная скорость электронов пучка Vbz(s) ≡ u постоянна в поперечном сечении. Ограничимся рассмотрением только длинноволновых возмущений, для чего в общем уравнении (40.18) положим продольное волновое число kz = 0 . Предположим также, что выполнены следующие неравенства:

ω −lωb(s) (r) 2 << Ωe2 γb2 ,

Рассмотрим трубчатый электронный пучок с профилем плотности, заданным формулой (см. распределение (23.13))

В силу последнего неравенства (44.1) пучок вращается с меньшей из двух возможных угловых скоростей (23.14), т.е.

где β0 = uc , γ0 = (1− β02 )−12 . При малой плотности электронов пучка (см. второе неравенст-

во (44.1)) выражение для угловой скорости (44.4) упрощается

где ωD - угловая скорость, обусловленная дрейфовым движением электронов в скрещенных собственном электрическом и внешнем магнитном полях (см. (20.11) и (42.12)) и с учетом собственного азимутального магнитного поля.

Подстановка ступенчатого распределения (44.3) в правую часть уравнения (44.2) при218

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

водит к следующему уравнению:

ходится металлический кожух, то решение уравнения (44.6), удовлетворяющее условиям |ψ (0) | < ∞ и ψ (R) = 0 , имеет вид

Для исключения постоянных A, B, C, D следует использовать граничные условия в точках

r = rb1 и r = rb2 , в которых правая часть уравнения (44.6) имеет сингулярность. Первые два условия заключаются в непрерывности потенциала

Еще два условия получаются интегрированием с весом r уравнения (44.6) по бесконечно малым окрестностям особых точек правой части, что дает

где штрихом обозначено дифференцирование по r. Как видно из (44.5) имеют место соотно-

шения ωb(−) (rb1 ) = 0 и ωb(−) (rb2 ) =ωD (1−rb21 rb22 ).

Подставляя решение (44.7) в граничные условия (44.8) и (44.9) и исключая постоянные A, B, C, D , после простых, но довольно громоздких вычислений получим следующее

219

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Частоты (44.12) действительные, т.е. рассматриваемая система устойчива, если вы-

полнено неравенство a2 ≥ 4b . Не сложно показать, что для любых l условие устойчивости выполнено при rb1 = 0 , или при rb2 = R . Кроме того, не зависимо от значений радиусов rb1 , rb2 и R устойчивы возмущения с l = 0 и l =1 . Таким образом для возникновения неустой-

чивости необходимо наличие у пучка двух свободных границ. Можно считать, что неустойчивость, если она есть, обусловлена взаимодействием поверхностных волн, бегущих по внутренней и внешней границам пучка, движущимся относительно друг друга из-за шира угловой скорости (44.5). Инкремент данной неустойчивости, называемой диокотронной, по порядку величины, как это следует из (44.12), равен дрейфовой частоте ωD .

На Рис. 44.1 для примера построены безразмерные инкременты диокотронной неус-

тойчивости δ = 2 ImωωD для трубчатого пучка в волноводе с R = 2см и различных радиу-

сах rb1 и rb2 . Неустойчивость имеется только в конечном диапазоне азимутальных волновых чисел l . Причем, чем меньше толщина пучка, тем шире этот диапазон и больше инкремент:

при rb2 − rb1 = 0.1см неустойчивы моды с l от 2 до 13, а максимум инкремента δ = 0.725 дос-

тигается при l = 9 (кривая 1); при rb2 − rb1 = 0.6см неустойчивы только вторая и третья моды,

а максимум инкремента δ = 0.279 имеет вторая мода (кривая 4). С дальнейшим увеличением толщины пучка неустойчивость остается лишь на второй моде: при rb2 − rb1 =1см δ = 0.116 .

А при еще большей толщине неустойчивость совсем пропадает. Диокотронная неустойчивость приводит к поперечному расслоению трубчатого электронного пучка на токовые нити. Число нитей по-видимому совпадает с азимутальным числом l , на котором достигается максимум инкремента.

220