Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
14
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
4.53 Mб
Скачать

 

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

 

AIl (kz r), r < a

 

 

 

 

 

Kl (kz R) , a < r < R .

(43.4)

ψ (r) =

B Kl (kz r) Il (kz r)

 

 

 

 

 

 

 

Il (kz R)

 

Здесь A и B - постоянные, а Il (x) и Kl (x) - функции Инфельда и Макдональда соответствен-

но. При записи решения (43.4) в области r > a полагалось, что при r = R имеется металлический кожух, на котором потенциал ψ (r) равен нулю.

На границе r = a непрерывен потенциал

 

ψ (a + 0) ψ (a 0) = 0 ,

(43.5)

а кроме того на этой границе имеет место соотношение

 

(43.6)

ε(a + 0)ψ (a + 0) ε(a

0)ψ (a 0) = 0 ,

которое получается интегрированием уравнения (43.1) в окрестности точки r = a (штрихом обозначено дифференцирование по r). Подставляя решения (43.4) в условия (43.5) и (43.6) и исключая постоянные A и B , получим следующее дисперсионное уравнение:

 

 

Il+1 (kz a)

 

 

Kl+1 (kz a)

1

+

 

Kl (kz R)

 

 

 

Il+1 (kz a)

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

+ε

 

 

 

Il (kz R) Kl+1 (kz a)

 

=

l

(ε

 

ε

) .

(43.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Il (kz a)

 

2 Kl (kz a)

 

1

 

Kl (kz R)

 

Il (kz a)

 

 

 

kz a

 

2

1

 

 

 

 

 

 

Il (kz R) Kl (kz a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε1,2 =1

 

Lb1,2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(43.8)

(ω k u

)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

1,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проанализируем уравнение (43.7) в различных предельных случаях. В длинноволно-

вом пределе, когда kz a >>1, уравнение сводится к виду ε1 +ε2 = 0 , или

2

ω2

 

ω2

 

 

= 0 .

(43.9)

Lb1

 

Lb2

 

(ω k u )2

(ω k

u

)2

 

z

1

 

z

2

 

 

 

Но последнее уравнение элементарными подстановками можно свести к исследованному нами ранее дисперсионному уравнению (32.4) пучково-плазменной неустойчивости. Следовательно, и уравнение (43.9) имеет решения с Imω > 0 , т.е. описывает неустойчивую систе-

му. Функция (43.4) затухает в обе стороны от границы r = a (при kz a >>1 это затухание экс-

поненциальное). Поэтому неустойчивость, описываемая уравнением (43.9), обусловлена возбуждением поверхностной волны на границе проскальзывающих относительно друг друга электронных потоков. Ее называют slipping-неустойчивость. Напомним, что уравнение (32.4) описывает неустойчивость, связанную с возбуждением объемной волны. То есть при всем формальном математическом сходстве уравнения (32.4) и (43.9) относятся к существенно различным физическим системам: уравнение (43.9) учитывает поперечные движения про-

211

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

дольной границы раздела двух соприкасающихся пучков; уравнение (32.4) учитывает только продольные движения двух взаимопроникающих потоков.

Не сложно показать, что комплексные относительно ω решения у уравнения (43.9) имеются при выполнении условия

 

kz (u2 u1 ) < [(ωLb2

1

 

2)1 3 + (ωLb2

2 2)1 3 ]3 2 .

(43.10)

В частности, если плотности пучков по обе стороны раздела одинаковы, ωLb1 = ωLb2

= ωLb , то

неустойчивость имеет место при

 

 

 

kz (u2 u1 )

 

< 2ωLb .

 

 

 

(43.11)

 

 

 

 

 

Максимальный инкремент

 

 

Imω =

ωLb

 

 

 

 

 

 

(43.12)

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

достигается при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kz = ±

3 2

ωLb

 

.

 

 

 

(43.13)

u2 u1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Еще один интересный физический результат можно получить из уравнения (43.9).

Полагая ωLb1 = ωLe , u1 = 0, ωLb2 = ωLb , u2 = u , запишем это уравнение в виде

 

2

ω

2

 

 

 

 

ω2

 

 

 

= 0 .

 

 

 

Le

 

 

 

Lb

 

 

 

 

(43.14)

 

(ω kzu)2

 

 

 

 

ω2

 

 

 

 

 

При ωLb = 0 решения последнего уравнения ω = ±ωLe 2 дают коротковолновую асимпто-

тику спектров частот поверхностных волн плазменного столба. При ωLb2 << ωL2e

решение

уравнения (43.14) можно искать в виде

 

ω = ωLe 2 +δω = kzu +δω .

(43.15)

После элементарных вычислений для комплексного инкремента δω находим

 

δω = 1 + i

 

2

 

1 3

ωLe .

(43.16)

3

ωLb

 

 

2

 

2

 

 

2

 

 

2ωLe

 

 

Поскольку неустойчивость с инкрементом (43.16) развивается при резонансе kzu = ωLe 2 ,

то она очевидно обусловлена одночастичным вынужденным черенковским излучением пучком поверхностной волны ограниченной плазмы. Инкремент (43.16) имеет смысл сопоставить с инкрементом, приведенным в формуле (32.11).

В противоположном длинноволновом пределе, когда kz R <<1, уравнение (43.7) пре-

образуется к следующему виду:

212

 

 

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

 

ε1+ε2

2

 

= 0 , l = 0,

 

kz2a2 ln(R a)

(43.17)

 

 

1 + (a R)2l

 

.

ε +ε

 

= 0 , l =1,2,...

 

 

1(a R)2l

 

1

2

 

 

 

Мы не будем здесь приводить решений уравнений (43.17), поскольку существенно нового по сравнению с уже изложенным не возникает. На Рис. 43.1 изображены дисперсионные кривые первого уравнения (43.17) для системы с вполне реальными параметрами. Видно, что в длинноволновой части спектра ( kz R < 0.5) расположена область slipping-неустойчивости.

Топология дисперсионных кривых, изображенных на Рис. 43.1, такая же, как и кривых, представленных на Рис. 32.1.

Рассмотренная slipping-неустойчивость является сильной, в том смысле, что ее инкремент может быть того же порядка, что и вещественная часть частоты. Действительно, в

случае, когда инкремент дается формулой (43.12) имеем Reω ~ ωLb . Данное обстоятельство связано с тем, что скорость u(r) в некоторой точке меняется скачком. Иная неустойчивость

имеет место в случае, когда скорость u(r) является медленно меняющейся функцией коор-

динаты. Для исследования этой неустойчивости запишем дифференциальное уравнение

(43.1) для случая ωLb2 (r) = const

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

[(ω k

u(r))2

ω2

]

1

 

d

 

r

dψ

l

 

ψ k 2ψ

= 2k

 

ωLb

 

du

 

dψ

.

(43.18)

 

 

 

r2

 

 

 

 

z

 

Lb

r dr dr

z

 

 

z

(ω kzu(r)) dr dr

 

Если скорость постоянна, т.е.

u(r) = u0

= const ,

то из уравнения (43.18) получаются

спектры частот объемных пучковых волн плотности заряда – быстрой и медленной (см. § 27)

ω = kzu0 ±ωLb .

(43.19)

Потенциал этих волн следует задать в виде ψ (r) ~ Jl (k r) , где k = µls

R , Jl (x) - функция

Бесселя, а µls - ее корень. Заметим, что уравнения (43.18) с нулевой правой частью и условия

ψ (R) = 0 не достаточно для определения потенциала поля объемных волн пространственно-

го заряда пучка. Необходимо учесть хоть маленькое, но все же не нулевое внешнее магнитное поле. Однако подробно обсуждать этот вопрос мы здесь не имеем возможности.

Определим поправки к спектрам (43.19), связанные с отличием правой части уравне-

ния (43.18) от нуля. Положим для определенности

 

u(r) = u0 + ∆u

r

,

(43.20)

R

 

 

 

где u - постоянная, которую считаем малой. Будем действовать методом последовательных приближений по u . Умножим обе части уравнения (43.18) на собственную функцию ψ (r)

213

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

1 ω

0.5

k z

0 0 0.5 1

Рис. 43.1

Дисперсионные кривые уравнения (43.17) для l = 0 :

ωb1 = ωb2 =109 рад/ c, u1 = 2 109 см/ с, u2 =1010 см/ с, a =1см, R = 2см.

214

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

и проинтегрируем его по rdr в пределах от нуля до R . При этом в левой части пренебрежем u в результате чего получим

[(ω kzu0 )2 ωLb2 ](k 2 + kz2 )

 

 

 

ψ

 

 

 

2 = −kz R

ωLb2

 

du dψ 2

rdr .

(43.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 (ω kzu(r)) dr dr

 

 

Здесь ψ - норма собственной функции. Причем при подстановке в соотношение (43.21) соб-

ственной функции следует взять функцию нулевого приближения Jl (k r) .

Очевидно, что вклад правой части в соотношение (43.21) существенен только если при некотором r разность ω kzu(r) проходит через ноль (в противном случае правая часть

(43.21) пропорциональна u ). Но при ω kzu(r) 0 под интегралом в (43.21) возникает особенность. Для ее устранения используем правило Ландау, для чего полагаем ω = ω + iδ , где δ → +0 . В результате имеем

ω k

u(r) ≈ ±ω

Lb

+ k

z

[u

0

u(r)]+ iδ = −(r r )k

z

du(r0 )

+ iδ ,

(43.22)

 

z

 

 

 

0

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где r0 - корень уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

±ωLb

+ kz [u0 u(r)]= 0 .

 

 

 

 

(43.23)

При получении (43.22) было использовано дисперсионное уравнение (43.19) нулевого по u приближения.

Подставляя (43.22) в правую часть соотношения (43.21) и совершая предельный переход δ → +0 , получим

R

αωLb2

 

dψ 2

2

dψ02

 

 

 

 

rdr iπωLbr0

 

.

(43.24)

α(r r ) iδ

 

dr

dr

0

0

 

 

 

 

 

 

Здесь α = kz du dr = kz u R , а ψ0 =ψ (r0 ) . При вычислении (43.24) была использована из-

вестная формула Сохоцкого. С учетом (43.24) из (43.21) находим следующее дисперсионное уравнение первого по u приближения:

(ω kzu0 )2 ωLb2

= iπωLb2

r dψ 2

dr

2 .

(43.25)

0 0

 

 

 

 

(k 2 + kz2 )ψ

 

 

Будем искать решение уравнения (43.25) в виде

 

ω = kzu0 ±ωLb +δω , | δω | << ωLb ,

 

(43.26)

где δω - мнимая поправка к частоте. Подставляя (43.26) в (43.25), имеем

 

δω = ±iπωLb

r dψ 2 dr

2 .

 

 

(43.27)

0

0

 

 

(k 2

+ kz2 )ψ

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем последнюю формулу к более простому виду. Из (43.23) и (43.20) находим

215

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

k 2 = ω2 R2

 

(u)2 r2 .

 

 

 

 

(43.28)

z

Lb

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку

здесь

 

малая

 

величина

u входит в знаменатель, естественно

считать, что

kz2 >> k 2 . Тогда выражение (43.27) для δω записываем в следующем виде:

 

δω = ±iπ

 

1

 

u

 

2 r2

r

dψ

2

.

(43.29)

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωLb R

 

 

 

ψ

2

0 dr

 

 

 

В качестве иллюстрации приведем выражение для δω в случае азимутально симметричных возмущений системы

δω = mi4π

1

 

u 2

r

3

J

 

(µ

r R)J

(µ

r R)

.

(43.30)

 

 

 

 

0

 

 

0

 

0s 0

1

 

0s 0

 

ωLb

R

 

R

 

 

 

 

J12 (µ0s )

 

 

 

В зависимости от взятого в (43.30) знака и от знака произведения функций J0 (x)J1 (x)

возможно как затухание возмущений, так и их раскачка, т.е.неустойчивость. И нарастание и затухание возмущений обусловлены резонансным черенковским взаимодействием (взаимодействие волна-частица) между волной (43.12) пространственного заряда пучка и слоем ре-

зонансных электронов, для которых выполнено условие ω kzu(r0 ) = 0 . Явление вполне ана-

логично прямому и обратному затуханиям Ландау. Разница только в том, что затухание Ландау обусловлено тепловым разбросом частиц по скоростям, а резонансная slippingнеустойчивость обусловлена различием скоростей частиц из-за пространственной неоднородности потока. Условие применимости формул (43.29) и (43.30) сводятся, как это следует из (43.26), к неравенству

 

u 2

r

3

 

4π

 

 

0

 

<< ωLb2 .

(43.31)

 

 

R

 

R

 

 

В силу (43.28) резонансная slipping-неустойчивость является коротковолновой. Одна-

ко, при большом значении производной dudr такая неустойчивость смещается в длинно-

волновую область, а инкремент ее по порядку величины равен kz R dudr .

Учтем теперь наличие внешнего магнитного поля. Если это поле бесконечно велико,

то 2bε b 0 и дифференциальное уравнение (40.18) записывается в виде

1 d

r

dψ

l2

ψ k 2ε(r)ψ = 0 ,

(43.32)

 

 

 

 

 

r dr

dr

r2

 

 

z

 

где ε(r) дается формулой (43.2). Если распределения плотности и скорости электронов пуч-

ка определить формулами (43.3) и положить, например, u 1 = 0 , то уравнение (43.32) будет описывать колебания цилиндрической плазмы, обдуваемой полым электронным пучком. В такой системе возможна обычная пучково-плазменная неустойчивость, подробно рассмот-

ренная нами в § 37. Резонансные (ω kzu(r) 0 ) раскачка и затухание возмущений описы-

216

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ваются уравнением (43.32) и при плавной зависимости u(r) . Однако, к явлениям типа slip- ping-неустойчивости мы эти процессы причислять не будем. Условимся для slippingнеустойчивостей считать важным как наличие градиента продольной скорости электронов, так и возможность их поперечного к направлению внешнего магнитного поля смещения. Поэтому запишем дифференциальное уравнение (40.18) для случая достаточно большого,

ωLb2 << Ωe2 , но все же конечного внешнего магнитного поля и для однородного по r распреде-

ления плотности электронов пучка

 

1 d

dψ

 

l

2

 

2

 

 

2

 

 

l

 

2

 

du(r)

 

 

 

 

 

 

 

 

ωLb

 

 

 

ωLb

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

ψ

kz

1

 

ψ

= kz

 

ψ

 

 

 

.

(43.33)

r

dr

dr

r2

(ω kzu(r))2

r

e (ω kzu(r))2

 

dr

Проанализируем уравнение для случая малого градиента скорости u(r) ,

например,

для распределения (43.20). Умножим обе части уравнения (43.33) на собственную функцию

ψ (r) и проинтегрируем его по rdr

 

в пределах от нуля до

R . При этом в знаменателях

ω kzu(r)

пренебрежем членами ~ kz u по сравнению с ω . В результате чего получим сле-

дующее дисперсионное уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

lkz

 

 

2

 

u

 

 

2

2

 

ωLb

 

 

 

 

 

ωLb

 

 

 

k

+ kz

1

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

G ,

(43.34)

(ω kzu0 )

2

e

 

(ω

kzu0 )

2

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

G = Rψ 2dr R rψ 2dr ~

1 .

0

0

R

Из уравнения (43.34) для частоты ω находим

 

 

 

2

1 2

 

l u

 

ω = kzu0

 

 

kz

 

1

.

±ωLb

2

2

 

ekz R R

 

k

+ kz

 

 

 

(43.35)

(43.36)

Неустойчивость имеет место при выполнении неравенства

 

| kz | < k0

| l |

 

| u |

.

 

(43.37)

 

 

 

 

 

 

 

 

R | e | R

 

При k0 < k максимальный инкремент достигается при kz = k0

2 и составляет

δω = iω

 

 

 

| l |

 

 

| u |

.

(43.38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lb 2k R | e | R

 

Рассмотренные неустойчивости приводят не только к выравниванию поперечного профиля скорости электронов пучка, но и к перемешиванию соседних слоев электронов. Последнее связано с возможностью поперечного смещения электронов в конечном внешнем магнитном поле. Поэтому при slipping-неустойчивости ламинарное движение электронов пучка становится турбулентным.

217

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

§ 44. Неустойчивость пучка с неоднородным поперечным профилем плотности - диокотронная неустойчивость

Данная неустойчивость развивается в частично нейтрализованном электронном пучке с радиально неоднородным профилем плотности и обусловлена его азимутальным вращением. Считаем, что нейтрализация пучка обеспечивается фоном бесконечно тяжелых ионов,

электроны фона отсутствуют, а продольная скорость электронов пучка Vbz(s) u постоянна в поперечном сечении. Ограничимся рассмотрением только длинноволновых возмущений, для чего в общем уравнении (40.18) положим продольное волновое число kz = 0 . Предположим также, что выполнены следующие неравенства:

ω lωb(s) (r) 2 << Ωe2 γb2 ,

ωLb2 << Ωe2γb1 ,

(44.1)

[ωb(s) (r)]2 << Ωe2 γb2 .

 

В условиях (44.1) и при kz = 0

записано в следующем виде:

 

1

 

d

r

d

l2

ψ = −

l

ψ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

r

2

 

r

 

r dr

 

 

 

 

 

основное дифференциальное уравнение (40.18) может быть

1

 

dωLb2 (r)

.

(44.2)

e (ω lωb(s) )

 

dr

 

 

 

Рассмотрим трубчатый электронный пучок с профилем плотности, заданным формулой (см. распределение (23.13))

 

 

0,

0 < r < rb1

 

 

ω2

(r) =

ω2

= const, r

r r

.

(44.3)

Lb

 

Lb

b1

b2

 

 

 

 

0,

 

r > r

 

 

 

 

 

 

b2

 

 

В силу последнего неравенства (44.1) пучок вращается с меньшей из двух возможных угловых скоростей (23.14), т.е.

 

(s)

 

()

 

e

 

 

 

2γ0ωLb2

 

 

2

)(1

 

2

 

2

1 2

 

 

 

ω

 

(r) = ω

 

(r) =

 

 

1

 

1

 

(1 f

β

 

r

 

r

 

 

 

,

(44.4)

 

b

 

b

 

2γ

0

 

 

 

 

2

 

 

0

 

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где β0 = uc , γ0 = (1β02 )12 . При малой плотности электронов пучка (см. второе неравенст-

во (44.1)) выражение для угловой скорости (44.4) упрощается

ωb() (r) = ωD (1rb21

r2 ), ωD =

ωLb2

(1f β02 ) ,

(44.5)

2e

 

 

 

 

где ωD - угловая скорость, обусловленная дрейфовым движением электронов в скрещенных собственном электрическом и внешнем магнитном полях (см. (20.11) и (42.12)) и с учетом собственного азимутального магнитного поля.

Подстановка ступенчатого распределения (44.3) в правую часть уравнения (44.2) при218

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

водит к следующему уравнению:

1 d

r

d

 

l2

 

l

 

 

ωLb2

 

 

[δ(r rb1 ) δ(r rb2 )] ,

(44.6)

 

 

 

 

 

 

ψ

= −

 

ψ

 

 

 

 

r dr

 

dr

 

r

 

 

r

 

e (ω lωb

(r))

 

 

 

которое вне точек r = rb1

и r = rb2

является однородным. Общее решение однородного урав-

нения (44.6) есть линейная комбинация функций r l и r l . Поэтому, если при r = R > r

на-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2

 

ходится металлический кожух, то решение уравнения (44.6), удовлетворяющее условиям |ψ (0) | < ∞ и ψ (R) = 0 , имеет вид

Arl ,

0 < r < rb1

 

 

rb1 < r < rb2

(44.7)

ψ (r) = Brl + Crl ,

D(rl R2l rl ), rb2 < r < R

 

Для исключения постоянных A, B, C, D следует использовать граничные условия в точках

r = rb1 и r = rb2 , в которых правая часть уравнения (44.6) имеет сингулярность. Первые два условия заключаются в непрерывности потенциала

ψ (rb1

+ 0) ψ (rb1

0) = 0,

(44.8)

ψ (rb2 + 0) ψ (rb2 0) = 0.

 

Еще два условия получаются интегрированием с весом r уравнения (44.6) по бесконечно малым окрестностям особых точек правой части, что дает

ψ (rb1 + 0) ψ (rb1 0) = −

l

 

ψ (rb1 )

ωLb2

 

 

e (ω lωb() (rb1 ))

,

 

rb1

(44.9)

 

l

 

 

 

ωLb2

ψ (rb2 +0) ψ (rb2 0) =

ψ (rb2 )

 

 

 

e (ω lωb() (rb2 ))

,

 

rb2

 

где штрихом обозначено дифференцирование по r. Как видно из (44.5) имеют место соотно-

шения ωb() (rb1 ) = 0 и ωb() (rb2 ) =ωD (1rb21 rb22 ).

Подставляя решение (44.7) в граничные условия (44.8) и (44.9) и исключая постоянные A, B, C, D , после простых, но довольно громоздких вычислений получим следующее

квадратное дисперсионное уравнение для определения собственных частот ω :

 

(ω ωD )2 a (ω ωD )+ b = 0 ,

 

(44.10)

где

 

 

a = l(1 rb21 rb22 )+ ((rb2 R)2l (rb1

R)2l ),

(44.11)

b = l(1 rb21 rb22 )(1 (rb1 R)2l )(1 (rb1 rb2 )2l )(1 (rb2 R)2l ).

 

Решение уравнения (44.11) имеет вид

 

 

ω = ωD [a ± a2 4b].

 

(44.12)

2

 

 

219

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Частоты (44.12) действительные, т.е. рассматриваемая система устойчива, если вы-

полнено неравенство a2 4b . Не сложно показать, что для любых l условие устойчивости выполнено при rb1 = 0 , или при rb2 = R . Кроме того, не зависимо от значений радиусов rb1 , rb2 и R устойчивы возмущения с l = 0 и l =1 . Таким образом для возникновения неустой-

чивости необходимо наличие у пучка двух свободных границ. Можно считать, что неустойчивость, если она есть, обусловлена взаимодействием поверхностных волн, бегущих по внутренней и внешней границам пучка, движущимся относительно друг друга из-за шира угловой скорости (44.5). Инкремент данной неустойчивости, называемой диокотронной, по порядку величины, как это следует из (44.12), равен дрейфовой частоте ωD .

На Рис. 44.1 для примера построены безразмерные инкременты диокотронной неус-

тойчивости δ = 2 ImωωD для трубчатого пучка в волноводе с R = 2см и различных радиу-

сах rb1 и rb2 . Неустойчивость имеется только в конечном диапазоне азимутальных волновых чисел l . Причем, чем меньше толщина пучка, тем шире этот диапазон и больше инкремент:

при rb2 rb1 = 0.1см неустойчивы моды с l от 2 до 13, а максимум инкремента δ = 0.725 дос-

тигается при l = 9 (кривая 1); при rb2 rb1 = 0.6см неустойчивы только вторая и третья моды,

а максимум инкремента δ = 0.279 имеет вторая мода (кривая 4). С дальнейшим увеличением толщины пучка неустойчивость остается лишь на второй моде: при rb2 rb1 =1см δ = 0.116 .

А при еще большей толщине неустойчивость совсем пропадает. Диокотронная неустойчивость приводит к поперечному расслоению трубчатого электронного пучка на токовые нити. Число нитей по-видимому совпадает с азимутальным числом l , на котором достигается максимум инкремента.

220

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке ЭЛТ