27_VaN[1]

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

Аппаратные средства вычислительной техники

Файл:

(t, z, r ) exp(−iωt +i(k + χ)z)+C.С.].

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

4.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2926 27 28 29 > Следующая >>>

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ln(R r ) ln(R r

), r

≤ r

(50.18)

Θ =

e .

ln(R r

) ln(R r ), r

≤ r

Уравнение (50.17) совпадает с общим дисперсионным уравнением (39.2), если положить

ω2

2 γ −3

ΩLe = k

−

, ΩLb = k

(50.19)

k e

k bu

Однако учет зависимости Ω2Le

от k

и ω в (50.19) очень существенен (особенно в случае ре-

лятивистского пучка). Поэтому прямое применение результатов анализа уравнения (39.2) к уравнению (50.17) не допустимо – требуется его предварительное преобразование.

Используя малую плотность электронного пучка, подставим в правую часть уравнения (50.17) ω = ku . Преобразуем также выражение в первой квадратной скобке в левой части уравнения (50.17). В результате получим

−3

ωLe

2 ωLbγ

ωLe

ωLbγ

−k

(ω −ku)

−k

Θk

. (50.20)

c2 +ω2

k2 u2γ 2

γ 2

c2 +ω2

k2 u2γ 2

Le b

К последнему уравнению уже можно применить общий анализ § 39, что дает следующие результаты. При выполнении неравенства (см. (39.11))

	ωLb2 γ −1	c	ωLe2
16	k 2bu2	<< Θ u	k 2ec2 +ωLe2	(50.21)

имеет место пучково-плазменная неустойчивость в режиме одночастичного эффекта Черенкова, инкремент которой дается формулой (см. (39.10))

	−1	+ i	3	Θ		2	−5				2	2 1 3
δω =	−1	+ i	3	Θ		ωLbγ		2		+	k ec		ω0 .	(50.22)
δω =		2		γ	2	2		2	1	+	2		ω0 .	(50.22)
		2		γ		2k bc					ωLe

Если выполнено неравенство противоположное (50.21), то неустойчивость развивается в режиме коллективного эффекта Черенкова и имеет следующий инкремент развития (см. (39.14)):

δω = 1 i

−5

1 2

(50.23)

ωLbγ

1 + k ec

γ 2

k 2

ω2

Одновременное равенство нулю выражений в скобках в левой части уравнения (50.20)

дает не уравнение для резонансных k0

и ω0 , а следующее соотношение

ωLe2

−

ωLb2

γ −5

(50.24)

k 2

c2 +

ω2

k 2

При получении уравнения (50.17)

считалось, что ω0 << ωLe (а точнее

ω0 → 0 ), поэтому

(50.24) есть условие резонанса плазменной и пучковой волн фактически на нулевой частоте

251

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

(при этом точка II на Рис. 50.1 находится в начале координат). Если левая часть в (50.24) меньше правой, то пучково-плазменной неустойчивости вообще нет. При увеличении левой части в (50.24) частота ω0 возрастает ( 0 < ω0 → ωLe ). Поэтому условие (50.24) есть пороговое условие неустойчивости в рассматриваемой пучково-плазменной системе. Если положить

ωLb2 = 0 , то (50.24) перейдет в (50.16). Для определения резонансной частоты ω0 надо исхо-

дить не из асимптотических (ω0 → 0 ) уравнений (50.17) или (50.20), а из точной системы

(50.8), которая решается только численно (см. Рис. 50.1). После того как ω0 найдена форму-

лами (50.22) и (50.23) можно пользоваться без ограничений вплоть до частот ω0 ~ cre .

Применим формулы (50.22) и (50.23) для определения стартовых (пороговых) условий начала генерации в плазменном резонаторе длины L . Поясним, что (50.24) есть пороговое условие неустойчивости в бесконечно длинной системе. Учитывая связь Imω = a и используя формулу (50.23), найдем выражение для общего параметра (45.10) при коллективном режиме взаимодействия тонких трубчатых пучка и плазмы в волноводе

a =	1	Θ
a =	2	γ 2
	2	γ 2

2	−5	1 2			2	2
ωLbγ	2			+	k ec
2	2		1	+	2
k bc					ωLe

1 2	1 2			.	(50.25)
		ω		.	(50.25)
			0

Аналогично, используя связь Imω = b 3 2 и формулу (50.22), для общего параметра (45.13)

имеем

Θ			ω2 γ −5				k 2	c2	1 3
b =			Lb			+	e			ω0 .	(50.26)
b =	γ	2	2	2	1	+	2			ω0 .	(50.26)
	γ		2k bc				ωLe

Подставляя (50.25) в общее условие (46.11), найдем стартовое условие начала генерации в плазменном резонаторе в условиях коллективного эффекта Черенкова

−5

1 2

2 1 2

1 2

> 2

arcch

(50.27)

ωLbγ

+ k ec

γ 2

k 2

ω2

| κ κ

1 2

Далее, подставляя (50.26) в общее условие (48.16), получим стартовое условие начала генерации в плазменном резонаторе в условиях одночастичного эффекта Черенкова

−5

2 1 3

2 u

ωLbγ

k ec

L ln

| .

γ 2

2k 2

c2 1

ω2

| κ κ

(50.28)

При получении (50.27) и (50.28) вместо групповой скорости плазменной волны Vg в общие формулы была подставлена скорость пучка u , что в области применимости выражений для инкрементов (50.22) и (50.23) - ω0 <~ cre - вполне оправдано.

В случае плотной плазмы (ωLe2 >> k 2ec2 ) и ультрарелятивистского электронного пучка

252

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

( γ >>1) стартовым условиям (50.27) и (50.28) можно придать более простую и удобную для практических применений форму, а именно:

Ib0

1 4

| ,

(50.27а)

L > 0,3γλ0

Θ arcch

| κ κ

Ib0

1 3

L > 0,2γ

λ0

| .

(50.28а)

3 Θ ln

| κ κ

1 2

Здесь λ0 = 2πcω0 - длина волны генерируемого излучения в вакууме, Ib - ток пучка, а Ib0 -

предельный вакуумный ток. Напомним, что в волноводе с плазменным заполнением ток пучка может превосходить Ib0 . При получении формул (50.27а) и (50.28а) использовано, что в соответствии с результатами § 26 (см. (26.10) и (26.12)) при Ib = Ib0 имеет место соотноше-

ние ωLb2 γ −1 = k 2bu2 .

§ 51. Ондуляторное излучение

Если фазовая скорость волны больше скорости света, то ее черенковское излучение прямолинейным электронным пучком невозможно. Рассмотрим излучение осциллирующего электрона, движущегося по закону

r	r r	r&	r	r	r	cos Ω0t ,	(51.1)
re (t) = ut + q sin Ω0t,		re (t) = ve (t) = u			+ qΩ0

где ur и q - постоянные векторы, а Ω0 - частота осцилляций электрона. Эти осцилляции мо-

гут быть обусловлены воздействием на электрон некоторого периодического внешнего поля - поля накачки. Электродинамические системы с таким полем получили название ондуляторов, а излучение, которое мы намерены сейчас рассмотреть называют ондуляторным. По физической природе ондуляторное излучение является дипольным.

Вычислим работу W , совершаемую в единицу времени полем монохроматической электромагнитной волны

E(t, r )

exp(−iωt + ikr ) + C.C.

(51.2)

над электроном, совершающим движение (51.1):

W (t) = evr (t)E(t, rr)

r r

+∞

r =re (t )

(51.3)

e ∑

uE0 Jn (kq) +

qE0Ω0

(Jn−1 (kq) + Jn+1

(kq)) exp(−i∆nt) + C.C.

n=−∞

Здесь Jn (x) - функции Бесселя порядка n , а ∆n = ω − kur − nΩ0 . При получении (51.3) была использована известная формула

253

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

+∞

exp(±ix sin α) = ∑Jn (x) exp(±inα) .

n=−∞

Среднее за интервал времени t

значение работы W определяется выражением

1 t

′

+∞ rr

rr sin ∆nt

W =

W (t )dt

= e

(kq) +

Ω

(kq) + J

(kq))

t ∫0

∆nt

n∑=−∞

n−1

n+1

Главный максимум средней работы W достигается при | ∆n | t < π2 , или

| ∆n | < π →0 ,

2t t→∞

(51.4)

(51.5)

а при ∆n ≠ 0 будет W = 0 . Учитывая, что равенство ∆n = 0 может выполняться только для какого-то одного n , запишем следующее предельное соотношение:

	e(urEr0 Jn (kqr) + (1 2) qrEr0Ω0 (Jn−1 (kqr) + Jn+1 (kqr))),		∆n = 0,	(51.6)
lim W =		0,	∆n ≠ 0.
t→∞

Равенство W = 0 означает, что излучение электрона отсутствует. Если же W ≠ 0 , то имеет место сильное взаимодействие электрона с высокочастотным электромагнитным полем, т.е. возможно излучение электромагнитных волн.

Итак, одно из условий излучения есть ∆n = 0 . Второе условие состоит в том, что из-

лучаемая волна является собственной волной системы, в которой движется электрон. Объединяя указанные условия, запишем следующие общие соотношения, определяющие частоту излучения осциллирующего электрона:

ω − ku − nΩ0 = 0,	n = 0,±1,±2,K,	(51.7)
Dw (ω, k) = 0,		(51.7)
Dw (ω, k) = 0,

где Dw (ω, k) - функция, определяющая дисперсию излучаемых волн (см. (45.1) и (45.3)).

При n = 0 имеет место обычное черенковское излучение (см. предыдущий параграф), которое, если нет замедления волн, невозможно. Нас здесь интересует ондуляторное излучение, т.е. излучение в условиях (51.7) при n ≠ 0 . Предположим, что выполнено неравенство

| krqr | <<1, означающее малость амплитуды осцилляций электрона (см. (51.1)). Поскольку при x <<1 Jn (x) ~ xn <<1, то из (51.6) следует, что основной вклад в работу поля излучения над электроном могут дать только резонансы n = 0,±1 . Исключая случай черенковского излуче-

ния n = 0 и полагая, что электрон излучает в вакуумном волноводе, запишем условия ондуляторного излучения в виде

ω − ku m Ω0 = 0, (51.8)

ω2 − k 2c2 −ω2 = 0.

Здесь ω ~ cR - частота отсечки волновода, R - его поперечный размер. Линии, опреде-

254

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ляемые соотношениями (51.8) при ω = 0 , приведены на Рис. 51.1. Частотам излучаемых волн соответствуют точки пересечения линий на рисунке. Если ω2 >> ω2 , то частоты излу-

чения вычисляются из (51.8) по формулам

= ±Ω

ω±1

0 c −u

(51.9)

ω±2

= ±Ω

= −

0 c + u

Легко видеть, что формула (51.2) инвариантна относительно замены (ω+

, k + ) на (ω−

, k − ) и

(ω+2 , k2+ ) на (ω−2 , k2− ). Поэтому в первом условии (51.8) и формулах (51.9) достаточно оставить только один знак, например, верхний.

В случае релятивистской скорости пучка частоту ω1 = ω+1

можно преобразовать к

следующему виду:

−1

ω1 = Ω0 1 −

= Ω0

1 +

−

≈ 2γ Ω0 .

(51.10)

Частота излучения релятивистского электрона оказывается в 2γ 2 раз выше, чем частота его осцилляций. Высокая частота ондуляторного излучения релятивистских пучков делает его привлекательным для решения одной из важных проблем релятивистской СВЧ электроники – получения как можно более коротковолнового электромагнитного излучения – миллиметрового, оптического и даже рентгеновского диапазонов. СВЧ приборы – усилители и генераторы - на ондуляторном излучении релятивистских электронных пучков получили название лазеров на свободных электронах - ЛСЭ.

§ 52. Лазеры на свободных электронах

Рассмотрим лазер на свободных электронах, основанный на ондуляторном излучении электронов пучка в электростатическом поле накачки с продольной составляющей вида

E	z0	=	1	(E	(rr	) exp(iχz) + С.С.).	(52.1)

			2	0

Период ондулятора есть 2πχ , где χ - постоянная. Пучок, движущийся вдоль оси Z , счита-

ем бесконечно тонким и полностью замагниченным сильным внешним продольным магнитным полем. Предположим также, что взаимодействие электронного пучка с полем (52.1) и электромагнитным излучением происходит в некотором вакуумном волноводе с произвольным поперечным сечением.

Будем исходить из следующей системы уравнений для поляризационного потенциала

255

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

	ω
ω = −kc	ω = kc

ω = ku + Ω0

(ω+1 , k1+ )

(ω+2 , k2+ )

(ω−2 , k2− )

ω = ku − Ω	0	(ω−	, k − )
	0	1	1

Рис. 51.1

Частоты излучаемых волн при ондуляторном излучении

256

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ψ электромагнитного поля

E −типа (см. (28.6), (28.7)) и уравнений движения релятивист-

ских электронов пучка:

∂

r r

2 −

= 4πen0b Sbδ(r − rb )ρb ,

∂z

∆

∂z

∂t

∂

−

∂z

∂t

ψ,

∫

dz δ[z − z(t, z

)],

(52.2)

2 3 2

= vˆ,

(Ez + Ez0 ),

1 −

z t=0 = z0 , v t=0 = u.

При написании уравнений (52.2) было использовано выражение (33.20) для плотности заряда электронов пучка, где zˆ(t, z0 ) координата электрона, находившегося при t = 0 в точке z0 .

Кроме того, в уравнениях (52.2) Ez – продольная составляющая общего самосогласованного СВЧ поля, которое включает как поле ондуляторного излучения, так и поле высокочастотного пространственного заряда пучка (т.е. поля, возникающего при модуляции пучка полями излучения и накачки), Ez0 - электростатическое поле накачки (52.1), а остальные обозначения совпадают с использовавшимися ранее.

Представим поляризационный потенциал ψ общего СВЧ поля в следующем виде:

ψ =ψ~ +ψ b ,
ψ~ =	1	ϕ	(rr	)[A (z, t )exp (− iωt + ikz )+ C.C.]. .	(52.3)
	2
		s		s

Здесь ψ~ - часть общего СВЧ поля, описывающая ондуляторное электромагнитное излучение,

ψb - уточняется ниже и описывает поле высокочастотного пространственного заряда реляти-

вистского электронного пучка, ϕs (rr ) – собственная функции поперечного сечения волново-

да, As (z,t) – медленно изменяющаяся амплитуда, а ω ≈ ω0 и k ≈ k0 – частота и волновое чис-

ло излучаемой в ондуляторе волны (ω0 и k0 определяются из системы (51.8)). Запись поля излучения в форме (52.3) предполагает, что релятивистский пучок резонансно излучает единственную поперечную моду волновода с номером s , а медленность амплитуды As (z,t)

означает, что выполнены неравенства

∂As	<< \| ωA	\|,	∂As	<< \| kA \| .	(52.4)


∂t	s		∂z	s

Движение электронов релятивистского пучка в ондуляторе можно разделить на быстрые и медленные составляющие. В линейном по амплитудам волн приближении, движение в

257

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
поле накачки (52.1) характеризуется частотой
Ω0 = χu ,	(52.5)
а движение в СВЧ поле ψ (см. вторую формулу (52.3)) имеет частоту
~
∆0 = ω − ku .	(52.6)

При написании (52.5) и (52.6) учтено, что невозмущенное движение электрона пучка описы-

вается формулой z = ut + z0 . Обе частоты (52.5) и (52.6) отличны от нуля, а поэтому опреде-

ляют быстрые составляющие движения электронов. В следующем, квадратичном по ампли-

тудам волн приближении, возникают частоты ∆0 m Ω0 , одна из которых мала. Предположим,

что мала частота ∆0 − Ω0 , т.е.

| ∆1 | ≡ | ω − ku − Ω0 | << | ∆0 |, Ω0 .

(52.7)

Малость расстройки ∆1 является необходимым для возникновения вынужденного ондуля-

торного излучения условием резонанса (см. первое уравнение в (51.8)), а неравенства (52.7) позволяют разделить движение релятивистских электронов на быстрые и медленные составляющие.

Высокочастотный пространственный заряд пучка возникает при его модуляции, обусловленной нелинейным взаимодействием полей излучения и электростатической накачки,

т.е. на частоте ~ ∆1 . Поэтому поляризационный потенциал поля высокочастотного простран-

ственного заряда пучка можно представить в виде:

Здесь Ab (t, z, r ) - медленно меняющаяся функция от z и t . Заметим, что в силу неравенств

(52.7) движение электронов в поле высокочастотного пространственного заряда пучка является медленным. Для математически корректного описания ондуляторного излучения следу-

ет предположить, что все возмущения, в том числе и потенциалы ψ~ и ψb имеют некоторый общий пространственный период L0 . В частности это значит, что волновые числа k и χ кратны величине 2πL0−1 . Конкретное значение L0 никакой роли не играет и в принципе мо-

жет быть сколь угодно велико.
Представим координаты и скорости электронов пучка в виде
z(t, z		) = z	′	~
z(t, z	0	) = z		+ ut + z ,
ˆ	0			~			(52.9)
v ( t , z		) = v	′				(52.9)
v ( t , z		) = v	′
ˆ	0
где z′ и v′ – медленные составляющие (при t = 0 z′ = z0 ), а					~	и	~
					z	и	v – быстрые осцилляции.

Предположим также, что выполнены неравенства

258

		Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
\| kz \|<<1	;	\| χz \|<<1	,	\| γ		v c \|<<1,	(52.10)
~		~			2	~

означающие, что быстрые осцилляции малы и не являются релятивистскими.

Подставляя (52.9) в уравнения движения электронов пучка (четвертое и пятое уравнения системы (52.2)), учитывая неравенства (52.10) и вторую формулу системы (52.2), полу-

чим, в линейном по амплитудам E0 (r ) и As (z,t) приближении, выражение для быстрых со-

ставляющих координат электронов

z = −

γ ′

−

ϕ (rr )A (z,t)

exp(ik0 z′−i∆0t)+

k s

s b

С.С.

2 m

∆0

(52.11)

E0 (rrb )

exp(iχz′+ iΩ0t)+ С.С. .

Ω0

Здесь γ ′ = (1 − (v′ c)2 )−1 2 , а

k s - поперечное волновое число, соответствующее собственной

функции ϕ

(rr

) . Заметим, что поле высокочастотного пространственного заряда (52.8) вкла-

да в (52.11) не дало, поскольку согласно (52.7) движение в этом поле является медленным.

Подставим второе выражение (52.3) в первое уравнение системы (52.2), домножим

это уравнение на ϕ

(rr ) exp(iωt − ikz),

учтем медленность амплитуды A (z,t)

и проинтегри-

руем уравнение по поперечному сечению волновода и по

в пределах от z − L0 2 до

z + L

2 (при этом учитываем второе уравнение (51.8) и соотношение ω2 = k

c2 ). В резуль-

тате для амплитуды поля излучения As (z,t)

получим следующее уравнение :

∂A

(r ) 1

z +L0 2

s +V

= −4πen

∫

exp(iωt −ikz(t, z

)dz

(52.12)

∂t

g ∂z

0b ωk

b || ϕ

||2 L

z −L

где Vg

= c2 (k ω) - групповая скорость излучаемой волны. Правая часть уравнения (52.12) со-

держит как быстро меняющиеся, так и медленные члены. Разложим ее, с учетом первого не-

равенства (52.10), по величинам			~	и отбрасывая члены, которые меняются быстро, получим
равенства (52.10), по величинам			z	и отбрасывая члены, которые меняются быстро, получим
следующее уравнение для медленной амплитуды As (z,t)						поля ондуляторного излучения:
∂As	∂As	c2ωLb2	E0		ˆ
∂t	+Vg ∂z = −i	4ω Gs	Ω02			(52.13)

При записи уравнения (52.13) отброшен вклад пучка в дисперсию электромагнитных волн волновода, сделана замена ϕs (rrb ) As (z, t) → As (z, t) , использованы обозначения E0 ≡ E0 (rrb ) и

Gs = Sbϕs2 (rrb ) || ϕs ||−2 , и введена следующая величина, зависящая от возмущения плотности электронного пучка:

	2	z +L	2
ˆ	2	0		′−3	′	)dz0 .
=	L	∫γ			exp(i∆1t) exp(−i(k + χ)z	)dz0 .	(52.14)
	0	z −L	2
		0

259

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Правая часть уравнения (52.13) позволяет определить значение пространственного периода L0 , введенного для удобства вывода уравнений ондуляторного излучения. Фазиров-

ка электронов пучка определяется экспоненциальным множителем exp(−i(k + χ)z′), который и задает пространственный масштаб модуляции пучка при излучении, обусловленном взаи-

модействием с электростатической накачкой. Естественно положить L0 = 2π(k + χ)−1 . Ха-

рактерная длина L0 – комбинационная длина волны, как это и должно быть, совпадает с про-

странственным периодом поля высокочастотного пространственного заряда пучка (52.8). Перейдем теперь к определению поля высокочастотного пространственного заряда

пучка, т.е.электрического поля ленгмюровской волны тонкого электронного пучка в металлическом волноводе (см. § 28). Если частота ω ~ (k + χ)u пучковой волны велика по сравне-

нию с частотой отсечки					волновода ω = k sc , то для вычисления электрического поля мож-
но использовать одномерное потенциальное приближение
∂Ezb = 4πen		ρ	b	,	(52.15)
∂z	0b		b
∂z

где ρb приведена в (52.2), а Ezb − искомая напряженность поля высокочастотного простран-

ственного заряда, имеющая такую же математическую структуру, что и потенциал (52.8). Подставляя функцию вида (52.8) в (52.15), находим

Ezb

= −i

4πen0b

[ exp(− iω t + i(k + χ)z)− С.С.],

(52.16)

2 (k + χ)

где

z +L0

∫exp(i∆1t) exp(−i(k + χ)z′)dz0

(52.17)

z −L

амплитуда возмущения плотности заряда пучка.

Чтобы получить уравнения для медленных составляющих координат z′

и скоростей

v′

электронов пучка подставим в последнее уравнение системы (52.2) напряженности вы-

численных электрических полей и усредним это уравнение по времени

dv′

γ ′

−3

Ez + Ezb + Ez0 .

(52.18)

Здесь

= k

- поле высокочастотного про-

ψ - поле излучения (ψ приведено в (52.3)), E

странственного заряда (52.16),

Ez0 - электростатическое поле накачки (52.1), а угловые скоб-

ки

означают

усреднение по

времени. Для усреднения

следует в (52.18)

подставить

z = z

′

, учесть выражение (52.11), и просто отбросить быстро меняющиеся члены в

+ ut + z

правой части уравнения (52.18). Опуская довольно громоздкие выкладки имеем:

260

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2926 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ЭЛТ

#
29.03.20164.53 Mб3427_VaN[1].pdf
#
29.03.2016116.12 Кб20Мониторы с ЭЛТ лекция.mht
#
29.03.20166.45 Кб22Схема монитора с ЭЛТ.gif
#
29.03.201634.05 Кб21Устройство кинескопа.jpg
#
29.03.2016133.55 Кб21Устройство монитора на ЭЛТ.jpg
#
29.03.201622.05 Кб21Устройство ЭЛТ.gif