Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
14
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
4.53 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

 

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

dz

= v

u,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

= −

1

 

i

ωLb2

 

γ 3 [ exp(i1t

+ i(k + χ)z)C.С.]

 

(52.19)

dt

2

(k + χ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

e 2

2

 

6

 

k

χ

 

)C.С.].

 

 

 

iE0

 

 

 

 

k sγ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 +

2

 

4

 

 

 

 

[As exp(i1t + i(k + χ)z

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

0

0

 

 

 

Уравнения (52.13), (52.19) и соотношения (52.14), (52.17) являются основными для исследования вынужденного излучения в электростатическом ондуляторе и расчета лазеров на свободных электронах, основанных на этом излучении. Из (52.9) следуют начальные условия для уравнений движения электронов (52.19)

z

 

t=0 = z0 ,

v

 

t=0 = u .

(52.20)

 

 

 

 

 

В линейном приближении полагаем

 

z′ = z0 +ξ,

v′ = u +ξ&.

(52.21)

Малыми возмущениями, по которым уравнения ондуляторного излучения следует линеари-

зовать являются ξ, As , . При этом γ

= γ ,

ˆ

3

, где γ - невозмущенный релятивист-

 

= γ

 

ский фактор пучка, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

z +L0

2

 

 

 

 

 

 

= −i exp(i1t)

(k + χ)ξ exp(i(k + χ)z0 )dz0 .

(52.22)

L

0

z L

2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя (52.21) в линеаризованные уравнения (52.19), исключая из них ξ&, умножая далее уравнение для ξ на exp(i1t) exp(i(k + χ)z0 ) и интегрируя его по z0 на отрезке длиной L0 ,

получим с учетом (52.22) следующее уравнение для амплитуды волны плотности заряда пучка :

 

+ u

 

i

2

= −ω

2

γ

3

1

E

e

2

k

2

 

γ

6

ω2

 

A .

 

 

 

 

 

 

 

(52.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

02

 

 

 

 

 

 

 

t

z

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Lb

 

 

 

 

 

 

 

0

mu

 

 

 

 

s

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

В (52.23) учтено, что согласно определению полной производной d dt = ∂ ∂t + u ∂ ∂z .

Объединяя с уравнением (52.23) уравнение (52.13) для амплитуды As

поля излучения,

получим следующую систему линейного приближения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

A

 

c2ω

2 γ 3

 

 

 

E

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s +V

 

 

 

s = −i

 

 

Lb

 

 

G

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4ω

 

 

s 02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

g z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(52.24)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

e

2

 

 

 

 

 

 

ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ u

 

i

= −ω

2

γ

3

E

k

2

 

γ

6

 

A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

02

 

 

 

 

 

 

 

 

t

z

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Lb

 

 

 

 

 

 

 

0

mu

 

 

 

 

s

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

Последнее уравнение системы (52.24) можно расписать более подробно

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

3

 

 

 

 

1

 

 

e 2

 

2

 

6

ω2

 

 

+ u

 

 

 

2i

 

 

 

 

+ u

 

 

 

(

 

ω

 

γ

 

 

) = −

 

 

E

 

 

 

k

 

γ

 

A . (52.25)

t

z

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

z

 

 

 

1

 

Lb

 

 

 

 

 

 

 

 

0

mu

 

s

 

 

02 s

261

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Очевидно, что аналогом первого уравнения системы (45.3) в случае ондуляторного излучения является 21 ωLb2 γ 3 = (ω ku − Ω0 )2 ωLb2 γ 3 = 0 (второе уравнение (45.3) уже использо-

вано при получении уравнения для амплитуды As ). Поэтому окончательно систему (52.24)

можно записать в виде

 

+ u

2

 

 

γ

3 2

 

+ u

1

E

 

e

2

2

γ

6

ω2

,

 

t

 

m 2iω

 

 

 

t

= −

2

 

k

 

 

A

 

 

z

 

 

Lb

 

 

 

 

 

z

0

mu

 

s

 

 

02 s

(52.26)

A

 

A

c2ω2

γ 3

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s +V

 

s = −i

 

Lb

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

g z

 

4ω

 

 

s 02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения (52.26) по структуре в точности совпадают с системой (45.6). Поэтому результаты общего анализа, проведенного в главе IX без изменений переносятся на лазеры на свободных электронах, основанные на ондуляторном излучении релятивистского электронного пучка в электростатическом поле накачки. Сформулируем окончательные результаты.

Дисперсионное уравнение, которое следует из уравнений (52.26) при подстановке в них As , ~ exp(iδω t + iδkz) , имеет вид

(δω δkV

 

)(δω δku)[(δω δku) ± 2ω

 

γ

3 2

] =

1

 

eE

0

2

k 2

c2

ωω2

γ

3 .

(52.27)

g

Lb

 

 

G

 

 

s

2

 

 

 

 

 

 

 

8

s

2

γ

2

 

Lb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

χmu

 

 

0

 

 

 

 

 

Максимальные инкременты получаются из (52.27) при δk = 0 . При выполнении неравенства

ωLb2 γ 3

 

eE0

k 2sc2

 

ω2

<<

χmu2γ 2

Gs 02

(52.28)

имеет место пучковая неустойчивость, обусловленная одночастичным ондуляторным излучением, инкремент которой дается формулой

δω =

1+ i

3

 

 

eE

 

 

2

k 2

c2

ω2

γ

3 1 3

(52.29)

 

 

G

 

0

 

s

2

Lb

 

2

 

ω .

 

4

 

 

s

2

γ

2

 

ω

 

 

 

 

 

 

χmu

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если выполнено неравенство противоположное (52.28), то неустойчивость обусловлена коллективным ондуляторным излучением и имеет следующий инкремент развития:

 

1

eE0

 

2

2

ωLbγ

3 2

1 2

 

 

 

 

k sc

 

 

 

ω .

(52.30)

δω =

4 i

χmu2γ 2

Gs

02

 

ω

 

 

Применим формулы (52.29) и (52.30) для определения стартовых условий начала генерации в ондуляторе длины L . Учитывая связь Imω = a и используя формулу (52.30), найдем выражение для общего параметра (45.10) при коллективном ондуляторном излучении

 

1

eE0

 

2

2

ωLbγ

3 2

1 2

 

 

 

 

k sc

 

 

 

ω .

(52.31)

a =

4

χmu2γ 2

Gs

02

 

ω

 

 

Аналогично, используя связь Imω = b 3 2 и формулу (52.29), для общего параметра (45.13) 262

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

имеем

b =

1

 

 

eE

 

 

2

k 2

c2

ω2

γ

3 1 3

(52.32)

 

G

 

0

 

s

2

Lb

 

2

 

ω .

 

2

 

s

2

γ

2

 

ω

 

 

 

 

 

χmu

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя (52.31) в общие условия (46.11) и (47.27), найдем стартовые условия начала генерации в ондуляторе в условиях коллективного эффекта

eE

0

 

k 2

c2 ω

Lb

γ 3 2

1 2

u

arcch | κ κ

 

|1,

ω = ω+ ,

 

 

 

s

 

 

 

 

> 4 ωL

 

1 2

 

1

 

χmu2γ 2

Gs

2

 

ω

 

arccos | κ κ

2

|1,

ω = ω+. .

(52.33)

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

Здесь ω+1 > 0 и ω+2

> 0 - частоты, определенные в (51.9). При ω = ω+1

генерация происходит

на попутной волне (Vg

~ c > 0 ), а при ω = ω+2

генерируется встречная волна (Vg ~ c < 0 , см.

Рис. 51.1).

Подставляя далее (52.32) в общие условия (48.16) и (49.6), получим стартовые условия начала генерации в ондуляторе в условиях одночастичного эффекта

 

 

eE

 

 

2

k 2

c2

ω2

γ

3 1 3

G

 

0

 

s

2

Lb

 

2

 

 

s

2

γ

2

 

ω

 

 

χmu

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

u

(4 3) ln 3 | κ κ

|1, ω = ω+

,

.

(52.34)

 

 

2 p(| κ1κ2

1 2

1

 

 

ωL

|),

ω = ω2+.

 

 

При получении (52.33) и (52.34) вместо групповой скорости излучаемой в ондуляторе волны

Vg в общие формулы была подставлена скорость света c , а при вычислении частот излуче-

ния отброшены поправки ~ ωLb , что справедливо при ω+1,2 >> ω , ωLbγ 32 .

§ 53. СВЧ генераторы на основе периодических волноводов

Излучение пучка электронов прямолинейно и равномерно движущихся в системе, параметры которой (диэлектрическая проницаемость, радиус и т.п.) являются периодическими функциями пространственных координат, аналогично ондуляторному излучению осциллирующих электронов. Формальная разница заключается в том, что в периодической системе осциллируют не сами электроны, а их изображения (т.е. заряды и токи, наведенные в системе движущимися электронами). В качестве примера рассмотрим излучение прямолинейного пучка электронов в гофрированном волноводе. Так называется симметричный металлический волновод кругового сечения, радиус которого периодически зависит от продольной ко-

ординаты z . В простейшем случае эта зависимость имеет следующий вид:

 

r(z) = R + h cos χz .

(53.1)

Глубину гофрировки h считаем малой, т.е.

 

h R <<1 ,

(53.2)

и ограничимся исследованием возбуждения пучком азимутально симметричных волновод263

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ных волн E -типа. Поляризационный потенциал электромагнитного поля таких волн удовле-

творяют системе уравнений (см. (37.1))

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

2

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

+

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

= −4πPb (r ) jb ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

z

c

 

t

 

ψ

 

 

t r r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(53.3)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

ω2 γ 3

 

E

 

 

 

 

 

 

+ u

 

 

j

 

=

 

z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

b

 

 

 

 

4π t

 

 

 

 

 

 

 

Компоненты электрического поля волны вычисляются по формулам

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

Er =

 

 

 

.

(53.4)

 

Ez =

z

 

c

 

t

ψ ,

 

rz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На металлической границе волновода r = r(z)

обращается в ноль тангенциальная со-

ставляющая электрического поля Eτ . Пусть α - угол между осью z и касательной к функ-

 

ции r(z) , тогда tgα = r (z) . Из простого геометрического построения следует, что на метал-

лической стенке волновода Eτ = Ez cosα + Er sin α .

Следовательно, граничное условие для

уравнений (53.3) записывается следующим образом:

 

(Ez + Er r(z))r=r(z) = 0 .

(53.5)

С учетом (53.1) и (53.4), с точностью до квадратичных по малому параметру (53.2) членов, граничное условие (53.5) преобразуется к виду

 

 

 

 

1

2 2

2

 

2

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + (cos χz)h

 

+

 

(cos χz) h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ

 

r

2

r2

z2

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(53.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ψ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hχ(sin χz) 1

+ (cos χz)h

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

rz r=R

 

Дифференциальное уравнение (53.3) для функции ψ (t, z, r) имеет постоянные коэф-

фициенты. Но из-за периодического по z характера граничного условия (53.6) это уравнение эквивалентно дифференциальному уравнению с коэффициентами, являющимися периодическими функциями z . Из теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами следует, что для функции ψ (t, z, r) имеет место следующее представление:

+∞

 

ψ (t, z, r) = exp(iωt + ikz) φn (r) exp(inχz) .

(53.7)

n=−∞

Подставляя решение (53.7) в систему уравнений (53.3), исключая из нее плотность тока пуч-

ка jb и используя ортогональность функций exp(inχz) , получим бесконечное множество обыкновенных дифференциальных уравнений для функций φn (r)

1 d

r

dφ

n

 

2

 

 

2

P (r)

ω2

γ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

κ

 

φ

 

= −κ

 

 

φ

 

,

(53.8)

r dr

dr

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

n b

2n

n

 

 

264

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

где κn2 = (k + nχ)2 ω2 c2 , n = ω ku nχu , а n = 0, ±1, ± 2,... .

Уравнения (53.8) зацеплены между собой через граничное условие (53.6). При подстановке решения (53.7) в граничное условие (53.6) будем, используя неравенство (53.2),

учитывать зацепление только трех ближайших функций φn (r) : φn1 (r) , φn (r) , φn+1 (r) . При этом будут учтены все члены вплоть до квадратичных по малому параметру hR . В резуль-

тате несложных вычислений получаем из (53.6) и (53.7) следующую систему зацепляющихся граничных условий:

 

h

2

 

h

 

 

 

 

 

φn (r) +

 

φn′′(r) +

(Kn,n1φn1

(r) + Kn,n+1φn+1

(r))

= 0 ,

(53.9)

4

2

 

 

 

 

r=R

 

 

где Kn,m =[(k + nχ)(k + mχ) ω2 c2 ]κn2 .

Прежде чем приступить к анализу общей и довольно сложной краевой задачи (53.8), (53.9) сделаем некоторые замечания о собственных электромагнитных волнах вакуумного гофрированного волновода. Полагая ωLb2 = 0 и учитывая ограниченность поля при r = 0 , за-

пишем общее решение уравнений (53.8) в виде

φn (r) = An J0 (iκnr), n = 0, ±1, ± 2,... . (53.10)

Подставляя (53.10) в условия (53.9) получим следующую бесконечную систему однородных линейных алгебраических уравнений относительно постоянных An :

h

[Kn,n1J0(iκn1R)]An1

 

h

2

 

h

[Kn,n+1J0(iκn+1R)]An+1 = 0 . (53.11)

+ J0 (iκnr) +

 

J0′′(iκnr) An +

2

4

2

 

 

 

 

Бесконечный определитель системы (53.11) – он называется определителем Хилла – является

дисперсионным уравнением Dh (ω, k) = 0

для спектров частот ω(k)

собственных электро-

магнитных волнах вакуумного гофрированного волновода.

 

 

 

 

 

При h = 0 дисперсионное уравнение оказывается очевидно следующим:

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dh=0 (ω, k) Π J0 (iκn R) = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

(53.12)

 

 

n=−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (53.12) удовлетворятся если,

например, J0 (iκ0 R) = 0 , т.е.

ω2 = k 2c2 +ω2 , где

ω2

= k 2

c2 . Поскольку при этом J

0

(iκ

n0

R) 0 , то из (53.11) имеем

A

 

= 0 , а

A - произ-

 

m

 

 

 

n0

 

0

вольная постоянная. Таким образом из (53.10) и (53.11) при h = 0 следуют собственные частоты и собственные функции обычного вакуумного волновода кругового сечения.

При h 0 все коэффициенты An 0 , причем, если выполнено неравенство (53.2), то

A

= O(h R)n A +... .

(53.13)

±n

 

0

 

В частности A

= O(h R) A . Поправки к собственным частотам оказываются ~ (h R)2 и при

 

±1

0

 

 

 

 

265

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

hR <<1 не играют принципиальной роли (кроме сравнительно узких зон волновых чисел k

около точек ±(χ 2), ± 2(χ 2) и т.д., о чем см замечание ниже). Поэтому при малой глубине гофрировки, поскольку | ωk | > u , обычное черенковское излучение прямолинейного пучка в волноводе невозможно. Однако, из-за наличия в потенциале (53.7) пространственных гармоник с n 0 возможно резонансное взаимодействие пучка и поля при ω ku nχu 0 . В силу

(53.13) наиболее эффективным излучение будет в условиях резонанса (см. (51.8))

ω ku m χu = 0,

ω2 k 2c2 ω2 = 0,

(53.14)

рассмотрением которого мы здесь и ограничимся (в первом уравнении (53.14) условимся в дальнейшем брать знак минус).

Заметим, что при достаточной глубине гофрировки, из-за резонансного взаимодейст-

вия пространственных гармоник с разными n , при k ≈ ±(χ 2), ± 2(χ 2),K происходит значи-

тельное замедление электромагнитных волн периодического волновода. В связи с чем появляется возможность обычного черенковского излучения. Соответствующие СВЧ излучатели, называемые карсинотронами, здесь не рассматриваются.

Записывая условие резонанса в виде ω ku χu 0 (см. (53.14)) и ограничиваясь уче-

том в (53.7) только трех гармоник с n = 0, ±1 , сведем краевую задачу (53.8), (53.9) к сле-

дующей:

1 d

r

dφ1

 

2

 

 

 

 

 

 

1 d

r

dφ0

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

κ

 

φ

1

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

κ

0

φ

0

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r dr

 

dr

 

1

 

 

 

r dr

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 d

r

dφ1

κ φ

 

= −κ

2

P (r)

 

 

ω2 γ

3

 

 

φ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r dr dr

 

1 1

 

 

1 b

 

(ω ku χu)2

1

 

 

h

2

 

 

 

h

 

 

 

 

 

h

2

 

h

 

(53.15)

φ1 (r) +

 

 

 

 

φ′′1 (r) +

K1,0φ0

(r)

= 0, φ1

(r) +

 

φ′′1 (r) +

K1,0φ0(r)

= 0,

4

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

2

 

r=R

 

 

 

 

r=R

 

 

h

2

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ0 (r) +

 

φ0′′(r) +

(K0,1φ1

(r) + K0, 1φ1

(r))

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r=R

 

 

 

 

 

 

Задача (53.15) все еще слишком сложна. Поэтому ограничимся ее решением только в предельном случае электронного пучка малой плотности.

Если плотность пучка мала, то дисперсионное уравнение можно получить методом последовательных приближений. В нулевом приближении по плотности пучка (т.е. при

ωLb2 = 0 ) имеем решения (53.10). Подставляя их в граничные условия задачи (53.15), получа-

ем дисперсионное уравнение нулевого приближения (оно определяет частоты вакуумного гофрированного волновода):

2 2 ~

(53.16)

Dh (ω, k) J0 (iκ1R)J0 (iκ0 R)J0 (iκ 1R) +κ0 h D(ω, k) = 0 ,

266

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

где D~(ω, k) ~1 – функция, явный вид которой не имеет для нас значения. В следующем при-

ближении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ1 (r) = A1J0 (iκ1r),

φ0 (r) = A0 J0 (iκ0r),

φ1 (r) = A1[J0 (iκ 1r) + Φ(r)],

(53.17)

а функция Φ(r)

удовлетворяет неоднородному уравнению

 

 

1 d

r

dΦ

κ2Φ = −κ2 P (r)

ω2 γ 3

 

J

 

(iκ

 

r) .

(53.18)

 

 

 

 

 

Lb

 

 

 

 

r dr

dr

(ω ku χu)2

 

 

 

 

1

1 b

 

0

 

1

 

 

Определяя ограниченное в нуле решение уравнения (53.18), получаем следующее выражение для собственной функции первого по плотности электронного пучка приближения:

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

φ1 (r) = A1J0 (iκ 1r)[1− Φ(r)],

 

 

 

 

 

 

~

2 ωLb2 γ 3

r

2

1 r

′′ ′′

2

′′ ′′ ′

(53.19)

Φ(r) = κ 1 2

(r J0

(iκ 1r ))

r Pb (r )J0

(iκ 1r )dr dr

.

 

1

0

 

 

 

0

 

 

 

 

Подставляя функцию (53.19) и первые две функции (53.17) в граничные условия зада-

чи (53.15) и исключая постоянные A0, ±1 , приходим к дисперсионному уравнению первого приближения

Dh (ω, k) +

 

h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

= 0 .

 

 

(53.20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

K0,1K1,0 J0 (iκ 1R)J0 (iκ1R)J0

(iκ0 R)Φ (R)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отбрасывая в выражении (53.16) для Dh (ω, k)

 

 

несущественные поправки, пропорциональные

h2κ02 , запишем дисперсионное уравнение (53.20) в более простом виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

2

k mс

 

 

 

 

 

 

 

ωLbγ

 

 

 

 

 

 

ω

 

k

 

с

 

k mс

 

=

 

 

(hχ)

 

 

Gbmω

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(53.21)

 

 

 

 

2

 

 

 

χ

2

 

 

2

γ

2

 

 

(ω ku χu)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь введено обозначение для геометрического фактора электронного пучка

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gbm =

 

 

 

 

 

 

 

0

rPb (r)I0

(xR)dr

, x =

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(53.22)

R2 I02 (xR)

 

uγ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а I0 (xr) - функция Инфельда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем искать решение уравнения (53.21) в виде ω = ω0 +δω ,

k = k0 +δk , где ω0 , k0 -

решение системы (53.14). В переменных δω и δk

 

уравнение (53.21) записывается следую-

щим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

с

2

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(δω δkVg )(δω δku)

 

=

 

 

 

(hχ)

 

Gbm 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω0ωLbγ

 

.

 

 

(53.22)

 

4

 

 

 

 

χ

2

 

2

γ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Vg = k0c2 ω0 - групповая скорость излучаемой волны. Легко видеть, что между уравнени-

ем (53.22) и дисперсионным уравнением (52.27) ондуляторного излучения имеется сходство - дисперсионное уравнение (53.22) описывает пучковую неустойчивость, обусловленную од-

267

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ночастичным вынужденным излучением прямолинейного пучка электронов в гофрированном волноводе. Заметим, что в рамках теории возмущений по плотности пучка, использованной при получении уравнения (53.22), коллективный режим излучения описан быть не может.

Полагая в (53.22) δk = 0 , найдем максимальный инкремент неустойчивости, обусловленной одночастичным излучением в гофрированном волноводе (сравни с (52.29))

 

1 + i

 

3

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2

3 1 3

 

δω =

 

 

(hχ)

 

 

 

 

k mс

 

 

 

ωLbγ

ω0 .

(53.23)

 

2

 

 

4

 

Gbm 1

χ

2

2

γ

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

ω0

 

 

Учитывая теперь связь Imω = b

 

3 2 и формулу (53.23), для общего параметра (45.13) имеем

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2

 

3

1 3

 

 

 

 

b =

(hχ)

 

 

 

 

k mс

 

 

ωLbγ

 

 

 

ω0 .

 

(53.24)

4

 

Gbm 1

χ

2

2

γ

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

ω0

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя далее (53.24) в общие условия (48.16) и (49.6), получим стартовые условия начала генерации в излучателях на прямолинейных электронных пучках в слабо гофрированных резонаторах на попутной и встречной волнах, работающих в одночастичном режиме

 

1

 

 

 

k

2

с

2

 

ω

2

γ

3 1 3

3 u2 | V

g

| (2

3) ln 3 | κ κ

|1, V

g

> 0,

 

 

 

(hχ)2 G

1

m

 

 

Lb

 

>

 

 

 

 

 

1 2

 

 

.

(53.25)

4

 

 

 

 

 

ω

L

 

 

 

 

|),

V

 

< 0.

 

bm

 

χ2u2γ 2

 

 

ω2

 

 

 

p(| κ κ

2

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Возможен конечно и коллективный режим генерации в гофрированных системах. Однако рассмотрение его связано с громоздкими математическими выкладками и поэтому здесь не проводится.

§U 54. Мазеры на циклотронном резонансе

В постоянном однородном внешнем магнитном поле B0 электрон движется по закону

(см. (3.6) и (3.8))

rr

(t) = ρ

e

sin

t er

+ ρ

e

cos

t er

+ ut er

,

 

e

r&

e

x

 

e

y

z

 

(54.1)

r

 

 

 

 

 

r

 

r

r

ve (t) = re (t) = u cos et ex u sin

et ey

+ u ez ,

 

Здесь e = ωe γ , ωe = eB0 mc - электронная циклотронная частота, ρe = u e - ларморов-

ский радиус, γ = (1 u2 c2 u2 c2 )1 2 - релятивистский фактор электрона, u и u - состав-

ляющие скорости поперек и вдоль магнитного поля, а erx , ery , erz - единичные орты декартовой системы координат (внешнее магнитное поле направлено вдоль оси Z ). Вычислим работу

W , совершаемую в единицу времени полем E ={Ex , Ey , 0} монохроматической поперечной циркулярно поляризованной электромагнитной волны

Ex + iEy = E0 exp[mi(ωt kz)]

(54.2)

268

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

над электроном, движущимся по закону (54.1):

 

 

 

W (t) = evr

(t)E(t, rr)

 

r r

= eu

 

E

 

cos[(ω ku m Ω

 

)t].

(54.3)

 

 

 

 

 

e

 

 

r =re (t )

 

 

 

 

0

 

e

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

Среднее за интервал времени

значение работы W определяется выражением (сравни с

(51.4))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

 

 

 

 

sin ±t

 

 

 

 

W =

 

0 W (t)dt′ = eu E0

 

 

 

,

 

 

(54.4)

t

 

±t

 

 

 

где ± = ω ku m Ωe . При t → ∞ средняя работа (54.4) отлична от нуля только при выполне-

нии одного из резонансных условий ± = ω ku m Ωe = 0 . Возникающее при этом излучение называется магнитно циклотронным. Соотношения (сравни с (51.7) и (51.8))

ω ku m Ωe = 0,

 

(54.5)

D (ω, k) ω2

k 2c2

ω2

= 0

w

 

 

 

определяют частоту магнитно циклотронного излучения электрона в волноводе. СВЧ приборы, основанные на магнитно циклотронном излучении, получили название мазеров на циклотронном резонансе – МЦР.

Движение электрона в магнитном поле, описываемое формулами (54.1), в отличие от (51.1) не является плоским. Поэтому теория магнитно циклотронного излучения оказывается более сложной, чем теория ондуляторного излучения, изложенная в § 52. Тем не менее при определенных условиях описание мазеров на циклотронном резонансе возможно в рамках моделей, рассмотренных в главе IX. Рассмотрим пучок электронов, движущихся по винтовым траекториям в однородном внешнем магнитном поле. Невозмущенную функцию рас-

пределения пучка по импульсам зададим в виде

 

 

 

f

 

(rr , p

 

, p ) =

P

(rr

)

n0b

δ( p

 

p

 

)δ( p p ) .

(54.6)

 

 

 

2πp 0

 

 

 

 

0b

 

 

||

b

 

 

 

 

 

0

||

||0

 

Здесь

P (rr ) - функция, задающая поперечное к направлению магнитного поля распределе-

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ние плотности электронов,

p и p|| - поперечная и продольная составляющие импульса элек-

трона,

p 0 = mu γ , p||0

= muγ , а u и u - величины, входящие в (54.1).

 

Электронный пучок с распределением (54.6) в электродинамике плазмы называют потоком моноэнергетических осцилляторов. Используем известное из электродинамики плазмы выражение для тензора диэлектрической проницаемости потока осцилляторов. Напомним, что тензор диэлектрической проницаемости полностью описывает электромагнитные свойства любой плазмаподобной среды в линейном приближении. В цилиндрической систе-

ме координат ( rr ={r, ϕ}, rr ={r, ϕ, z} ) тензор диэлектрической проницаемости потока ос-

цилляторов является оператором и определяется следующими формулами: 269

ε(+)

ε()

ε|(| +)

ε|(| )

= − ωLb2 γ 1

2ω2

= − ωLb2 γ 1

2ω2

= ω2

ωLb ω

2 2

= ω2

ωLb ω

2 2

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

 

 

ω ku

 

+

1 u2 (k 2 ω2 c2 )

 

 

 

ω ku − Ω

 

2 (ω ku − Ω

)2

,

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω ku

 

+

1 u2 (k 2 ω2 c2 )

 

 

 

ω ku + Ω

 

2 (ω ku + Ω

)2

,

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

+ u 2

(ω − Ωe )

 

ω

 

u2

 

 

,

u ωe

 

 

c

 

 

2

1

 

 

2

 

2

 

2

2

 

2

 

ku − Ωe

ω

 

(ω ku − Ωe )

 

 

 

 

2

1

 

 

2

 

2

 

2

2

 

2

 

u

ωe

+ u 2

(ω + Ωe )

 

ω

 

u2

c

 

,

ku + Ωe

ω

 

(ω ku + Ωe )

 

 

 

εb = ε(+) +ε() ,

 

gb = ε(+) ε() ,

ε|b| = ε|(|+) ε|(|) ,

ε

rr

= ε

ϕϕ

 

=1 +εb P (r),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

rϕ

= −ε

ϕr

= −igb P

(r),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

= −

 

 

 

 

ugb

 

 

P (r)

d

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

ϕz

 

 

 

ω ku b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

=

 

 

ugb

 

1 d

rP (r),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω ku r dr

 

 

 

 

 

zϕ

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

rz

= −i

 

γu

 

gb P (r)

d

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωe

 

 

 

 

 

b

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

zr

= −i

γu

gb

1

 

d

rP (r),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωe

 

 

 

 

 

r dr

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

=1

 

ω2

γ 3

 

+εb

 

1 d

rP

(r)

d

.

zz

 

 

 

Lb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ω ku)2

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| |

 

 

r dr b

 

 

(54.7а)

(54.7б)

(54.7в)

При помощи тензора диэлектрической проницаемости вычисляются компоненты вектора

r

индукции электрического поля D : например, Dϕ = εrr Er +εrϕ Eϕ +εrz Ez .

Полная система уравнений Максвелла для возмущений f (r) exp(iωt + ikz + ilϕ) в

среде с тензором диэлектрической проницаемости (54.7в) имеет вид:

(1)i rl Ez ikz Eϕ = i ωc Br ,

(2)ikz Er dEdrz = i ωc Bϕ ,

(3)

 

1 d

 

(rE

)i

l

E

 

= i

ω B

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r dr

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

 

r

 

c

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(54.8)

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

ω ε

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

ω

 

 

 

(4)

i

B

 

ik

B = −i

 

E

 

i

ε

E

i

ε

 

E

,

 

 

 

 

c

c

 

 

 

r

z

 

z ϕ

 

 

c

rr

 

r

 

 

 

rϕ ϕ

 

 

rz

z

 

(5)ikz Br dBdrz = −i ωc εϕr Er i ωc εϕϕ Eϕ i ωc εϕz Ez ,

(6)1r drd (rBϕ )i rl Br = −i ωc εzr Er i ωc εzϕ Eϕ i ωc εzz Ez .

Если система (54.8) решается в круглом волноводе с радиусом R , то должны использоваться

270

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке ЭЛТ