ASVT Материалы / Лекции / ЭЛТ / 27_VaN[1]

В силу неравенства (38.28) уравнение (38.30) практически не отличается от полученного в потенциальном приближении уравнения (38.25). Следовательно, при выполнении неравенства (38.28) постоянная составляющая тока в плазме изменяется почти так же, как в потенциальном случае.

Рассмотрим теперь предел, противоположный (38.28). В этом случае из третьего урав-

Уравнение (38.32) совершенно не похоже на (38.30). Левая часть этого уравнения описывает волны постоянного тока (с kz = k = 0 ) в безграничной электрон-ионной плазме со спектром волн

Правая часть уравнения (38.32) изменяется за времена, определяемые инкрементом (38.11), что значительно меньше частоты (38.33). Поэтому из (38.32) для тока получаем следующее выражение:

Выше говорилось, что при резонансной неустойчивости Бунемана ионы плазмы могут описываться в линейном приближении, а значит безразмерные амплитуды гармоник возмущения плотности ионов малы, т.е. | ρin |<<1. Поскольку | ρen | ~ 1(*) (см. Рис. 38.2), то из (38.34) име-

ем оценку jei ~ 1.

Таким образом величина параметра (38.24) существенно определяет динамику постоянной составляющей тока в плазме при бунемановской неустойчивости. Следует ожидать,

что при λ 2 >>1 должно наблюдаться значительное уменьшение тока, а при λ 2 <<1 срыва тока в плазме нет. На Рис. 38.4 представлены результаты численного решения уравнений

(38.21) при различных значениях параметра λ 2 , полностью подтверждающие сказанное вы-

ше. Заметим, что кривая тока с Рис. 38.2 соответствует случаю λ 2 = ∞.

(*) Размерные амплитуды гармоник возмущений плотности определяются формулами n0i ρin , n0e ρen .

191

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Рис. 38.4

Динамика тока при бунемановской неустойчивости в квазиодномерной системе с учетом непотенциальных эффектов: 1 - λ 2 = 0.1 ; 2 - λ 2 =1; 3 - λ 2 = 5

192

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

194

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

устойчивости.

Факт исчезновения при малых Θ апериодической неустойчивости представляется достаточно понятным. Действительно, апериодическая неустойчивость имеет место, если электростатические силы, возникающие при нарушении квазинейтральности пучка, меняют знак. Это возможно только, если диэлектрическая проницаемость среды, в которой распространяется пучок, отрицательна. Уравнение (39.2) можно переписать в виде (см. (32.12))

где εэфф. - эффективная диэлектрическая проницаемость системы, в которой движется пучок.

При Θ → 0 нижняя граница этой области стремится к ΩLe , а ширина обращается в нуль.

Рассмотрим теперь, что происходит при уменьшении коэффициента связи с резонансной неустойчивостью. При Θ = 0 уравнение (39.2) распадается на два уравнения

Первое уравнение определяет спектр волн среды, второе – спектры пучковых волн: быстрой

где верхний знак относится к резонансу между волной среды и быстрой пучковой волной, а нижний – к резонансу между волной среды и медленной волной пучка. Считаем также, что выполнено неравенство

означающее, что плотность пучка мала (см. (32.5)). Подставляя с учетом (39.7) выражения (39.6) в уравнение (39.2), преобразуем его к виду

При этом (39.8) сводится к кубическому уравнению, из которого следует комплексный инкремент

195

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

При Θ =1 инкремент (39.10) полностью совпадает (с точностью до обозначений) с инкрементом (32.11) резонансной неустойчивости безграничных пучка и плазмы. Резонансную пучковую неустойчивость с инкрементом типа (39.10) называют одночастичным вынужденным эффектом Черенкова. Подставляя (39.10) в (39.9), находим условие применимости инкремента (39.10)

В силу предположения (39.7) последнее неравенство выполняется только при достаточно больших коэффициентах связи. Например, оно выполнено для взаимопроникающих пучка и плазмы, когда Θ =1.

Неравенство (39.9) означает, что за время развития неустойчивости τ =δω−1 собственные волны пучка не успевают развиться. Следовательно, пучок ведет себя как набор отдельных частиц в поле волны в среде. Отсюда и название данной неустойчивости – одночас-

в котором знак плюс следует брать при резонансе волны среды и быстрой волны пучка, а знак минус выбирается при резонансе волны среды и медленной пучковой волны. Видно, что неустойчивость имеет место только при резонансе с медленной волной электронного пучка, что обусловлено отрицательностью энергии последней. Из (39.13) при выборе знака минус следует инкремент

Этот инкремент по структуре качественно отличается от инкремента (4.1.11). Он характеризует иную резонансную неустойчивость - коллективный вынужденный эффект Черенкова. Подставляя (39.14) в (39.12), находим условие применимости инкремента (39.14)

Θ<<16 ΩLb . (39.15)

ΩLe

Всилу предположения (39.7) последнее неравенство выполняется только при малых коэф-

196

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

фициентах связи Θ .

Неравенство (39.12) означает, что за время развития неустойчивости τ =δω−1 элек-

троны пучка совершают много колебаний с частотой собственного волнового движения ΩLb .

Следовательно, пучок ведет себя как коллектив частиц, связанных единым волновым движением в собственном высокочастотном поле (плюс поле волны в среде). Отсюда и название данной неустойчивости – коллективный вынужденный эффект Черенкова. Заметим, что го-

воря о частоте собственных колебаний пучка мы взяли ΩLb без учета слагаемого kzu . Это так, поскольку частота kzu связана только с поступательным движением и описывает допле-

ровский сдвиг, к колебаниям отношения не имеющий.

Весьма полезной может быть следующая терминология и интерпретация рассмотренных процессов. Уравнение (39.2) можно трактовать как математическую структуру, описы-

вающую систему из двух связанных осцилляторов: один с частотой ΩLe , другой с частотой

ΩLb . Неустойчивость возникает при взаимодействии данных осцилляторов, поскольку знаки энергий у них различные. При одночастичном эффекте Черенкова взаимодействие столь сильное и быстрое, что осциллятор с частотой ΩLb не успевает совершить ни одного колеба-

ния. При коллективном эффекте взаимодействие слабое и на частоте ΩLb совершается много колебаний. В любом случае осциллятор с частотой ΩLe возбуждается, поскольку в силу ус-

ловия (39.7) выполнено неравенство δω << ΩLe . Последнее означает, что неустойчивость и при одночастичном и при коллективном эффектах приводит к возбуждению (излучению) волн среды (системы), в которой распространяется пучок.

Обсудим теперь в свете сделанной классификации резонансную неустойчивость Бу-

(ω2 = ωLi2 ) и электронную ( (ω − kzu)2 = ωLe2 ). Инкремент (38.11) имеет структуру инкремента

(39.10), т.е. является инкрементом неустойчивости при одночастичном эффекте Черенкова. Однако, правое неравенство (38.10) свидетельствует, что это - коллективный эффект. Противоречия, конечно, никакого нет. Дело здесь в левом неравенстве (38.10), которое по смыслу противоположно неравенству (39.7). То есть по ионам (а в более общем смысле по волнам среды) резонансная неустойчивость Бунемана является одночастичным эффектом, но не эффектом Черенкова. По электронам же эта неустойчивость действительно является коллективным вынужденным эффектом Черенкова, в полном соответствии с классификацией, изложенной выше.

197

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Глава VIII. Неустойчивости электронных пучков

вконечном внешнем магнитном поле

§40. Общее уравнение линейной теории электростатических колебаний цилиндрического столба радиально неоднородной заряженной плазмы

ВГлаве V были рассмотрены стационарные равновесные состояния многокомпонентной аксиально симметричной заряженной плазмы, ориентированной вдоль внешнего одно-

родного конечного магнитного поля Br = {0,0, B0 } и состоящей из пучка электров и заряжен-

ных частиц других сортов, частично или полностью нейтрализующих статический заряд электронного пучка. Предполагалось, что плазма бесконечна и однородна вдоль оси z и все характеризующие ее величины зависят только от координаты r цилиндрической системы координат. Данная глава посвящена рассмотрению малых возмущений найденных ранее состояний равновесия, в том числе исследованию этих состояний на устойчивость.

Для описания динамики заряженных частиц используем систему уравнений многожидкостной гидродинамики, записанных для каждого сорта заряженных частиц плазмы в цилиндрической системе координат

Здесь (Vα E) =Vαr Er +Vαϕ Eϕ +Vαz Ez , Vα2 =Vα2r +Vαϕ2 +Vα2z . Релятивистские уравнения (40.2) по-

лучены очевидным объединением уравнений (18.8) и (18.12). Заметим, что релятивистским является только электронный пучок (α = b ). Частицы других сортов (α = e и α = i - электроны и ионы нейтрализующего фона) релятивистскими по существу не являются.

В соответствии с результатами Главы V, представим входящие в уравнения (40.1) и (40.2) величины в виде (см. также (19.5) и (19.6))

198

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Здесь величины с индексом “ (s) ” характеризуют состояние равновесия, величины со знаком

“~” являются малыми возмущениями, B0 - продольная составляющая внешнего магнитного поля, а r ={r,ϕ, z}. Равновесные величины определяются формулами (21.1)-(21.3), (21.6) и

связаны между собой уравнением баланса радиальных сил (21.8). Как показано в § 21 при определении равновесных конфигураций цилиндрически симметричной заряженной плазмы в магнитном поле имеется определенный произвол (в § 21 при обозначении равновесных величин индекс “ (s) ” был для сокращения записей опущен).

Дальнейшая задача состоит в получении и исследовании замкнутых уравнений для малых возмущенных величин. Однако, учет всех введенных в формулах (40.3) возмущений достаточно сложен. Поэтому ограничимся только потенциальным (электростатическим) приближением. В этом приближении (см. § 19) можно пренебречь возмущением магнитного поля, B~r = B~ϕ = B~z = 0 , а возмущение электрического поля выразить через возмущение ска-

лярного потенциала ϕ~(t, rr)

При получении последнего уравнения было учтено первое соотношение (21.6), записанное для равновесных величин Er(s) (r) и Nα(s) (r) .

Предположим также, что равновесное поперечное (вращательное) движение частиц любого сорта является нерелятивистским, а также нерелятивистскими оказываются все возмущения скоростей, т.е. выполнены следующие неравенства:

Первое из указанных неравенств позволяет пренебречь диамагнетизмом плазмы, т.е. поло-

жить собственное продольное магнитное поле равным нулю: Bz(s) = 0 . Что касается собст-

венного азимутального магнитного поля Bϕ(s) , то из-за возможного релятивизма продольного движения пучка, Vbz(s) c →1, им пренебрегать нельзя. Поле Bϕ(s) (r) определяется третьим со-

199

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

отношением (21.6).

Подставляя выражения (40.3) в уравнения (40.1), (40.2) и учитывая сделанные выше предположения, получим следующую гидродинамическую систему линейного приближения:

невозмущенный продольный релятивистский фактор частиц сорта α . При получении уравнений (40.7) было учтено уравнение баланса радиальных сил (см. (21.8))

а релятивистский фактор (40.8) вычислялся в нулевом приближении по параметрам (40.6). Кроме того, были использованы соотношения (40.4).

Представим возмущения потенциала, плотностей и компонент скоростей в виде

где ω - частота, kz - продольное волновое число, l = 0,±1,±2,...- азимутальное волновое число.

Подстановка решений (40.10) во второе, третье и четвертое уравнения системы (40.7) приводит к следующей системе алгебраических уравнений:

200