ASVT Материалы / Лекции / ЭЛТ / 27_VaN[1]

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

проницаемость ε0 меньше нуля. При апериодической пучковой неустойчивости в плазме от-

рицательность диэлектрической проницаемости плазмы обеспечивается именно движением электронов пучка. Пучок, имеющий затравочную модуляцию на длине волны 2π| kz | , дей-

ствует на плазму с вынуждающей силой на частоте | ω | = | kz | u < ωLe . Происходит вынуж-

денная поляризация плазмы в поле пространственного заряда пучка. Отклик плазмы на такое воздействие характеризуется ее отрицательной в данной области частот диэлектрической проницаемостью (32.14). Но это не статическая диэлектрическая проницаемость ε0 , а дина-

мическая εe .

При | kz | u = ωLe величина εe из (32.14) обращается в ноль, и выражения (32.10) и (32.16) становятся неприменимыми. Равенство kzu = ±ωLe означает совпадение частоты вы-

нуждающей силы со стороны пучка и частоты собственных ленгмюровских колебаний электронов плазмы, т.е. возникновение резонанса. Решения дисперсионного уравнения (32.4) при этом определяются формулами (32.11). Среди решений δω из (32.11) одно имеет положительную мнимую часть. Следовательно, в резонансе пучково-плазменная неустойчивость сохраняется. Более того, инкремент этой резонансной неустойчивости в силу (32.8) существенно больше инкремента нерезонансной апериодической неустойчивости (32.10). Равенство kzu = ±ωLe означает совпадение фазовой скорости собственной волны плазмы и скорости электрона пучка, что является известным условием возникновения излучения Вавилова – Черенкова (*). Таким образом, резонансная пучковая неустойчивость в плазме есть вынужденное черенковское излучение плазменной волны электронами пучка.

Заметим, что резонансная неустойчивость апериодической не является. Действитель-

но, как следует из (32.11), в системе покоя пучка частота волны ω − kzu имеет отличную от нуля действительную часть. Между апериодической и резонансной неустойчивостями имеется важное различие. Апериодическая неустойчивость не связана с излучением, а приводит лишь к модуляции пучка. Наоборот, резонансная неустойчивость приводит к интенсивному возбуждению электронным пучком плазменных колебаний.

Для детального анализа дисперсионного уравнения (32.4), а точнее, его упрощенного аналога (32.9), введем безразмерные величины: безразмерный инкремент неустойчивости

безразмерную расстройку черенковского резонанса

(*) Это излучение было открыто как излучение поперечных электромагнитных (световых) волн в среде прямолинейно движущимся электроном. Оно, однако, возможно в любой замедляющей волны среде при самой разнообразной поляризации и природе волн. Поляризация определяет диаграмму направленности излучения.

151

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Зависимость от безразмерного волнового числа x безразмерного инкремента y пучковой неустойчивости в плазме.

153

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

§ 33. Формальное решение кинетического уравнения Власова

Из дальнейшего будет ясно, что адекватное описание нелинейной динамики пучковой неустойчивости в плазме возможно только при использовании кинетического уравнения Власова. Решение кинетического уравнения связано с серьезными математическими трудностями. Многие пучковые и плазменные неустойчивости исследуются в постановке так называемой начальной задачи, когда описывающие неустойчивую физическую систему уравнения дополняются периодическими по пространству граничными условиями. В подобной ситуации решение кинетического уравнения Власова целесообразно записывать в виде интеграла по начальным данным характеристической системы этого уравнения. Построению такого формального решения посвящен данный параграф.

Исходим из следующего простейшего кинетического уравнения (17.10) для функции

154

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

получаем из (33.7) соотношение (33.5). Таким образом функция распределения (33.6) удовлетворяет начальному условию (33.5). Остается только проверить, что функция (33.6) удовлетворяет кинетическому уравнению (33.1). Сделаем это прямой подстановкой. С учетом характеристической системы (33.3) имеем:

Для доказательства того, что функция (33.6) является решением уравнения (33.1), требуется показать, что выражение (33.10) тождественно равно нулю.

Так как выбор начала отсчета времени произволен, то соотношение (33.14) верно при любом t , а не только при t = 0 . Учитывая, что D(0) =1, окончательно получаем

155

и vˆ( pˆ ) - функции (33.2); ни одна из перечисленных функций особенностей не имеет. Исполь-

зуя теперь тривиальное следствие основного свойства δ -функции (33.8)

находим, что выражение (33.16) тождественно равно нулю. Таким образом, доказано, что функция (33.6), называемая интегралом по начальным данным, является решением кинетического уравнения Власова (33.1) с начальным условием (33.5). Безусловно это - формальное решение, представляющее только иную форму записи исходного уравнения. Однако, в последствии мы убедимся, что с помощью формального решения (33.6) в ряде случаев удается решать сложные задачи.

Используя решение (33.6) и общие формулы (17.11), запишем следующие выражения для возмущений плотности заряда и тока частиц сорта α :

Формулы (33.6), (33.18) и (33.20) очевидным образом обобщаются на многомерный случай.

§34. Нелинейные уравнения пучковой неустойчивости в плазме

В§ 32 в линейном приближении была рассмотрена безграничная однородная пучко- во-плазменная система и ее неустойчивость относительно одномерных потенциальных возмущений, зависящих только от координаты в направлении движения пучка (ось OZ ). Проведем теперь соответствующее нелинейное рассмотрение. Исходим из следующих нелинейных уравнений:

156

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

мущённая скорость электронов пучка. Связь между скоростями и импульсами электронов дается формулами

Поясним, что первое уравнение в (34.1) является уравнением Пуассона для напряженности электрического поля, а плотности заряда электронов плазмы и пучка записаны через интегралы по начальным данным в предположении, что в начальный момент разброс по скоростям у электронов отсутствует (см. первую формулу (33.20)).

Будем рассматривать пучковую неустойчивость в постановке начальной задачи, для чего предположим, что начальное возмущение пучково-плазменной системы имеет пространственный период L . Тогда все возмущенные величины, в том числе, и электрическое поле Ez можно представить в виде следующего ряда:

где kz = 2πL − основное продольное волновое число. Подставляя (34.4) в первое уравнение

157

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ник возмущений плотности соответствующей системы частиц, а размерные амплитуды даются величинами n0α ραn . При получении (34.6) учтено свойство (33.8).

Подставляя далее (34.5) и (34.4) в уравнения движения электронов из системы (34.1), приходим к следующим нелинейным уравнениям:

dydt2b = kzvb.

Уравнения (34.7) являются точными, поскольку учитывают все нелинейные эффекты, могущие быть существенными в рамках принятой модели пучково-плазменной системы. К таковым эффектам относятся: зависимость массы релятивистских электронов пучка от скорости; отклонение траекторий электронов пучка и плазмы от их невозмущенных траекторий на расстояние порядка длины волны – нелинейные члены~ exp(inyα ) ; генерация гармоник плотно-

сти заряда частиц – суммы по n в уравнениях движения.

При анализе уравнений (34.7) ограничимся случаем электронных пучков малой плотности. Оказывается, что при этом плазма в течение достаточно длительного периода развития и стабилизации неустойчивости остается линейной. Получим условие, при котором нелинейность движения электронов пучка является определяющей, а электроны плазмы можно описывать в линейном приближении. При качественном рассмотрении оценочного характера уравнения движения электронов пучка и плазмы можно записать в виде