ASVT Материалы / Лекции / ЭЛТ / 27_VaN[1]

приближение называют приближением бесконечно сильного внешнего магнитного поля. В этом приближении электроны пучка полностью замагничены, т.е. движутся прямолинейно вдоль силовых линий внешнего магнитного поля (ω(−) → 0, γ → γ0 ). Заметим, что хотя не-

равенства (26.5) сформулированы на основании результатов § 24, где рассматривался тонкий пучок, они имеют смысл и для сплошного пучка, если под ∆b в (24.11) понимать rb .

Рассмотрим стационарную транспортировку полностью замагниченного электронного пучка в вакуумном дрейфовом пространстве, в которое пучок инжектируется после прохождения ускоряющего промежутка диода. В вакуумном пространстве дрейфа пучок электронов своим зарядом создает поле, препятствующее дальнейшей инжекции электронов в дрейфовое пространство. Поэтому существует некоторое максимальное значение тока пучка, выше которого стационарная транспортировка пучка через дрейфовое пространство вообще невозможна. Ситуация аналогична той, с которой мы столкнулись при выводе закона трех вторых в § 16. Разница в том, что в диоде имеется внешнее ускоряющее напряжение, а в пространстве дрейфа его нет.

Значение максимального тока бесконечно тонкого полностью замагниченного электронного пучка в цилиндрическом вакуумном пространстве дрейфа произвольного (т.е. не обязательно кругового) поперечного сечения определяется как условие разрешимости сле-

электронов в произвольном сечении z пространства дрейфа, u - скорость электрона пучка в плоскости инжекции, v(z) - скорость пучка в дрейфовом пространстве, γ = γ0 = (1−u2 c2 )−1 2 ,

γ~(z) = [1 − v(z)2 c2 ]−1 2 . При написании (26.6) предполагалось, что транспортировка пучка стационарная, а пространство дрейфа - металлическая труба произвольного поперечного сечения - расположено в области z > 0 . Первое уравнение в (26.6) есть уравнение Пуассона, второе – стационарное уравнение непрерывности, третье – стационарное уравнение Эйлера.

112

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Здесь Σ - металлическая боковая поверхность пространства дрейфа. Второе условие (26.7) означает, что в плоскости инжекции расположена металлическая фольга или сетка, прозрачная для инжектируемых электронов.

Решение стационарной задачи (26.6) – (26.7) существует, если только ток пучка меньше некоторого критического значения. Потенциал ϕ при больших z выходит на посто-

янную, а область изменения ϕ (там, где действует препятствующее инжекции пучка собст-

венное электрическое поле) локализована в непосредственной близости к плоскости инжек-

ции: 0 < z <~ R , где R - поперечный размер дрейфового пространства. При токах больших критического задача (26.6) – (26.7) решений не имеет, что означает невозможность стационарной транспортировки пучка с током, превышающим критический ток. Не вдаваясь в подробности решения полной задачи (26.6) – (26.7), определим лишь условие ее разрешимости, что и позволит получить выражение для критического тока пучка, называемого, по вполне

n=1

Выражая из уравнения Пуассона постоянные коэффициенты An через плотность электронов пучка на бесконечности nb (∞) (при этом используется свойство ортогональности собствен-

113

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

114

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

2.5

2

1.5

1

0.5

γ ∞

0

Рис. 26.2

К определению предельного вакуумного тока тонкого пучка

116

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

тот продольных волн рассматриваемого пучка электронов

Волна, дисперсия которой описывается формулой (27.7) со знаком плюс, получила название быстрой волны. Волна, в законе дисперсии которой взят знак минус, называется медленной (полагаем, что ω > 0 ; при изменении знака частоты указанные волны меняются местами). В движущейся вместе с электронным пучком системе координат с учетом доплеровского пре-

образования частоты спектры (27.7) переходят в ω = ±ωLb , т.е. трансформируются в спектры обычных продольных волн электронной плазмы с ленгмюровской частотой ωLe = ωLb .

Медленная волна (27.7) обладает интересным и необычным свойством, обусловливающим ее исключительно важную роль в физике электронных пучков и их приложениях. Для более подробного исследования свойств волн (27.7) рассмотрим изменение плотности энергии пучка при возбуждении в нем этих волн. Изменение плотности энергии складывается из плотности энергии электрического поля

В линейной теории энергетические характеристики вычисляются с точностью до квадратичных по возмущениям величин, что применительно к (27.9) дает

При вычислении квадратичных по возмущениям величин следует учитывать, что операция возведения в квадрат является нелинейной, поэтому вместо комплексной величины (27.3) следует использовать ее действительную часть равную

где символом “звездочка” обозначена операция комплексного сопряжения. Кроме того, нужно иметь в виду, что сами возмущения и квадратичные по ним величины содержат быстро осциллирующие составляющие. Поэтому энергетические характеристики должны быть ус-

реднены по периоду T = 2πω . Таким образом, полное изменение плотности энергии пучка вычисляется по формуле

119

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

где, как и в (27.7), знак плюс относится к быстрой волне, знак минус – к медленной, а ω > 0 . Из (27.14) следует, что изменение плотности энергии пучка при возбуждении в нем медленной волны отрицательно. На этом основании медленную волну принято называть волной с отрицательной энергией. Отрицательность энергии означает, что имеющаяся в невозмущенном пучке энергия при возбуждении в нем медленной волны уменьшается. Другими словами при возбуждении медленной волны выделяется энергия, которая может пойти на возбуждение какой-либо другой системы. Именно это свойство волн с отрицательной энер-

гией делает их принципиально важными для многочисленных приложений.

Энергия быстрой волны, как видно из (27.14), положительна, т.е. для возбуждения такой волны требуется вклад энергии извне. В случае обычной плазмы, т.е. электронного пучка с нулевой скоростью, из (27.13) при u = 0 следует выражение для плотности энергии про-

дольных волн электронной плазмы (ωLe = ωLb )

Последняя величина, как это и должно быть, всегда положительна. Действительно, изменение энергии системы, имеющей в невозмущенном состоянии нулевой запас энергии, может быть только большим нуля.

Вычислим теперь изменение плотности импульса пучка при возбуждении в нем волн плотности заряда

После подстановки соответствующих величин и усреднения по времени из (27.16) имеем:

Связь (27.17) между P и W есть частный случай общего соотношения

120