Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
32
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
4.53 Mб
Скачать

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Подставляя (6.11) в (6.9), для средней силы получаем следующее выражение:

r

 

mv2 r

 

 

f

= −

 

s .

 

(6.12)

2

 

Формула (6.12) справедлива если у заряженной частицы имеется только поперечная к

направлению магнитного поля скорость. Учет продольной (вдоль

nr) скорости v

элемента-

 

 

 

 

||

 

рен. Действительно, в системе координат, вращающейся с угловой скоростью v||

вокруг

мгновенного центра кривизны силовой линии, продольная скорость заряда равна нулю, а значит верна формула (6.12). Но во вращающейся системе на частицу действует центробеж-

ная сила инерции frц = −srmv||2 , направленная от центра кривизны. Объединяя центробеж-

ную силу с (6.12), получим окончательно следующее выражение для средней силы на заряженную частицу, обусловленной неоднородностью магнитного поля:

r

r m

2

 

v2

 

 

f

= −s

 

 

 

+

 

 

(6.13)

 

 

 

 

v||

2

.

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы определить результат действия силы (6.13) обратимся к (6.6) определяющему движение ведущего центра ларморовской окружности. Вводя обозначение Vr0 = dR0 dt , пере-

пишем уравнение (6ю6) в виде

 

dVr

 

e

r r

r m

2

 

v2

 

 

m

0

=

 

[V0 B0

]s

 

 

+

 

 

(6.14)

 

 

 

 

 

dt

c

 

v||

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последнее слагаемое в (6.14) эквивалентно силе от однородного электрического поля с напряженностью

r

r

m

 

2

 

v2

 

 

E0

= −s

 

 

 

+

 

 

(6.15)

 

 

 

 

v||

2

.

 

 

e

 

 

 

 

Согласно (4.11) эквивалентное поле (6.15) приводит к дрейфу заряженной частицы со скоростью

r

rr

1

 

2

 

v2

 

 

V0

= −[sn]

 

 

 

+

 

 

(6.16)

 

 

 

 

v||

2

.

 

 

ωe

 

 

 

 

Формула (6.16) следует конечно и из уравнения (6.14) при

dV0 dt = 0 . В соответствии с

(6.16) дрейф в неоднородном магнитном поле происходит перпендикулярно плоскости, касательной к силовой линии магнитного поля – вдоль бинормали к силовой линии. Скорость (6.16) зависит от заряда и массы частицы. В частности заряды разного знака дрейфуют вдоль бинормали в противоположных направлениях. Этим дрейф в неоднородном магнитном поле качественно отличается от обычного электрического дрейфа (4.11).

21

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

§ 7. Рассеяние заряженных частиц в кулоновском поле точечного заряда. Релаксация электронного пучка в плазме

Задача о движении заряженной частицы в кулоновском поле другого неподвижного заряда представляет значительный интерес в связи с проблемой прохождения заряженных частиц через вещество. При движении частиц в твердом теле они взаимодействуют главным образом с ионами кристаллической решетки, испытывая на них угловое рассеяние, т.е. отклонение от первоначального направления движения. В плазме рассеяние происходит на электронах и ионах плазмы. Рассмотрим некоторые вопросы теории рассеяния заряженных частиц в кулоновском поле, имеющие важное значение для физики электронных пучков.

Пусть к неподвижному точечному заряду q с массой M приближается другой точеч-

ный заряд e с массой m . Предполагая, что M >> m , движением заряда q будем пренебре-

гать. Траекторией заряда e является гипербола αβ (Рис. 7.1), вид которой зависят от при-

цельного расстояния b и начальной скорости налетающей частицы u (а также от e, q и m ).

Очевидно, что траектория частицы симметрична относительно линии qx , соединяющей

центр рассеяния с точкой максимального сближения обеих частиц. Вычислим угол рассеяния θ - угол между асимптотами гиперболы, показанными на рисунке пунктирными прямыми.

Пусть rr- радиус-вектор, проведенный от заряда q в точку нахождения заряда e . Си-

ла, действующая на этот заряд, определяется законом Кулона

r

 

eq r

 

F

=

 

r .

(7.1)

r3

Полное изменение импульса частицы при рассеянии дается интегралом

 

pr = +∞Frdt .

(7.2)

 

 

−∞

 

Разложим силу (7.1) на составляющие F = F|| + F , где F|| = F cosϑ - составляющая,

парал-

лельная линии qx , а F = F sinϑ - составляющая силы, перпендикулярная qx . При движении вдоль траектории угол ϑ меняется от ϑ1 до +ϑ1 , где ϑ1 - половина угла между асимпто-

тами гиперболы. Из Рис. 7.1 видно, что ϑ1 < π2 . Очевидно, что составляющая силы F в

интеграл (7.2) дает нулевой вклад, а вклад от F||

определяется выражением

 

cosϑ

ϑ1

cosϑ dϑ

 

 

p = 2F cosϑdt = 2eq

 

2

dt = 2eq

 

 

 

 

.

(7.3)

r

r

2

(dϑ dt)

0

0

 

0

 

 

 

При написании (7.3) был осуществлен переход от интегрирования по времени к интегрированию по углу. Учитывая далее закон сохранения момента импульса налетающей частицы

22

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

β

x

ur

e

ϑ1

θ

α

 

 

 

b

 

 

ϑ

q

Рис. 7.1

Траектория заряженной частицы e при ее рассеянии на заряде q .

23

 

 

 

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

 

r2

dϑ

= ub ,

(7.4)

dt

 

 

 

 

 

преобразуем (7.4) к виду

 

p = 2eq

sin ϑ1

.

(7.5)

 

 

 

 

ub

 

Из формулы (1.14) следует, что абсолютная величина импульса частицы в результате рассеяния не меняется. Действительно, при t → m∞ , т.е. до и после рассеяния, расстояние r

между частицами бесконечно велико. Потенциал кулоновского взаимодействия ϕ = eqr на бесконечности равен нулю, а значит до и после рассеяния Wкин = p2 2m =W0 . Поскольку аб-

солютная величина импульса до и после рассеяния одна и та же, то при помощи Рис. 7.1 и простого геометрического построения легко получить иное выражение для величины (7.5)

p = 2 p sin θ

= 2mu sin

θ .

(7.6)

2

 

2

 

Кроме того, из того же Рис. 7.1 видна следующая связь между ϑ1

и углом рассеяния θ :

2ϑ1 +θ = π .

 

 

(7.7)

Сопоставляя (7.5), (7.6) и (7.7), получим искомую формулу для угла рассеяния заряженной частицы e :

tg

θ

=

eq

=

b

,

(7.8)

2

mu2b

 

 

 

 

b

 

где b = eqmu2 - прицельный параметр, при котором угол рассеяния равен π2 .

Определим угловое распределение заряженных частиц, которые рассеиваются проходя через тонкую фольгу, изготовленную из вещества с достаточно большим атомным весом, чтобы рассеивающие центры – ядра атомов вещества - можно было считать неподвижными. Пусть моноскоростной пучок частиц падает нормально на поверхность фольги: N - число частиц на 1см2 поперечного сечения пучка, n - число атомных ядер на 1см2 мишени, u - ско-

рость частиц пучка. Пусть dNN - доля частиц пучка, испытавших рассеяние в конус углов от θ до θ + dθ . В соответствии с формулой (7.8) интервалу углов (θ, θ + dθ) соответствует интервал прицельных расстояний (b, b db) . Ядра мишени, рассеивающие частицы пучка с этими прицельными расстояниями, занимают из всей площади мишени S площадку разме-

ром dS = nS 2πbdb . Очевидно, что

 

dN

= dS = 2πnbdb = πnb2

cos(θ 2) dθ .

(7.9)

N

S

sin3 (θ 2)

 

При переходе в соотношении (7.9) от db к dθ

была использована формула (7.8). Легко ви-

деть, что полый конус с раствором (θ, θ + dθ)

вырезает на сфере радиуса r с центром в

24

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

вершине конуса площадь dσ = 2πr sin θ rdθ . С другой стороны по определению телесного угла имеем dσ = r2do . Отсюда находим связь между углом рассеяния θ и элементом телес-

ного угла

 

 

 

do = 2π sinθ dθ = 4π sin

θ cos

θ dθ .

(7.10)

 

2

2

 

Подставляя (7.10) в (7.9), получим известную формулу Резерфорда, сыгравшую важнейшую роль при установлении строения атома (*)

dN

 

1

2

4

θ

 

1

 

eq

 

 

2

4

θ

do .

 

 

=

 

nb sin

 

 

do =

 

n

 

 

 

sin

 

 

(7.11)

N

4

 

2

4

 

2

 

2

 

 

 

 

mu

 

 

 

 

 

Используем теперь формулу (7.8) для качественного исследования процесса релаксации электронного пучка в полностью ионизованной плазме. Релаксация электронов пучка в такой плазме обусловлена их кулоновским рассеянием на электронах и ионах плазмы. Если начальная скорость электронов пучка u намного превосходит тепловые скорости электронов и ионов плазмы, то движением последних при качественном рассмотрении процесса релаксации можно пренебречь. Свойства центров рассеяния в формуле (7.8) входят лишь через величину их заряда q . Для ионов q = −Ze , где e - заряд электрона, а Z - кратность иониза-

ции. В силу квазинейтральности плазмы Zni = ne , где ni и ne - концентрации ионов и элек-

тронов плазмы соответственно. Поэтому вклад в рассеяние электронов пучка от ионов и электронов плазмы примерно одинаков. Ниже для определенности будем говорить о рассеянии только на ионах.

Каждый акт рассеяния электрона пучка приводит к отклонению его траектории на некоторый угол θ . Из-за дальнодействующего характера кулоновских сил рассеяние электрона пучка на малый угол (рассеяние с большим прицельным расстоянием) оказывается значительно более вероятным, чем рассеяние на большой угол. Поэтому сильное отклонение траектории электрона от первоначального направления происходит в результате многих последовательных отклонений на малые углы. Для малого угла рассеяния электрона на ионе из формулы (7.8) имеем

θ =

2Ze

2

.

(7.12)

mu2b

 

 

 

Итак, пусть электрон пучка движется в плазме, в которой в 1см3 находится n

рассеи-

 

 

 

i

 

вающих центров. Среднее отклонение электрона будет равно нулю, поскольку направление каждого единичного рассеяния носит случайный характер. Однако среднеквадратичное отклонение отлично от нуля. Имеет место случайное блуждание по углу, уводящее от первона-

(*) Формула Резерфорда писалась конкретно для α-частиц. Для этих частиц в (7.11) следует подставить q=Ze и e=2e, где e - заряд электрона.

25

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

чального направления движения электрона пучка, что и приводит к рассеянию (релаксации) электронного пучка в плазме.

Пройдя в плазме расстояние L электрон пучка может испытать dn = ni L2πbdb рас-

сеяний с прицельным расстоянием b , каждое из которых приводит к отклонению электрона на угол (7.12). Среднеквадратичное отклонение угла рассеяния вычисляется усреднением квадрата величины (7.12) по всем прицельным расстояниям

2

2

8πn Z 2e4

bmax db

8πn Z 2e4

 

b

 

 

(θ)

= (θ) dn =

i

L

 

=

i

L ln

max

,

(7.13)

m2u4

b

m2u4

b

 

 

 

b

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

где bmin и bmax - некоторые, введенные пока формально, минимальное и максимальное при-

цельные расстояния.

Выражение (7.13) содержит расходимости как на больших прицельных расстояниях,

при bmax → ∞ , так и на малых, при bmin 0 , хотя на первый взгляд ограничений величину прицельного расстояния нет. На самом деле такие ограничения есть. Используя малоугловую формулу (7.12) мы исключили из рассмотрения рассеяние на большие углы, вероятность которого, как отмечалось выше, мала. Если положить

b

= b =

Ze2

,

(7.14)

mu2

min

 

 

 

где b - прицельный параметр, при котором угол рассеяния равен π2 , то формула (7.13) бу-

дет верно учитывать и рассеяние на большие углы. Для определения верхней границы при-

цельного расстояния bmax , учтем, что в плазме потенциал заряда из-за дебаевского экраниро-

вания отличается от кулоновского потенциала экспоненциальным множителем exp(rrD ) ,

где

1 2

rD = κT2e - (7.15)4πe ne

радиус Дебая, κ - постоянная Больцмана, а Te - температура электронов плазмы. При r > rD

электростатическим взаимодействием заряженных частиц в плазме можно пренебречь. Поэтому естественно положить

bmax = rD .

(7.16)

Подставляя (7.14) и (7.15) в (7.13), получим следующую формулу для среднеквадратичного отклонения угла, обусловленного рассеянием электронов пучка на ионах плазмы:

2

=

8πn Z 2e4

L ln

r

(7.17)

(θ)

 

i

D .

 

i

 

m2u4

 

b

 

Аналогичной формулой дается среднеквадратичное отклонение угла при рассеянии электро-

26

 

 

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

 

нов пучка на электронах плазмы

 

2

8πn e4

r

(7.18)

(θ)

=

e

L ln D .

 

e

m2u4

b

 

При Z =1, поскольку в этом случае ne = ni , выражения (7.17) и (7.18) совпадают.

Оценим логарифмический множитель в формулах для среднеквадратичного углового отклонения. Полагая Z =1, имеем

ln

r

u2

κT

κT

 

= 2 ln(u v

) + Λ,

 

κT

κT

 

(7.19)

D

= ln

e

e

 

Λ = ln

e

e

.

 

b

v2

e2

4πe2n

 

e

 

 

e2

4πe2n

 

 

 

 

e

 

 

e

 

 

 

 

 

e

 

Здесь ve

=

κTe m - тепловая скорость электронов плазмы, а

Λ- так называемый кулонов-

ский логарифм. В широких пределах изменения параметров плазмы Λ =10 ÷ 20 , а ln(uve ) не превосходит нескольких единиц.

Согласно формулам (7.17) и (7.18) средний угол отклонения электронов пучка от первоначального направления распространения растет по мере проникновения пучка в плазму:

(θ)2 ~ L . Полагая (θ)2 =1, получим оценку для длины релаксации электронного пучка в полностью ионизованной плазме

L

m2u

4

.

8πn e4 ZΛ

i

 

 

e

 

 

Можно ввести также и время релаксации электронного пучка в плазме

 

 

 

L

m2u

3

 

τ

i

=

i

=

 

 

.

 

8πn e4 ZΛ

 

 

u

 

 

 

 

 

 

e

 

 

(7.20)

(7.21)

Релаксация на длине (7.20) за время (7.21) обусловлена многократными малоугловыми рассеяниями электронов пучка на ионах плазмы. Более строгое рассмотрение релаксации электронного пучка в плазме, основанное на аппарате кинетического уравнения с интегралом столкновений, приводит к результатам отличающимся от (7.20) и (7.21) множителем порядка двух.

27

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Глава II. Основы электронной оптики

§ 8. Необходимые сведения из геометрической оптики

Одно из решений уравнений электромагнитного поля в однородной среде с показателем преломления n

r

r

r

 

iω t + i

ω

r

r

(8.1)

A(t, r ) = Ce exp

c

n (s

r )

 

 

 

 

 

 

 

 

описывает плоскую электромагнитную волну. Здесь A - любой из векторов поля,

s - единич-

ный вектор в направлении распространения волны, e - единичный вектор поляризации, причем (er sr) = 0 , ω - частота, а C - постоянная амплитуда. В плоскостях

(sr rr) = const ,

(8.2)

которые перпендикулярны вектору

sr, функция (8.1) в любой момент времени постоянна.

Плоскости (8.2) называются волновыми фронтами. Среднее по времени значение вектора Пойнтинга плоской электромагнитной волны определяется формулой

r

 

c

r

 

 

S

=

 

w s

,

(8.3)

n

где w - плотность электромагнитной энергии. Именно в силу (8.3) вектор sr и определяет направление распространения плоской волны.

Если среда неоднородна, т.е. n = n(r) , то общее решение уравнений электромагнитно-

го поля может быть представлено в виде

r

r

r

r

 

iω t + i

ω

r

 

(8.4)

A(t, r ) = Ce

(r ) exp

c

(r ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где er(rr) в общем случае уже не является единичным вектором, а (r) - функция, называемая эйконалом. Приближение геометрической оптики означает, что при подстановке функции (8.4) в уравнения электромагнитного поля совершается формальный предельный переход

ω = 2π → ∞ . (8.5) c λ0

Здесь λ0 - длина световой волны в вакууме. Физический смысл предельного перехода (8.5)

заключается в том, что на длине λ0 показатель преломления среды n(r) меняется слабо.

Из уравнений электромагнитного поля после подстановки в них решения (8.4) в пределе (8.5) следуют соотношение

er(rr) grad (rr) = 0

(8.6)

и уравнение

 

(grad (rr))2 = n2 (rr) ,

(8.7)

28

(rr) = const

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

называемое уравнением эйконала. В развернутом виде уравнение эйконала, являющееся основным уравнением геометрической оптики, записывается следующим образом:

 

2

 

2

 

2

= n

2

(x, y, z) .

(8.8)

 

 

+

 

+

 

 

 

x

 

y

 

z

 

 

 

 

В приближении геометрической оптики доказывается также, что формула (8.3) для усредненного вектора Пойнтинга сохраняется, если только единичный вектор sr определяется формулой

r

 

grad

 

grad

 

s

=

 

=

 

.

(8.9)

n

| grad |

Естественно считать, что вектор (8.9) определяет направление распространения волны. Тогда поверхности

(8.10)

следует рассматривать в качестве волновых фронтов неоднородной электромагнитной волны (8.4). Кроме того, в силу соотношения (8.6), электромагнитная волна, которая описывается функцией (8.4), является поперечной. Легко видеть, что в случае однородной среды, когда n(rr) = const , одно из решений уравнения (8.8) имеет вид

(rr) = n (sr rr) , (8.11)

где sr- постоянный единичный вектор. При этом (8.4) переходит в уравнение плоской волны

(8.1).

Геометрические световые лучи определяются как траектории, ортогональные к волновым фронтам (8.10). Очевидно, что вектор (8.9) является касательным к геометрическому световому лучу в каждой его точке. За направление распространения светового луча берется направление вектора (8.9). В геометрической оптике рассматривают не волны (8.4), а геометрические световые лучи. Получим уравнение светового луча. Точки луча образуют некоторую пространственную кривую, которую удобно задать с помощью вектор-функции скалярного аргумента r(l) , где l - натуральный параметр, т.е. расстояние, отсчитываемое вдоль лу-

ча от некоторой его точки (например, от точки, из которой луч выходит). Поскольку l нату-

ральный параметр, то производная drrdl есть единичный вектор касательный к кривой r(l) .

Но этот же единичный вектор определяется формулой (8.9). Отсюда сразу следует уравнение светового луча

n

drr

= grad .

(8.12)

dl

 

 

 

Исключим из этого уравнения эйконал . Для этого продифференцируем обе части уравнения (8.12) по l . Используя цепочку равенств

29

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

dld [grad (rr(l))]= drdlr grad(grad )= 1n grad grad(grad )= = 21n grad(grad )2 = 21n grad n2 = 1n grad n,

получим следующее уравнение:

d

drr

 

 

n

 

 

= grad n .

dl

dl

(8.13)

(8.14)

Уравнение светового луча (8.14) является одним из основных в геометрической оптике. Оно эквивалентно уравнению эйконала (8.7), но значительно удобнее, т.к. является обыкновенным дифференциальным уравнением. Решив уравнение (8.15) можно определить структуру геометрических световых лучей в плавно неоднородной прозрачной среде.

Применим уравнение (8.14) к описанию центрированной оптической системы в параксиальном приближении. Центрированной называется оптическая система симметричная относительно некоторой оси, называемой главной оптической осью. В системе координат с осью z , совпадающей с главной оптической осью системы, имеем n = n(r, z) и r ={r, z} , где r - расстояние от оси. Расписанное по компонентам уравнение (8.14) имеет вид

d

dr

 

 

n(r, z),

 

n(r, z)

 

 

 

=

 

 

 

 

 

r

dl

dl

 

 

(8.15)

d

dz

 

 

 

 

n(r, z).

 

n(r, z)

 

 

 

=

 

 

 

 

 

z

dl

dl

 

 

 

Нахождение решений r = r(l), z = z(l) нелинейной системы (8.15) является сложной задачей.

Она существенно упрощается в так называемом параксиальном приближении. В рамках этого приближения рассматриваются лучи, проходящие вблизи главной оптической оси под малыми к ней углами. Для таких лучей можно положить

dl = dz,

n(r, z) = n0 (z) +

1

r2n0′′(z) ,

(8.16)

2

 

 

 

 

где n0 (z) = n(0, z), n0′′(z) = (2n(r, z)r2 )r=0 . При разложении показателя преломления в ряд по степеням r учтено, что в силу осевой симметрии системы n0(z) = (n(r, z)r)r=0 = 0 . С

учетом (8.16) второе уравнение системы (8.15) удовлетворяется тождественно, а первое уравнение дает

d

 

 

dr(z)

= r(z)n′′(z) .

 

 

n

(z)

 

 

(8.17)

 

dz

dz

0

 

 

0

 

Полученное уравнение является основным в параксиальной оптике центрированных систем. Получим с помощью уравнения (8.17) формулу линзы. Пусть линза (Рис. 8.1) представляет собой плавную неоднородность показателя преломления, локализованную между

30

Соседние файлы в папке ЭЛТ