Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
32
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
4.53 Mб
Скачать

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

что явление автоэлектронной эмиссии можно попытаться объяснить и на языке классической физики. Действительно, помимо силы со стороны внешнего поля на электрон действует сила притяжения со стороны его электростатического изображения в металле. Учитывающая взаимодействие с изображением, эффективная потенциальная энергия электрона дается формулой

Uэфф(z) =U0

eEz

e

2

,

(15.2)

4z

 

 

 

 

где z - расстояние, на которое электрон удалился от поверхности металла (расстояние между

электроном и его изображением есть

2z ). Функция (15.2) достигает максимума в точке

z0 = e 4E , причем в максимуме потенциальная энергия равна

Umax =Uэфф(z0 ) =U0 e3 E .

(15.3)

Таким образом, учет сил электростатического изображения показывает, что наложение внешнего электрического поля фактически приводит к уменьшению работы выхода. Если будет выполнено условие

ε

F

U

0

e3 E , или (см. (13.2))

e3 E A

,

(15.4)

 

 

 

вых

 

 

то электроны начнут свободно выходить из металла. Из (15.4) находим напряженность электрического поля, при которой согласно классическим представлениям имеет место автоэлек-

тронная эмиссия (для серебра) E 108 Всм . Между тем, по данным экспериментов авто-

электронная эмиссия начинается уже при полях на два порядка меньших. Следовательно классических представлений для объяснения явления автоэлектронной эмиссии не достаточно.

Перейдем теперь к квантовому рассмотрению. При этом силы электростатического изображения учитывать не будем. Согласно классической механике область 0 < z < z(ε) для

электрона с энергией ε не доступна (Рис. 15.1). В квантовой же механике, благодаря туннельному эффекту электрон может преодолеть потенциальный барьер и с некоторой вероятностью прейти из области z < 0 в область z > z(ε) . Коэффициент прозрачности потенциаль-

ного барьера дается известной формулой

 

2

 

z(ε )

 

 

D(E,ε) = exp

h

2m

U (z) εdz ,

(15.5)

 

 

0

 

 

где z(ε) находится из уравнения U0 eEz = ε . Выполняя в (15.5) элементарное интегриро-

вание для коэффициента прозрачности получим

 

4

2m

(U0 ε)3 2

(15.6)

D(E,ε) = exp

3

ehE

.

 

 

 

 

61

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Применительно к решаемой нами здесь конкретной задаче под ε (15.6) следует понимать не полную кинетическую энергию электрона, а только ее часть, связанную с движением элек-

тронов вдоль направления эмиссии, т.е. ε = pz2 2m .

Плотность эмиссионного тока вычисляется очевидно по формуле

jE = me ∫∫∫pz D(E, pz )dn( p) = (2π2he)3 m ∫∫∫Q

pz D(E, pz2 2m)dpx dpy dpz ,

(15.7)

где Q - полушарие в импульсном пространстве:

p2 < 2mεF , pz > 0 . При получении (15.7) мы

от общего распределения (13.8) перешли к распределению (13.9) полностью вырожденного электронного газа. Выполняя в (15.7) интегрирование по поперечным компонентам импульса

px и py , получим следующее выражение:

 

 

 

 

 

πe

 

2mεF

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jE

=

 

(2πh)3 m 0

(2mεF

pz

)D(E, pz

2m)dpz .

(15.8)

Вводя далее обозначения

 

 

 

 

z =

A

η =

4 2mε

3 2

2π 2h2n

 

(15.9)

 

 

вых ,

3

ehE

F =

0

 

 

 

 

 

εF

 

 

 

meE

 

 

и переходя к новой переменной интегрирования x =1 pz2

2mεF , преобразуем (15.8) к виду

j

 

=

 

em

 

ε 2 J (z,η) = BT 2 J (z,η) .

 

(15.10)

 

 

2π 2h3

 

 

E

 

 

 

F

 

 

F

 

 

 

Здесь B - величина (14.4), TF

= εF

κ - температура Ферми, а

J (z,η) = 1

x exp[η(x + z)3 2 ]dx -

 

(15.11)

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

интеграл, который в элементарных функциях не вычисляется. Интеграл (15.11) для нескольких значений параметра z в зависимости от параметра η построен на Рис. 15.2.

При η 0 , т.е. при E → ∞ , как видно из (15.11) и Рис. 15.2, имеем J (z,η) 12 . От-

сюда и из формулы (15.10) для максимально возможной плотности тока автоэлектронной

эмиссии получаем формулу

 

j

E max

=

1

BT 2 .

(15.12)

 

 

2

F

 

 

 

 

 

Величина (15.12) очень большая: например, для серебра

jE max 2,25 1011 А см-2 . Однако та-

кие плотности тока не достижимы, поскольку требуют напряженностей электрического поля порядка 109 Всм (см. ниже) - в таких полях происходит разрушение эмиттера. Обычно плот-

ность тока автоэлектронной эмиссии не превышает 108 ÷109 А см-2 при напряженности поля составляющей 107 ÷108 Всм. Возникает автоэлектронная эмиссия при E 106 Всм.

62

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

0.6

J (z, η )

 

 

 

 

0.5

 

 

 

 

 

0.4

 

 

 

 

 

0.3

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

0.2

 

0.75

 

 

 

 

 

 

 

 

0.1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

η

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

2

3

4

5

Рис. 15.2

Интеграл (15.11), входящий в формулу (15.10)

63

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Если положить η =1 , то можно найти напряженность некоторого характерного для автоэлектронной эмиссии электрического поля

E0

=

4

2mε3

2

(15.13)

3

F

.

 

 

eh

 

 

Например, для серебра E0 9 108 В см 109 В см. Выше говорилось, что обычно E на не-

сколько порядков меньше E0 , а значит η >>1. При этом можно воспользоваться следующей асимптотикой интеграла (15.11):

J (z,η)

4

exp(ηz3 2 ).

(15.14)

 

9η2 z

 

 

Подставляя (15.14) в (15.10), получим аналитическую формулу для плотности тока автоэлектронной эмиссии

1 e3 E2

 

 

4

2mA3 2

 

 

 

jE = 16 π 2hA

 

3

вых

,

(15.15)

exp

ehE

 

вых

 

 

 

 

 

 

 

называемую формулой Фаулера-Нордхейма.

Уже при jE =106 ÷107 А см-2 наблюдается некоторое уменьшение плотности тока по сравнению с (15.10) или (15.15), что связано с влиянием объемного заряда эмитированных электронов. Полностью рост автоэлектронного тока с повышением напряженности поля E

заканчивается при jE =108 ÷109 А см-2 , что обусловлено вакуумным пробоем и выходом эмиттера из строя. Этому предшествует более интенсивная и кратковременная взрывная эмиссия электронов. При взрывной эмиссии источником электронного тока является плотная плазма, которая возникает в результате разогрева локальных микроскопических областей материала эмиттера током автоэлектронной эмиссии. Взрывная эмиссия позволяет получать электронные пучки с рекордными плотностями токов и энергиями электронов. Физика источников электронов со взрывной эмиссией в основном является экспериментальной. Поэтому в рамках данного теоретического курса она не обсуждается. Не обсуждаются также и такие важные явления как фотоэлектронная эмиссия и вторичная электронная эмиссия. Им посвящены специальные разделы физической электроники, где во главу угла поставлены вопросы взаимодействия частиц (электронов, фотонов и т.д.) с поверхностью твердого тела.

64

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Часть II. Электронные пучки большой плотности в приближении самосогласованного электромагнитного поля

Глава IV. Основные характеристики плотных электронных пучков

иметоды их теоретического описания

§16. Параметры плотных релятивистских электронных пучков, объемный электрический заряд и собственное электромагнитное поле

Общепринятого определения сильноточного (т.е. плотного, имеющего большой ток) электронного пучка нет. Многое зависит от системы, в которой пучок распространяется и от характера проблем, которые предполагается решать. Тем не менее, главное выделить можно: сильноточными считают пучки, динамика которых в значительной степени определяется их собственными электрическим и магнитным полями. Собственные поля могут быть статическими, квазистатическими и высокочастотными. По характеру решаемых проблем и используемым методам физика плотных электронных пучков близка к физике плазмы, что понятно, поскольку и пучок и плазма являются системами, содержащими большое число заряженных частиц. Приведем основные параметры релятивистских электронных пучков, которые принято считать сильноточными в современных исследованиях по теории плазмы и в практической деятельности физиков, разрабатывающих новые пучковые и плазменные технологии.

Параметры современных сильноточных релятивистских электронных пучков сле-

дующие: ток в пучке ~ 103 ÷106А; энергия электрона ~ 105 ÷107 эВ. Для справки заметим,

что 1эВ =1,6 1019 Дж , скорость электрона с энергией в 1эВ v 6 107 см сек1 , релятивист-

ский фактор электрона с энергией в 1эВ γ = (1 v2 c2 )1 2 1 + 2 106 , а при энергии электро-

на W эВ

γ 1+ 2 10

6W . В дальнейшем, при проведении различных числовых оценок, за

e

 

e

основу будем брать пучки не с экстремально высокими параметрами, а с весьма умеренны-

ми. Например, ток пучка I

b

= 2 103 A , энергия электрона W = 5 105

эВ; при этом γ = 2

,

 

e

 

 

v = 2,6 1010 см сек-1 . Обычно подобные пучки используются для получения мощного элек-

тромагнитного излучения сантиметрового диапазона длин волн в СВЧ-электронике. Оценим плотность электронов пучка с параметрами, приведенными выше. Для удоб-

ства введем универсальную постоянную размерности тока

I0

=

mc3

17,03 103 A.

(16.1)

e

 

 

 

 

Здесь e - заряд,

m - масса электрона (считается, что e > 0 ; если важен знак заряда электрона,

то будет использоваться обозначение

| e | ). Квадрат ленгмюровской частоты электронов

пучка ωLb2

можно выразить через его ток Ib по формуле

65

 

 

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

 

ωLb2 =

4πe2n

= 4π

c2

 

c I

b

,

(16.2)

b

 

 

 

 

 

m

Sb

 

 

 

 

 

 

 

 

v I0

 

где Sb - площадь поперечного сечения пучка, а nb - плотность электронов.

Полагая далее

Sb =1см2 , для тока Ib = 2 103 A из (16.2) получим ωLb 4 1010 рад сек1 . Используя далее

удобную для расчетов формулу ωLb2 = 3 109 nb , находим требуемую оценку для плотности электронов пучка nb 5 1011 см3 .

Заметим, что пучки с указанными параметрами являются импульсными. Это обусловлено технологией их получения на импульсных сильноточных электронных ускорителях со взрывно эмиссионными катодами. Обычная длительность импульса пучка составляет поряд-

ка 108 ÷106 сек. Мощность пучка – произведение тока на ускоряющее напряжение – для рассматриваемого числового примера составляет 109 Вт. Умножая это значение на длитель-

ность импульса тока равную 107 сек, получим значение полной энергии пучка 100 Дж.

Обсудим теперь роль собственного электростатического поля пучка на простом примере стационарного прохождения постоянного тока в плоском диоде (Рис. 16.1).

Межэлектродный

промежуток диода равен

d ,

ускоряющее

напряжение

есть U0 > 0 .

Поскольку заряд электрона отрицательный,

то

плоскость

x = 0 является

катодом, а

плоскостьУравненияx = d - ,анодоммоделирующие.

стационарное прохождение тока в рассматриваемом дио-

де, запишем в виде

 

 

 

 

 

d 2ϕ(x)

=

4π | e | n (x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx2

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0,

 

x=d =U0 ,

 

 

 

 

(16.3)

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

x=0

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dϕ

 

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

x=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| jb |=| e | nb (x)v(x) = const,

 

 

 

 

 

mc2[γ (x) 1] =| e | ϕ(x),

 

 

 

 

(16.4)

γ (x) = (1v(x)2 c2 )1 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь ϕ(x) - скалярный потенциал,

jb - плотность тока пучка, которая в стационарном случае

постоянна, что следует из закона сохранения заряда. Из соотношений (16.4) можно выразить nb (x) = nb[ jb ,ϕ(x)] и подставить в (16.3). Решая далее краевую задачу (16.3), можно найти зависимость вида jb = jb (U0 ) , т.е. выразить плотность тока пучка через ускоряющее напря-

жение. При этом оказывается, что результат будет содержать значение производной потенциала на катоде. В связи с этим следует обратить особое внимание на последнее условие в

66

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ϕ = 0

ϕ = U0 > 0

Объемный

заряд

x

x = 0

x = d

Рис. 16.1

Схематическое изображение плоского диода

67

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

соотношениях (16.3). Оно означает равенство нулю напряженности электрического поля на катоде и отражает бесконечную эмиссионную способность катода: чуть только поле на катоде оказывается в ту или иную сторону отличным от нуля, возникает такой избыток или недостаток электронов, что поле обращается в нуль (поскольку v(0) = 0 , то при jb = const име-

ем nb (0) = ∞ ). Такое предположение вполне оправдано, поскольку взрывные катоды обла-

дают очень высокой эмиссионной способностью. Заметим также, что если бы собственный пространственный заряд пучка не учитывался, то правая часть первого уравнения (16.3) была бы равна нулю, что мы фактически и предполагали в Главе III при рассмотрении эмиссионных явлений.

Проделаем описанные выше вычисления для случая нерелятивистского электронного пучка, когда вместо второго соотношения (16.4) имеем следующее:

mv(x)2 2 = | e | ϕ(x) .

 

 

 

 

(16.5)

Находя из (16.5)

v(x)

и подставляя результат в первое соотношение (16.4), выражая далее

оттуда nb (x) и подставляя в (16.3), получим следующее уравнение для потенциала:

d 2ϕ(x) =

µ

, µ = 4π

m

| j

b

| .

(16.6)

dx2

ϕ(x)

 

2 | e |

 

 

 

Однократное интегрирование уравнения (16.6) с учетом условий на катоде дает

ϕ1 4dϕ = 2

µdx .

 

 

 

 

(16.7)

Интегрируя далее обе части (16.7) в пределах от x = 0, ϕ = 0

до x = d, ϕ =U0 , окончательно

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

2e U03 2

 

m

9πd

2

| jb |=

 

 

cU0

 

 

2πd

2

 

 

 

 

при eU0 << mc2 ,

(16.8)

при eU0 >> mc2 .

Поясним, что нами здесь получена только первая, нерелятивистская (eU0 << mc2 ) часть формулы (16.8), известная как формула Чайлда - Ленгмюра или закон трех вторых. Ультра-

релятивистский (eU0 >> mc2 ) результат дан без вывода. Видно, что учет объемного заряда пучка привел к ограничению на величину плотности тока: без учета объемного заряда, при бесконечной эмиссионной способности катода, плотность тока могла бы быть бесконечной. Можно ожидать (см. далее), что при нейтрализации объемного заряда пучка плазмой или ионным фоном плотность диодного тока, по сравнению с (16.8), может быть увеличена.

Учитывая соотношение | e | U0 = mc2 (γ 1) , перепишем (16.8) через релятивистский фактор электрона на аноде

68

 

 

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

 

 

2(γ 1)3 2

при

γ

1 +

u2

,

| jb |= I0

 

9πd

2

2c

2

 

 

 

 

 

 

(16.9)

 

 

γ

2

 

при

 

γ >>1.

 

 

 

2πd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь u - скорость электрона на аноде. Последние два выражения удобно записать единым образом с помощью интерполяционной формулы

| j

|= I

 

(γ 2 3 1)3 2

,

(16.10)

 

2πd 2

b

 

0

 

 

где, как и в (16.9), I0 - ток (16.1). При γ = 2 и d =1см из (16.10) находим ток в 1,2kA с одно-

го квадратного сантиметра поверхности катода.

Помимо собственного электростатического поля, у пучка есть и собственное магнитное поле. Выяснить его роль несколько сложнее. Для импульсных электронных пучков важными могут быть переходные процессы, в результате которых формируются фронты пучка и устанавливается квазистационарный режим протекания тока. Если магнитная энергия тока сравнима с кинетической энергией электронов, то в течение достаточно длительного времени мощность источника тока будет расходоваться на создание магнитного поля, что скажется на форме импульса тока пучка – она будет значительно отличаться от формы импульса ускоряющего напряжения в диоде. Вычислим ток, при превышении которого учет собственного магнитного поля должен быть существенным. Рассмотрим тонкий трубчатый пучок толщи-

ной b и средним радиусом rb в цилиндрическом дрейфовом пространстве с радиусом R ,

причем b << rb < R (Рис. 16.2, ток пучка перпендикулярен плоскости рисунка). По теореме о циркуляции магнитного поля для магнитной индукции имеем формулу (магнитное поле в малой области толщиной b , где находятся электроны пучка, не учитываем)

2I

 

cr , r (r , R),

(16.11)

B =

b

b

 

0,

r (rb , R).

 

Приравнивая магнитную энергию кинетической ∫∫B2 8π dS = Sbnbmc2 (γ 1)

(речь идет о

энергиях, приходящихся на единицу длины дрейфового пространства, а интеграл берется по

поперечному сечению пространства дрейфа в области r (rb , R) ,

dS = 2πrdr ), находим сле-

дующее выражение для тока пучка:

 

 

c

 

R

1

 

 

 

 

 

Ib = I0 u

 

(16.12)

(γ 1) ln r

.

 

 

 

b

 

 

При превышении током пучка значения (16.12) собственное магнитное поле существенно влияет на динамику импульса тока. Заметим, что при γ >>1 зависимость тока (16.12) от ре-

лятивистского фактора такая же, как и в (16.10), т.е. ток пучка пропорционален γ . 69

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

R

r

Рис. 16.2

Трубчатый пучок в цилиндрическом пространстве дрейфа – поперечное сечение. Ток пучка перпендикулярен плоскости рисунка

70

Соседние файлы в папке ЭЛТ