ASVT Материалы / Лекции / ЭЛТ / 27_VaN[1]

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

§ 17. Кинетическое уравнение с самосогласованным полем

При теоретическом описании электронного пучка в качестве основной модели может быть использована плазменная модель. Традиционно под плазмой понимают квазинейтральную систему заряженных частиц, что предполагает наличие зарядов как минимум двух сортов - электронов и ионов. Пучки заряженных частиц свойством квазинейтральности вообще говоря не обладают. В связи с этим обстоятельством был введен специальный термин – заряженная плазма. Именно как заряженную плазму мы и будем рассматривать пучки электронов. В общем случае заряженная плазма является многокомпонентной, т.е. содержит частицы различных сортов. Например, при распространении пучка в вакууме есть только электронная компонента, при его распространении в обычной плазме имеются заряженные частицы как минимум трех сортов: электроны самого пучка, электроны фоновой плазмы, ионы фоновой плазмы.

Известно, что наиболее общее описание плазмы, в том числе и заряженной, достигается с помощью кинетического уравнения. Метод кинетического уравнения использует вероятностный подход. При этом вводится функция распределения частиц сорта α

вующего сорта. Такая функция распределения зависит от очень большого числа переменных, поэтому описание, основанное на распределении (17.1), является слишком подробным и сложным. Однако, если частицы не взаимодействуют между собой (т.е. не сталкиваются), то их можно рассматривать как независимые. Тогда, в соответствии с теоремой умножения ве-

плотность вероятности нахождения частицы в момент времени t в точке r , p фазового про-

странства. При этом выражение

drrdpr фазового пространства около точки r, p . Здесь dr = dxdydz и dpr = dpxdpy dpz - элемен-

ты объемов в конфигурационном и импульсном пространствах соответственно. Функцию распределения принято нормировать так, что

71

Подставляя далее (17.5) в (17.9), приходим окончательно к следующему кинетическому уравнению для одночастичной функции распределения:

Уравнение (17.10) называется кинетическим уравнением Власова. Оно впервые было предложено в 1937 г. профессором физического факультета Московского университета А.А. Власовым.

Такое уравнение должно быть записано для каждого сорта заряженных частиц α , составляющих плазму. Плотность тока и плотность заряда определяются при помощи функции распределения формулами

rj = ∑eα ∫vrfα dpr,

Формулы (17.11) подразумевают нормировку функции распределения на плотность частиц

что согласуется с (17.4), поскольку ∫nα drr = Να .

Независимыми переменными в уравнении (17.10), т.е. аргументами функции распре-

В нерелятивистском случае p2 << mα2 c2 и pr = mαvr , где mα - масса покоя частицы сорта α .

Кинетическое уравнение (17.10) совместно с выражениями (17.11) и уравнениями для векторов электромагнитного поля образуют полную систему уравнений, описывающих согласованное движение частиц плазмы с возникающими при этом электромагнитными полями. В связи с этим уравнение (17.10) называют еще кинетическим уравнением с самосогласованным полем в бесстолкновительном пределе. Поскольку в рамках кинетического уравнения Власова (17.10) столкновения частиц между собой не учитываются, оно пригодно только для описания процессов, протекающих за времена, меньшие, чем время свободного пробега частиц (время между двумя столкновениями). В настоящем курсе рассматриваются именно такие процессы.

73

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

§ 18. Уравнения многожидкостной гидродинамики

Менее общим, но более простым, является гидродинамический метод описания плазмы. Получение гидродинамических уравнений сводится к отысканию замкнутой системы для моментов функции распределения частиц сорта α :

так называемый тензор давления. В уравнениях (18.2) использованы общепринятые обозначения для дифференциальных операторов

r = ∂∂x ir + ∂∂y rj + ∂∂z kr,

(18.4)

(Vrα r)=Vαx ∂∂x +Vαy ∂∂y +Vαz ∂∂z .

Интегрирование кинетического уравнения (17.10) по импульсам при получении (18.2) про-

водилось с учетом обращения функции распределения fα в нуль при pr → ∞ .

Первое из уравнений (18.2) есть уравнение непрерывности, второе – уравнение движения. Оно, однако, не является замкнутым, так как содержит тензор (18.3), пока еще не выраженный через гидродинамические величины (18.1). Проблема получения уравнений гидродинамики как раз и состоит в том, чтобы выразить (18.3) через гидродинамические величины (18.1). В общем случае проблема эта чрезвычайно сложна, но для холодной системы заряженных частиц решается достаточно просто.

Пусть выполнено неравенство

74

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

мя некоторого процесса. Если справедливо неравенство (18.5), то за время развития процесса частицы успевают сместиться с тепловой скоростью на расстояния, много меньшие характерного пространственного размера. При этом систему частиц можно считать холодной и

Интегрирование выражения (18.6) показывает, что соотношения (18.1) выполняются автома-

тически, а тензор давлений (18.3) равен нулю – Πα (rr,t)= 0 .

Таким образом для холодной системы заряженных частиц замкнутая система уравнений гидродинамики записывается в виде

Второе уравнение системы (18.7) – уравнение движения, также называемое уравнени-

ем Эйлера, обычно записывают не через гидродинамический импульс Prα , а через гидроди-

намическую скорость Vrα . Учитывая, что связь между Vα и Pα такая же, как и в (17.13), мож-

но уравнение движения преобразовать к виду (см. также уравнение (1.9))

Уравнения непрерывности и движения (18.7) должны быть записаны для каждого сорта заряженных частиц α . Плотность тока и плотность заряда определяются при помощи гидродинамических величин формулами

Гидродинамику, основанную на уравнениях (18.7), называют многожидкостной гидродинамикой холодной плазмы без столкновений. Уравнения (18.7) совместно с выражениями (18.10) и уравнениями для векторов электромагнитного поля образуют полную систему уравнений, описывающих согласованное движение частиц с возникающими и изменяющимися при этом движении электромагнитными полями.

75

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Гидродинамическое описание является менее общим, чем описание, основанное на кинетическом уравнении Власова. Более того, некоторые процессы даже в холодных плазме и пучке рассмотренной гидродинамикой вообще не описываются. Дело в том, что представ-

ление функции распределения в виде (18.6) предполагает, что скорость Vrα (rr,t) является од-

нозначной функцией координат. В физике электронных пучков часто рассматриваются процессы, при которых однозначность поля скоростей Vα (rr,t) нарушается. К таким процессам относятся опрокидывание волны, захват частиц, образование виртуального катода, разогрев и ряд других. Подобные явления могут быть адекватно описаны только в рамках кинетического уравнения Власова.

В дальнейшем большое внимание уделяется рассмотрению электронных пучков и плазменных структур, для которых характерна осевая симметрия, обусловленная способами их формирования. При описании систем с подобной симметрией удобно вместо декартовой системы ( x, y, z ) использовать цилиндрическую систему координат ( r,ϕ, z ). Известную трудность представляет запись уравнений (18.8) и (18.9) в цилиндрических координатах. Дело в том, что не все формулы векторного анализа сохраняются при переходе от декартовых координат к криволинейным. Это относится и к выражению (V )V . Используя тождество

и расписывая по известным формулам векторного анализа операции grad и rot в цилиндрических координатах, преобразуем уравнения (18.8) и (18.9) к виду

Здесь Vr , Vϕ , Vz - компоненты вектора скорости в цилиндрической системе координат (индекс

сорта частиц для краткости опущен), а Fr , Fϕ , Fz - компоненты правых частей соответствую-

щих уравнений в цилиндрических координатах.

§ 19. Уравнения электромагнитного поля, материальные уравнения, граничные условия, потенциальное приближение

Специфические особенности плазмы проявляются, когда распределение зарядов и токов в ней становится неоднородным, и возникают макроскопические электромагнитные по-

76

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ля. Эти поля влияют на движение заряженных частиц плазмы, индуцируя в ней заряды и токи, которые, в свою очередь, изменяют электромагнитные поля. Происходит самосогласованное взаимодействие заряженных частиц и электромагнитного поля. В заряженной плазме помимо индуцированных зарядов и токов и согласованного с ними электромагнитного поля имеются собственные заряды и токи, создающие собственное электрическое и магнитное поле (собственные заряды, токи и поля также являются самосогласованными). Именно в случае электронных пучков большой плотности роль таких макроскопических собственных полей может быть велика, в чем мы уже убедились ранее на примере прохождения тока в плоском диоде (имеется в виду закон трех вторых).

Уравнения электромагнитного поля в плазме записываются в виде

Здесь ρ0 и rj0 −плотности заряда и тока внешних источников, ρ и j − плотности зарядов и

токов в плазме (включая собственные и индуцированные), E и B − напряженность электри-

ческого и индукция магнитного полей. Вектора E и B определяют силу Лоренца, входящую в уравнения динамики заряженных частиц (17.10) и (18.7).

Плотности зарядов и токов в плазме не являются независимыми – они связаны между

являющимся следствием третьего и второго уравнений системы (19.1). При этом предполага-

ется, что и плотности внешних источников ρ0 и j0 либо отсутствуют (равны нулю), либо также удовлетворяют аналогичному уравнению

Плотности заряда и тока внешних источников ρ0 и j0 считаются заданными функ-

циями координат и времени, что же касается величин ρ и j , то они вычисляются с исполь-

зованием той или иной конкретной модели среды. Так, в модели кинетического уравнения с самосогласованным полем индуцированные плотности заряда и тока вычисляются по фор-

мулам (см. (17.11))

αα

вкоторых функция распределения fα определяется из кинетического уравнения (17.10). В

77

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

модели многожидкостной гидродинамики для вычисления ρ и j используются следующие

формулы (см. (18.10)):

Здесь Nα и Vrα определяются из гидродинамических уравнений (18.7) (см. также (18.8) и (18.9)).

Соотношения типа (19.3) и (19.4) называют материальными уравнениями. Поскольку функции fα , Nα и Vrα вычисляются из соответствующих уравнений динамики плазмы, со-

держащих вектора поля Er и Br , то и плотности заряда ρ и тока j в плазме являются функ-

циями Er и Br . Следовательно, материальные уравнения типа (19.4) и (19.5) замыкают систему уравнений электромагнитного поля в плазме (19.1). Применительно к заряженной плазме понятие материальных уравнений следует уточнить.

Разделим плотности заряда и тока в плазме на собственные ρ(s) , rj (s) и индуцирован-

При записи соотношений (19.5) мы предположили, что собственные заряд и ток являются стационарными, т.е. не зависят от времени t . В соответствии с этим предположением электромагнитное поле можно представить в виде

Здесь Er0 и Br0 - внешние электрическое и магнитное поля внешних источников (например, в

плоском диоде, показанном на Рис. 16.1, внешнее поле межэлектродного промежутка задано,

оно направлено по оси x и равно E0 = −U0 d ), а E(s) (rr) и B(s) (rr) - собственные поля заря-

женной плазмы. Учитывая линейность уравнений поля (19.1), запишем независимые уравнения для собственных полей и для индуцированного переменного электромагнитного поля. Для собственных полей имеем:

div E(s) = 4πρ(s) ,

Для переменного электромагнитного поля уравнения имеют вид

78

Заметим, что разделение общих уравнений поля (19.1) на системы (19.7) и (19.8) не означает, что внешние, стационарные и переменные электромагнитные поля независимы: в кинетическое уравнение (17.10) и уравнения гидродинамики (18.7) входят полные поля (19.6). Все, что далее говорится о материальных уравнениях имеет смысл применительно только к уравнениям поля (19.8).

При рассмотрении нестационарных процессов в электродинамике плазмы и плазмоподобных сред (к таковым средам относятся и пучки заряженных частиц) принято общее определение материальных уравнений, не апеллирующее к конкретным моделям среды. Используя уравнение непрерывности (19.2), плотность индуцированных зарядов ρ~ можно вы-

первое уравнение системы (19.8), можно выразить индукцию переменного магнитного поля

где σˆ - оператор проводимости. Для определения явного вида этого оператора требуется привлечение тех или иных конкретных моделей среды. В общем случае оператор проводимости такой, что связь (19.9) является нелинейной, нелокальной и тензорной (см. далее). За-

метим, что оператор проводимости σˆ зависит вообще говоря и от внешнего и от собственного электромагнитных полей.

В нестационарной электродинамике плазмоподобных сред используется и иная форма записи материального уравнения (19.9). Можно объединить плотность индуцированного то-

Используя соотношение (19.10) и уравнение непрерывности (19.2), уравнения поля (19.8) можно записать в виде

79

В (19.12) введен, связанный с оператором проводимости σˆ , оператор диэлектрической про-

ницаемости εˆ . Соотношение (19.12) является наиболее принятой формой записи материального уравнения в электродинамике плазмоподобных сред.

Уравнения поля (19.1) вместе с материальными уравнениями (19.3), (19.4) образуют полную систему уравнений электродинамики релятивистских пучков, физики плазмы и СВЧ электроники. Граничные условия к этой системе получаются путем интегрирования уравнений поля (19.1) по физически бесконечно малому объему или физически бесконечно малому контуру, охватывающим границу раздела двух сред. Обычно приходится иметь дело с границами раздела пучок – вакуум, пучок – металл, пучок – плазма, пучок – диэлектрик и т.п. Процедура получения граничных условий из уравнений поля хорошо известна из курса электродинамики сплошных сред и здесь подробно не воспроизводится. Напомним только ряд важных фактов.

Вектора поля Er и B как величины, имеющие непосредственный физический смысл (они определяют силу, действующую на заряд), являются ограниченными. Но на резких границах раздела сред они могут иметь разрывы, т.е. – обращающиеся в бесконечность производные. Причиной разрывов являются поверхностные (локализованные на границах раздела) заряды и токи.

Из четвертого уравнения (19.1) следует непрерывность на границе раздела двух сред нормальной составляющей вектора магнитной индукции B :

Нормаль к границе раздела сред считается направленной из первой среды во вторую. Из первого уравнения системы (19.1) следует непрерывность на границе раздела двух сред танген-

циальной составляющей вектора напряженности электрического поля E :

80