Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
14
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
4.53 Mб
Скачать

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

 

1

 

 

L

 

L 3

 

ψ (t) =

 

κ1κ2ψ

 

 

 

 

 

(48.19)

3

t

Wg

 

exp(iδ jσL) .

 

 

 

 

Vg j=1

 

Решение последнего уравнения имеет вид (проверяется прямой подстановкой)

 

ψ = const exp(iω t) ,

 

 

 

(48.20)

где ω совпадает (48.12).

§ 49. Генераторы встречных волн на одночастичном вынужденном эффекте Черенкова

Перейдем теперь к случаю Vg < 0 , когда излучаемая волна распространяется в сторо-

ну, противоположную направлению движения пучка, т.е. рассмотрим одночастичное возбуждение встречной волны в ограниченной области пространства. Формулы (48.1), (48.2) спра-

ведливы и в этом случае, но с заменой Vg на | Vg | , а вот простых приближенных выраже-

ний вида (48.4) не достаточно. В связи с чем теория одночастичного эффекта Черенкова на встречной волне в ограниченной области пространства оказывается весьма сложной. Поэтому здесь мы изложим не всю линейную теорию, а ограничимся только пороговым условием развития неустойчивости в системах конечной длины, т.е. определим стартовые условия начала генерации. Начнем с простого частного случая, когда граница z = L абсолютно прозрачна для электромагнитного излучения. Подставляя решение (48.2) в граничные условия

(45.18) при κ2 = 0 , получим систему линейных однородных уравнений

(ω + k1 | Vg |) A + (ω + k2 | Vg |)B + (ω + k3 | Vg |)C = 0,

 

k1 (ω + k1 | Vg |) A + k2 (ω + k2 | Vg |)B + k3 (ω + k3 | Vg |)C = 0,

(49.1)

Aexp(ik1L) + B exp(ik2 L) + C exp(ik3 L) = 0.

 

Исключая далее из (49.1) постоянные А, В и С, находим следующее характеристическое уравнение для собственных частот:

(k1 k2 )

exp(ik3 L)

 

+ (k3 k1 )

exp(ik2 L)

 

+ (k2 k3 )

exp(ik1L)

 

= 0 ,

(49.2)

ω + k

3

| V

g

|

ω + k

2

| V

g

|

ω + k

| V

g

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

справедливое при κ1κ2 = 0 , т.е. при нулевой (точнее минимальной) добротности резонатора,

в котором электронный пучок излучает встречную волну. Заметим, что в случае попутной волны при κ1κ2 = 0 из (48.15) при конечном L имеем Imω → −∞, что означает невозмож-

ность развития неустойчивости. Дело как известно в том, что пучковая неустойчивость на попутной волне является конвективной. Для возможности такой неустойчивости в ограниченной системе необходимо конечное отражение от ее продольных границ. Неустойчивость пучка на встречной волне является абсолютной. Такая неустойчивость возможна и при пол-

241

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ном отсутствии отражения. С аналогичной ситуацией мы уже встречались ранее, рассматривая генерацию на попутной волне (формула (46.9)) и генерацию на встречной волне (§ 47) в режиме коллективного эффекта Черенкова.

Для учета отражения электромагнитных волн от границ z = 0, L подставим решение

(48.2) в общие граничные условия (45.18). В результате получим систему

(ω + k1 | Vg |) A + (ω + k2 | Vg |)B + (ω + k3 | Vg |)C = 0,

 

k1 (ω + k1 | Vg |) A + k2 (ω + k2 | Vg |)B + k3 (ω + k3 | Vg |)C = 0,

(49.3)

D = κ1 ( A + B + C),

 

Aexp(ik1L) + B exp(ik2 L) + C exp(ik3 L) = κ2 D exp(ik4 L).

 

Исключая далее постоянную D , преобразуем систему (49.3) к виду

 

(ω + k1 | Vg |) A + (ω + k2 | Vg |)B + (ω + k3 | Vg |)C = 0,

 

k1 (ω + k1 | Vg |) A + k2 (ω + k2 | Vg |)B + k3 (ω + k3 | Vg |)C = 0,

(49.4)

A(exp(ik14 L) κ1κ2 )+ B(exp(ik24 L) κ1κ2 )+ C(exp(ik34 L) κ1κ2 )= 0,

 

где k j 4 = k j k4 . Сравнивая теперь (49.4) с (49.1) и используя уравнение (49.2), сразу полу-

чим следующее дисперсионное уравнение, описывающее одночастичный эффект Черенкова на встречной волне с учетом конечного отражения электромагнитных волн от продольных границ резонатора:

(k

k

2

)

exp(ik34 L) κ1κ2

+ (k

3

k

)

exp(ik24 L) κ1κ2

+ (k

2

k

3

)

exp(ik14 L) κ1κ2

= 0 .

(49.5)

 

 

 

1

 

 

ω + k3

| Vg |

 

1

 

ω + k2 | Vg |

 

 

 

ω + k1

| Vg |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения (49.2) и (49.5) удается решить только численно, но здесь мы не будем рассматривать детали этого весьма сложного численного анализа. Сформулируем только основной результат: для развития неустойчивости, обусловленной одночастичным вынужденным эффектом Черенкова на основной продольной моде ( n = 0 ) встречной волны в системе конечной длины, требуется выполнение стартового условия

3

U 2 | Vg |

p(κ)

(49.6)

b >

L

 

 

 

где p(κ) - величина, близкая к двум в широком диапазоне изменения общего коэффициента отражения κ . В частности имеет место точное равенство p(0) = 2 . Неравенство (49.6) целе-

сообразно сопоставить со стартовым условием (47.27) начала генерации встречной волны при коллективном эффекте Черенкова.

Для применения полученных в Главе IX общих стартовых условий начала генерации к конкретным физическим системам требуется определить для этих систем параметры (45.10) и (45.13), что и будет сделано в заключительной главе нашего курса.

242

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Глава IX. СВЧ приборы на релятивистских электронных пучках

§ 50. Плазменные СВЧ генераторы

Разработке плазменных источников СВЧ излучения посвящен специальный раздел физики плазмы и электронных пучков – плазменная релятивистская СВЧ электроника. В плазме имеется чрезвычайно богатый набор разнообразных электромагнитных волн, которые легко и эффективно могут возбуждаться электронным пучком, а затем - трансформироваться в вакуумную электромагнитную волну, т.е. излучаться. Для получения основных уравнений линейной плазменной СВЧ электроники исходим из системы уравнений (37.1), которую,

введя новую функцию A(t, z, rr ) = ∂ψ t , запишем следующим образом:

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

c

 

 

t

 

A = −4πPb (r ) jb 4πPe (r ) je ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

je

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ωLe

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A,

 

 

(50.1)

 

4π

 

z2

c2

t2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

ωLb2 γ

3

 

2 1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t + u z

 

 

jb =

 

 

 

 

 

 

 

z2 c2 t2

 

 

 

 

 

4π

 

 

 

A.

Рассмотрим случай тонких (игольчатых) в поперечном сечении волновода плазмы и пучка, профили плотности которых даются формулами

P

(rr

) = S

δ(rr

rr ),

 

 

e

 

 

e

 

 

e

(50.2)

P (rr

) = S

δ(rr

rr ).

 

 

b

 

 

b

 

 

b

 

Здесь S

e

, S

b

и rr

, rr

- площади поперечных сечений и поперечные координаты плазмы и пуч-

 

 

 

e

 

b

 

 

 

ка соответственно. Используя операторы частоты и волнового числа (45.2) и осуществляя замены 4πje je , 4πjb jb , преобразуем систему (50.1) к компактной форме

 

 

(∆ − χˆ 2 )A = −Pb (rr ) jb Pe (rr ) je ,

 

 

 

ω2

j

e

= ω2

χ2 A,

 

 

 

 

 

(50.3)

 

 

ˆ

 

 

Le ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ 2

 

= ω

2

γ

3

χ

2

A,

 

 

 

(ω uk )

j

b

Lb

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

где χˆ

2

 

ˆ2

c

2

 

2

. Заметим, что во второе и третье уравнения системы (50.3) входит функ-

 

= k

 

ωˆ

 

ция A(t, z, rr ) только в точках нахождения плазмы и пучка соответственно, т.е.

A(t, z, rr ) и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

A(t, z, rr ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разложим функцию A(t, z, rr ) по собственным функциям поперечного сечения волно-

вода (см. (26.8) и (26.9))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(t, z, rr ) = An (t, z)ϕn (rr ) .

(50.4)

n=1

Подставим разложение (50.4) в первое уравнение системы (50.3) и, используя ортогональ-

243

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ность собственных функций ϕn (rr ) , выразим коэффициенты разложения An (t, z)

 

 

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

A

(t, z) = (k 2

+ χˆ

2 )1

 

Sbϕn (rb )

j

(t, z) +

Seϕe (re )

j

(t, z)

 

.

(50.5)

 

 

n

n

 

 

|| ϕn ||

2

b

 

|| ϕn ||

2

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь (k 2n + χˆ 2 )1 - оператор обратный оператору k 2n + χˆ 2 . Подставим далее (50.5) в разло-

жение (50.4), а разложение (50.4) подставим во второе и третье уравнения системы (50.3). В

результате получим следующие уравнения для функций

je (t, z)

и

jb (t, z) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

2

2

 

 

3

 

2

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Sbϕn (rb )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ωˆ uk) +ωLbγ

 

χˆ

 

(k n +

χˆ

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jb =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|| ϕn ||

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

S ϕ(rr)ϕ(rr )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −ωLb2 γ 3

χˆ

(k 2n

+

χˆ 2 )

 

e

e

 

b

 

je ,

(50.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|| ϕn ||

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

S ϕ

2

(rr)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

S ϕ(rr )ϕ(rr)

 

ωˆ 2 +ωLe2

χˆ

 

(k 2n + χˆ

2 )

 

 

e n

 

 

 

e

 

 

 

je

 

= −ωLe2

 

χˆ

(k 2n

+

χˆ 2 )

 

b

b

 

e

jb .

 

 

 

 

 

|| ϕn ||

2

 

 

 

 

|| ϕn ||

2

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что уравнения (50.6) совпадают с общими уравнениями (45.1), причем

U = u , A

= j

b

,

A = j

e

, ω2

= ω2

 

, под ω

2

 

 

 

в (45.1) следует понимать ω2

γ 3 , а операторы оп-

b

 

 

 

w

 

 

 

 

w

 

 

 

Le

 

 

 

 

 

 

 

 

Lb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lb

 

 

 

 

 

 

ределяются формулами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Seϕn

(re )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dw (ωˆ, k) De

(ωˆ, k)

= −ωˆ

 

+ωLe

χˆ

 

 

 

(k n + χˆ

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|| ϕn ||

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

ˆ

= S

Q

 

 

 

ˆ

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ω, k) Q (ω, k)

(ω, k),

 

 

 

(ω, k) = S Q (ω, k),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

ˆ

 

 

 

e

ˆ

 

 

 

 

b

 

 

0

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

e

 

0

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(50.7)

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ϕ(rb )ϕ(re )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q0 (ωˆ, k)

=

χˆ

 

(k n

+ χˆ

 

)

 

 

|| ϕn ||

2

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Sbϕn

 

(rb )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gb (ωˆ, k)

=

χˆ

 

(k n

+ χˆ

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|| ϕn

 

 

||

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система уравнений (45.3), определяющая на плоскости

k, ω

резонансную

точкуk = k0 ,

ω = ω0 , для рассматриваемого плазменно-пучкового волновода имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

χ

2

 

 

 

 

 

 

2

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Db (ω, k) ≡ −(ω ku)2 +ωbe2 γ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sbϕn

(rb )

 

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

k n

 

+ χ

 

 

 

|| ϕn ||

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(50.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

χ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

De (ω, k) ≡ −ω2 +ωLe2

 

 

 

 

 

Seϕn

(re )

 

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 k n + χ

 

 

 

 

|| ϕn ||

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где χ2 = k 2 ω2

c2 . Приведем еще дисперсионное уравнение (39.2), являющееся следствием

дифференциальных уравнений (50.6),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ω2 − Ω2Le ) ((ω ku)2 − Ω2Lb )= ΘΩ2Le2Lb .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(50.9)

Здесь

244

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

 

χ

2

 

2

r

 

 

 

χ

2

 

2

r

 

 

2Le = ωLe2

 

 

 

Seϕn

(re )

 

,

2Lb = ωbe2 γ 3

 

 

 

Sbϕn

(rb )

 

-

2

 

2

 

2

2

 

2

 

2

n=1

k n + χ

 

 

|| ϕn ||

 

 

n=1

k n + χ

 

 

|| ϕn ||

 

 

квадраты частот собственных волн плазмы и пучка, а

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

ϕ

r

r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(rb )ϕ(re )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ χ

2

 

2

 

 

 

 

 

Θ =

 

 

 

n=1

k n

 

 

 

|| ϕn ||

 

 

 

 

 

 

-

 

 

1

 

 

2

r

 

 

1

 

 

 

2

r

 

 

 

 

 

 

ϕn

(rb

2)

 

 

 

 

ϕn

(re

2)

 

2

 

 

2

2

+ χ

2

 

n=1

k n + χ

 

 

|| ϕn ||

 

n=1 k n

 

|| ϕn ||

 

 

(50.10)

(50.11)

коэффициент связи плазменных и пучковых волн. Можно показать (см. неравенство Коши-

Буняковского), что 0 < Θ ≤1, причем равенство Θ единице имеет место только при rrb = rre .

Общие формулы (50.10) и (50.11) применимы к важной для практических применений геометрии – тонким трубчатым плазме и пучку (радиусы re и rb , толщины e и b ) в волно-

воде кругового сечения с радиусом R . В этом случае k n = µl,n R , ϕn = Jl (k n r) , µl,n - корень функции Бесселя Jl (x) (см. пояснения к краевой задаче (26.8) и Рис. 26.1), l = 0,1,2... - азиму-

тальное волновое число. Вычисление величин (50.10) и (50.11) для цилиндрической геометрии дает следующий результат (при этом используются формулы вида (26.14)):

2

= ω2

χ2r

 

I 2 (χr )

Kl (χre )

 

Kl (χR)

 

,

 

 

 

 

 

 

 

Le

Le

e

e

l

e

I

(χr

)

 

 

I

(χR)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

e

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

(50.12)

 

 

 

 

 

I 2 (χr )

Kl

(χrb )

 

 

Kl (χR)

 

2

= ω2

γ 3 χ2r

,

 

 

 

Lb

Lb

 

 

b b

l

b

 

I

(χr

)

 

 

I

(χR)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

b

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

Il (χrb )

 

Kl (χre )Il (χR)Kl (χR)Il (χre )

,

r

r

 

 

 

 

 

(χre ) Kl

(χrb

)Il

(χR)Kl

(χR)Il

(χrb )

 

b

e

 

Il

 

 

,

(50.13)

Θ = I

(χr ) K

(χr

)I

(χR)K

(χR)I

(χr )

,

rb

I

(χr

) K

(χr )I

(χR)K

(χR)I

(χr )

re

 

 

l

e

 

 

l

b

l

l

l

b

 

 

 

 

 

l

b

 

 

l

e

l

l

l

e

 

 

 

 

где Il (x) и Kl (x) - функции Инфельда и Макдональда соответственно.

Рассмотрим для цилиндрической геометрии систему уравнений (50.8). Второе урав-

нение этой системы ω2 = Ω2Le (ω, k) определяет собственные частоты волн плазменного вол-

новода. Среди множества таких волн имеются замедленные (| ωk | < c ) поверхностные вол-

ны (одна для каждого l ), которые и представляют здесь для нас интерес, поскольку только они могут возбуждаться прямолинейным электронным пучком. В длинноволновом пределе,

когда k 0 , используя асимптотики функций Il (x)

и Kl (x) , для частот замедленных волн

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω = kc

ω

Le

,

 

[r

 

ln(R r )]1,

 

 

l = 0,

,

(50.14)

 

k 2e =

e

 

e

 

 

e

1

,

l =1,2,...

k 2

c2 +ω2

 

2l{r

e

[1 (r R)2l ]}

 

 

e

 

Le

 

 

 

 

e

 

e

 

 

 

 

 

245

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

где, k e - поперечное волновое число замедленной поверхностной плазменной волны (в на-

ших обозначениях k kz - продольное волновое число). При большой плотности плазмы,

ωLe2 > k 2ec2 , волны (50.14) являются сильно непотенциальными. В области более коротких длин волн, порядка радиуса плазменной трубки re , частоты поверхностных волн не зависят от l и определяются выражением (как у волн на глубокой воде):

ω = ωLe (ke 2 )1 2 .

(50.15)

И наконец, при длинах волн меньших e модель плазмы с профилем (50.2) просто не верна,

поскольку не учитывает запирания поля волн в объеме плазмы. Учёт конечности толщины плазмы приводит как и положено к тому, что при k 2 → ∞, ω2 ωLe2 . Но это происходит уже когда плазменные волны сильно потенциальны и их черенковское возбуждение электронным пучком не представляет интереса для плазменной релятивистской СВЧ электроники.

На Рис. 50.1 изображена дисперсионная кривая ω(k) симметричной ( l = 0 ) поверхно-

стной плазменной волны (кривая 1). Дисперсионная кривая построена путем численного решения второго уравнения (50.8) для следующих конкретных параметров волновода и плазмы: R =1.8см, re =1см, e = 0.1см, ωLe = 35 1010 рад/ с. Начальный, почти прямолинейный,

участок дисперсионной кривой описывается формулами (50.14). На этом участке волну называют плазменной кабельной. Следующий участок кривой описывается законом дисперсии (50.15). При приближении к плазменной частоте кривая перестаёт быть верной; необходим учёт конечности толщины плазмы.

На Рис. 50.1 проведена так же прямая одночастичного черенковского резонанса

ω = ku (для скорости пучка u = 2.6 1010 / c.) и обозначена точка одночастичного черенковского резонанса I – точка пересечения прямой ω = ku с дисперсионной кривой ω(k) . Не трудно видеть, что с уменьшением ωLe частота черенковского резонанса уменьшается и при

ωLe2 =ωLe2 пор. = k2eu2γ 2 (50.16)

обращается в нуль. Порог (50.16) зависит от азимутального волнового числа l , минимальный порог имеет симметричная поверхностная волна с l = 0 . Если плазменная частота меньше пороговой, то одночастичный черенковский резонанс невозможен.

Частоты пучковых поверхностных волн определяются из первого дисперсионного уравнения (50.8) (ω ku)2 = Ω2Lb (ω, k) . На Рис. 50.1, кроме плазменных, изображены и дис-

персионные кривые симметричных ( l = 0 ) волн бесконечно тонкого трубчатого пучка при

rb = 0.65см, b = 0.1см, токе пучка Ib = 2kA и γ = 2 ( u = 2.6 1010 см/ c ). Волна с большей чем u фазовой скоростью (ей соответствует кривая 3) является быстрой пучковой волной, а вол246

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ω (1010 радс)

k (см-1 )

Рис. 50.1

Спектры колебаний волновода с замагниченными тонкими плазмой и пучком (взаимодействие плазмы и пучка не учтено): 1- волна плазмы; 2- медленная волна пучка; 3- быстрая волна пучка; I - точка одночастичного черенковского резонанса;

II - точка коллективного черенковского резонанса.

247

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

на с меньшей фазовой скоростью (кривая 2) – медленной волной. Медленная волна пучка, как было уже установлено нами ранее (см. §§ 27, 28), имеет отрицательную энергию, что и приводит к неустойчивости пучка в плазме. Точка пересечения дисперсионной кривой плазменной кабельной волны 1 и дисперсионной кривой медленной пучковой волны 2 является точкой коллективного черенковского резонанса. На Рис. 50.1 она отмечена как точка II.

Именно эта резонансная точка k = k0 , ω = ω0 и определяется из системы уравнений (50.8).

Дисперсионные кривые на Рис. 50.1 такие, как если бы взаимодействие пучка и плазмы в волноводе полностью отсутствовало, т.е. параметр связи Θ в уравнении (50.9) равнялся нулю. При Θ ≠ 0 возникает неустойчивость и дисперсионные кривые качественно изменяются. На Рис. 50.2 представлены дисперсионные кривые для случая Θ =1 , когда взаимодействие пучка и плазмы сильное. Кривые получены численным решением уравнения (50.9) для следующих параметров системы: rb = re = 0.65см, b = ∆e = 0.1см, γ = 2, R =1.8см, Ib = 2kA ,

ωLe = 35 1010 рад/ c . Параметры выбраны так, что выполнено неравенство Lb < ΘΩLe . Зна-

чит согласно (39.11) неустойчивость, к которой относится Рис. 50.2, развивается в режиме одночастичного эффекта Черенкова. Полезно сравнить Рис. 50.2 с Рис. 32.1 - разница фактически лишь в законе дисперсии плазменной волны: в случае Рис. 50.2 дисперсия определяет-

ся формулами (50.14) и (50.13), а в случае Рис. 32.1 ω = ωLe .

На Рис. 50.3 представлены дисперсионные кривые для случая Θ = 0.6 , когда взаимодействие пучка и плазмы более слабое (параметры системы взяты прежние, только радиус плазмы увеличен до re=1.1см). Видно, что область волновых чисел, где имеется неустойчи-

вость, по сравнению с предыдущим случаем сузилась, что свидетельствует об изменении ме-

ханизма неустойчивости. С уменьшением Θ начинает выполняться неравенство ΘΩLe < ΩLb

(см. (39.15)), и неустойчивость переходит в режим коллективного эффекта Черенкова. Различия между Рис. 50.3 и Рис. 39.1 обусловлены различным законом дисперсии плазменных и пучковых волн в волноводе и в безграничном пространстве.

Предположим, что плотность электронного пучка мала, т.е. выполнено сильное нера-

венство (39.7). Считаем также, что ω0 k0u << ωLe , где ω0 и k0 - резонансные частота и вол-

новое число, найденные из системы (50.8). В этих условиях, используя асимптотики функций

Il (x) и Kl (x) , дисперсионное уравнение (50.9) можно преобразовать к виду

 

2

 

2

 

ω2

ω2

 

 

2

 

2

 

2

ω

2 γ 3

 

2

 

 

2

 

ω2

ω2

ω2 γ 3

 

 

 

 

 

 

Le

 

 

 

 

 

Lb

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Le

Lb

 

 

 

 

ω

 

k

 

 

2

 

2

 

(ω ku)

 

k

 

u

 

 

 

 

 

 

= Θk

 

u

k

 

 

2

 

2

 

 

 

 

. (50.17)

 

 

c

 

 

 

2

 

2

γ

2

 

 

c

2

2

γ

2

 

 

 

 

 

 

 

k e

 

 

 

 

 

 

 

k bu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k e

k bu

 

 

 

Здесь k e - поперечное волновое число, определенное в (50.14), k b

получается заменой в k e

индекса "e" на индекс "b", а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

248

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ω (1010 радс)

k (см-1 )

Рис. 50.2

Дисперсионные кривые при сильном взаимодействии плазмы и пучка ( Θ =1)

249

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ω (1010 радс)

k (см-1 )

Рис. 50.3

Дисперсионные кривые при слабом взаимодействии плазмы и пучка ( Θ = 0.6 )

250

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке ЭЛТ