ASVT Материалы / Лекции / ЭЛТ / 27_VaN[1]

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

где ω совпадает (48.12).

§ 49. Генераторы встречных волн на одночастичном вынужденном эффекте Черенкова

Перейдем теперь к случаю Vg < 0 , когда излучаемая волна распространяется в сторо-

ну, противоположную направлению движения пучка, т.е. рассмотрим одночастичное возбуждение встречной волны в ограниченной области пространства. Формулы (48.1), (48.2) спра-

ведливы и в этом случае, но с заменой Vg на − | Vg | , а вот простых приближенных выраже-

ний вида (48.4) не достаточно. В связи с чем теория одночастичного эффекта Черенкова на встречной волне в ограниченной области пространства оказывается весьма сложной. Поэтому здесь мы изложим не всю линейную теорию, а ограничимся только пороговым условием развития неустойчивости в системах конечной длины, т.е. определим стартовые условия начала генерации. Начнем с простого частного случая, когда граница z = L абсолютно прозрачна для электромагнитного излучения. Подставляя решение (48.2) в граничные условия

(45.18) при κ2 = 0 , получим систему линейных однородных уравнений

Исключая далее из (49.1) постоянные А, В и С, находим следующее характеристическое уравнение для собственных частот:

справедливое при κ1κ2 = 0 , т.е. при нулевой (точнее минимальной) добротности резонатора,

в котором электронный пучок излучает встречную волну. Заметим, что в случае попутной волны при κ1κ2 = 0 из (48.15) при конечном L имеем Imω → −∞, что означает невозмож-

ность развития неустойчивости. Дело как известно в том, что пучковая неустойчивость на попутной волне является конвективной. Для возможности такой неустойчивости в ограниченной системе необходимо конечное отражение от ее продольных границ. Неустойчивость пучка на встречной волне является абсолютной. Такая неустойчивость возможна и при пол-

241

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ном отсутствии отражения. С аналогичной ситуацией мы уже встречались ранее, рассматривая генерацию на попутной волне (формула (46.9)) и генерацию на встречной волне (§ 47) в режиме коллективного эффекта Черенкова.

Для учета отражения электромагнитных волн от границ z = 0, L подставим решение

(48.2) в общие граничные условия (45.18). В результате получим систему

где k j 4 = k j − k4 . Сравнивая теперь (49.4) с (49.1) и используя уравнение (49.2), сразу полу-

чим следующее дисперсионное уравнение, описывающее одночастичный эффект Черенкова на встречной волне с учетом конечного отражения электромагнитных волн от продольных границ резонатора:

Уравнения (49.2) и (49.5) удается решить только численно, но здесь мы не будем рассматривать детали этого весьма сложного численного анализа. Сформулируем только основной результат: для развития неустойчивости, обусловленной одночастичным вынужденным эффектом Черенкова на основной продольной моде ( n = 0 ) встречной волны в системе конечной длины, требуется выполнение стартового условия

где p(κ) - величина, близкая к двум в широком диапазоне изменения общего коэффициента отражения κ . В частности имеет место точное равенство p(0) = 2 . Неравенство (49.6) целе-

сообразно сопоставить со стартовым условием (47.27) начала генерации встречной волны при коллективном эффекте Черенкова.

Для применения полученных в Главе IX общих стартовых условий начала генерации к конкретным физическим системам требуется определить для этих систем параметры (45.10) и (45.13), что и будет сделано в заключительной главе нашего курса.

242

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Глава IX. СВЧ приборы на релятивистских электронных пучках

§ 50. Плазменные СВЧ генераторы

Разработке плазменных источников СВЧ излучения посвящен специальный раздел физики плазмы и электронных пучков – плазменная релятивистская СВЧ электроника. В плазме имеется чрезвычайно богатый набор разнообразных электромагнитных волн, которые легко и эффективно могут возбуждаться электронным пучком, а затем - трансформироваться в вакуумную электромагнитную волну, т.е. излучаться. Для получения основных уравнений линейной плазменной СВЧ электроники исходим из системы уравнений (37.1), которую,

введя новую функцию A(t, z, rr ) = ∂ψ ∂t , запишем следующим образом:

Рассмотрим случай тонких (игольчатых) в поперечном сечении волновода плазмы и пучка, профили плотности которых даются формулами

ка соответственно. Используя операторы частоты и волнового числа (45.2) и осуществляя замены 4πje → je , 4πjb → jb , преобразуем систему (50.1) к компактной форме

n=1

Подставим разложение (50.4) в первое уравнение системы (50.3) и, используя ортогональ-

243

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ность собственных функций ϕn (rr ) , выразим коэффициенты разложения An (t, z)

Здесь (k 2n + χˆ 2 )−1 - оператор обратный оператору k 2n + χˆ 2 . Подставим далее (50.5) в разло-

жение (50.4), а разложение (50.4) подставим во второе и третье уравнения системы (50.3). В

Здесь

244

коэффициент связи плазменных и пучковых волн. Можно показать (см. неравенство Коши-

Буняковского), что 0 < Θ ≤1, причем равенство Θ единице имеет место только при rrb = rre .

Общие формулы (50.10) и (50.11) применимы к важной для практических применений геометрии – тонким трубчатым плазме и пучку (радиусы re и rb , толщины ∆e и ∆b ) в волно-

воде кругового сечения с радиусом R . В этом случае k n = µl,n R , ϕn = Jl (k n r) , µl,n - корень функции Бесселя Jl (x) (см. пояснения к краевой задаче (26.8) и Рис. 26.1), l = 0,1,2... - азиму-

тальное волновое число. Вычисление величин (50.10) и (50.11) для цилиндрической геометрии дает следующий результат (при этом используются формулы вида (26.14)):

где Il (x) и Kl (x) - функции Инфельда и Макдональда соответственно.

Рассмотрим для цилиндрической геометрии систему уравнений (50.8). Второе урав-

нение этой системы ω2 = Ω2Le (ω, k) определяет собственные частоты волн плазменного вол-

новода. Среди множества таких волн имеются замедленные (| ωk | < c ) поверхностные вол-

ны (одна для каждого l ), которые и представляют здесь для нас интерес, поскольку только они могут возбуждаться прямолинейным электронным пучком. В длинноволновом пределе,

245

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ω (1010 радс)

k (см-1 )

Рис. 50.1

Спектры колебаний волновода с замагниченными тонкими плазмой и пучком (взаимодействие плазмы и пучка не учтено): 1- волна плазмы; 2- медленная волна пучка; 3- быстрая волна пучка; I - точка одночастичного черенковского резонанса;

II - точка коллективного черенковского резонанса.

247

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

на с меньшей фазовой скоростью (кривая 2) – медленной волной. Медленная волна пучка, как было уже установлено нами ранее (см. §§ 27, 28), имеет отрицательную энергию, что и приводит к неустойчивости пучка в плазме. Точка пересечения дисперсионной кривой плазменной кабельной волны 1 и дисперсионной кривой медленной пучковой волны 2 является точкой коллективного черенковского резонанса. На Рис. 50.1 она отмечена как точка II.

Именно эта резонансная точка k = k0 , ω = ω0 и определяется из системы уравнений (50.8).

Дисперсионные кривые на Рис. 50.1 такие, как если бы взаимодействие пучка и плазмы в волноводе полностью отсутствовало, т.е. параметр связи Θ в уравнении (50.9) равнялся нулю. При Θ ≠ 0 возникает неустойчивость и дисперсионные кривые качественно изменяются. На Рис. 50.2 представлены дисперсионные кривые для случая Θ =1 , когда взаимодействие пучка и плазмы сильное. Кривые получены численным решением уравнения (50.9) для следующих параметров системы: rb = re = 0.65см, ∆b = ∆e = 0.1см, γ = 2, R =1.8см, Ib = 2kA ,

ωLe = 35 1010 рад/ c . Параметры выбраны так, что выполнено неравенство ΩLb < ΘΩLe . Зна-

чит согласно (39.11) неустойчивость, к которой относится Рис. 50.2, развивается в режиме одночастичного эффекта Черенкова. Полезно сравнить Рис. 50.2 с Рис. 32.1 - разница фактически лишь в законе дисперсии плазменной волны: в случае Рис. 50.2 дисперсия определяет-

ся формулами (50.14) и (50.13), а в случае Рис. 32.1 ω = ωLe .

На Рис. 50.3 представлены дисперсионные кривые для случая Θ = 0.6 , когда взаимодействие пучка и плазмы более слабое (параметры системы взяты прежние, только радиус плазмы увеличен до re=1.1см). Видно, что область волновых чисел, где имеется неустойчи-

вость, по сравнению с предыдущим случаем сузилась, что свидетельствует об изменении ме-

ханизма неустойчивости. С уменьшением Θ начинает выполняться неравенство ΘΩLe < ΩLb

(см. (39.15)), и неустойчивость переходит в режим коллективного эффекта Черенкова. Различия между Рис. 50.3 и Рис. 39.1 обусловлены различным законом дисперсии плазменных и пучковых волн в волноводе и в безграничном пространстве.

Предположим, что плотность электронного пучка мала, т.е. выполнено сильное нера-

венство (39.7). Считаем также, что ω0 ≈ k0u << ωLe , где ω0 и k0 - резонансные частота и вол-

новое число, найденные из системы (50.8). В этих условиях, используя асимптотики функций

Il (x) и Kl (x) , дисперсионное уравнение (50.9) можно преобразовать к виду