ASVT Материалы / Лекции / ЭЛТ / 27_VaN[1]

Краевая задача (54.8), (54.9) является очень сложной, поэтому мы ограничимся рассмотрением одного простого, но практически важного случая. Исследуем магнитно циклотронное возбуждение азимутально симметричной ( l = 0 ) волноводной моды B -типа электронным пучком малой плотности.

У симметричной волны B -типа отличны от нуля только следующие компоненты

электромагнитного поля: Bz , Br , Eϕ . Пучок малой плотности слабо возмущает волноводное

поле. Поэтому в первом приближении структура поля может считаться такой же, как и в отсутствии пучка: электронный пучок дает вклад только в частотный спектр волн. Поэтому систему уравнений (54.8) можно упростить, оставив в ней только первое, третье и пятое уравнения. В результате имеем

Исключая из системы (54.10) компоненты магнитного поля Br , Bz и учитывая граничные условия (54.9), получим следующую задачу на собственные значения для функции Eϕ (r) :

Eϕ (R) = 0,

где κ 2 = ω2 c2 − k 2 .

Дисперсионное уравнение для определения собственных комплексных частот рассматриваемого волновода с потоком осцилляторов получим, используя теорию возмущений

где µ1m - корни функции Бесселя первого порядка J1 (x) = 0 . Следовательно, в нулевом при-

ближении по пучку (т.е. при ωLb2 = 0 ) собственные частоты определяются из соотношения

271

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Таким образом ω2 в (54.5) есть k 2mc2 . В первом приближении по пучку подставим в уравне-

ние (54.11) Eϕ (r) = J1 (k mr) , умножим это уравнение на rJ1 (k mr) и проинтегрируем по r от

нуля до R . В результате получим следующее дисперсионного уравнение первого приближения теории возмущений по плотности электронного пучка:

трона. При u = 0 дисперсионное уравнение (54.16) комплексных корней не имеет, т.е. опи-

сывает устойчивую систему. Можно показать, что комплексные корни у дисперсионного уравнения (54.16) имеются только при выполнении неравенства

Предположим, что выполнено сильное неравенство (54.19). При этом в правой части уравнения (54.16) можно пренебречь членом ~ S1 и записать это дисперсионное уравнение в виде

Будем искать решение уравнения (54.20) в виде ω = ω0 +δω , k = k0 +δk , где ω0 , k0 - решение системы (54.5) – резонансная точка (в первом уравнении системы (54.5) условимся брать верхний знак – минус). В переменных δω и δk уравнение (54.20) записывается следующим образом:

272

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

где Vg = k0c2 ω0 - групповая скорость излучаемой волны.

Сравним дисперсионное уравнение (54.21) с уравнением (52.27) теории ондуляторного излучения. Последнее приведем здесь для случая пучка малой плотности, когда ондуляторное излучение происходит в одночастичном режиме (см. также уравнение (53.22))

Как видим имеется полная структурная аналогия. Таким образом, можно утверждать, что дисперсионное уравнение (54.21) описывает пучковую неустойчивость, обусловленную одночастичным магнитно циклотронным излучением потока релятивистских осцилляторов. Поскольку при получении уравнения (54.21) была использована теория возмущений по плотности пучка, то ничего кроме одночастичного режима излучения описано быть и не могло. Между тем уравнения (54.21) и (54.22) различаются знаками в правой части. Это обусловлено различным механизмом группировки электронов в тормозящих фазах электромагнитной волны при излучении потока осцилляторов и излучении прямолинейного электронного пучка. Для теории генераторов электромагнитного излучения данное различие роли не играет, поэтому обсуждать его мы здесь не будем.

Полагая в (54.21) δk = 0 , найдем максимальный инкремент неустойчивости, обусловленной циклотронным излучением

Учитывая теперь связь Imω = b 3 2 и формулу (54.23), для общего параметра (45.13) имеем

Подставляя далее (54.24) в общие условия (48.16) и (49.6), получим стартовые условия начала генерации в мазерах на циклотронном резонансе на попутной и встречной волнах

Отдельно рассмотрим случай внешнего магнитного поля подобранного так, что имеет место равенство

При этом одно из решений системы (54.5) имеет вид k0 = 0, ω0 = ω = k mc . Мазер на цикло-

273

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

тронном резонансе, излучающий на частоте отсечки волновода ω в условиях (54.26), назы-

вается гиротроном. При k0 = 0 групповая скорость Vg = k0c2 ω0 обращается в ноль, и фор-

мулы (54.25) требуют уточнения. Первая формула (54.25) для этого не подходит, поскольку получена из общей формулы (48.16). Но при выводе формулы (48.16) было использовано не-

равенство (48.7), которое при Vg → 0 нарушается. Поэтому для уточнения стартового усло-

вия начала генерации в гиротроне используем вторую формулу (54.25).

В системе конечной длины продольное волновое число не может быть меньше π2L ,

т.е. на длине системы укладывается не менее четверти длины волны. Полагая во второй

§U 55. Некоторые вопросы нелинейной теории СВЧ генераторов

наU релятивистских электронных пучках

Основные задачи нелинейной теории СВЧ генераторов электромагнитного излучения на релятивистских электронных пучках состоят в определении спектра и мощности излучения, эффективности генерации (к.п.д.), времени включения генератора (т.е. времени выхода на максимальную мощность) и решении ряда других проблем практического характера. В нелинейной теории СВЧ генераторов на электронных пучках широко используются различные компьютерные методы. Для иллюстрации приведем некоторые методы и результаты теории плазменных СВЧ генераторов. Нелинейная теория других генераторов черенковского типа на прямолинейных электронных пучках (в том числе и теория ЛСЭ) во многом аналогична теории плазменных генераторов. Нелинейная теория мазеров на циклотронном резонансе требует несколько иного подхода и в рамках данного курса излагаться не будет.

Общие нелинейные уравнения плазменного СВЧ генератора получаются из системы

(37.1) заменой линейного уравнения для плотности тока пучка jb соответствующими нели-

нейными уравнениями и соотношениями. В теории генераторов наиболее удобна модель, ос-

N − число электронов (крупных частиц) на участке невозмущенного пучка длиной λ , а z j (t)

274

левую границу z = 0 . Обычно длину λ увязывают с процедурой регуляризации, входящих в (55.1) дельта - функций. Возможны и иные варианты ее выбора.

Наиболее общий подход в нелинейной теории плазменного СВЧ генератора очевидно состоит в прямом решении системы (37.1), (55.1) и (55.2). При этом требуются дополнительные граничные условия для поляризационного потенциала ψ на левой (входной) z = 0 и

правой (выходной) z = L границах плазменного резонатора. Обычно используются нестационарные парциальные условия излучения, или известные граничные условия Леонтовича. В качестве простейших граничных условий можно предложить следующие:

Недостатком граничных условий (55.3) является невозможность учета дисперсии коэффициента отражения, что компенсируется их исключительной простотой.

Приведем результаты компьютерного моделирования плазменного СВЧ генератора, представляющего собой отрезок круглого волновода длины L с тонкими трубчатыми электронным пучком и плазмой. Расчеты проводились при следующих параметрах системы:

темы осуществлялось резким передним фронтом электронного пучка. Длительность пучка была неограниченной. Параметром, который варьировался в обсуждаемых расчетах был ток электронного пучка. Поскольку длина системы фиксировалась, в качестве стартового пара-

275

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

метра выбирался ток. Вычисления по формулам (50.27) и (50.28) для стартового тока дают

0,26Ib0 1,18kA , где Ib0 − предельный вакуумный ток (см. (26.15)), равный в данном слу-

чае 4,5kA.

Остановимся на специфике возбуждения плазменного генератора фронтом пучка. Когда в начальный момент на вход через границу z = 0 начинает инжектироваться фронт, то в результате спонтанного излучения появляются локальные возмущения плазменных колебаний, в том числе и с фазовой скоростью близкой к скорости электронов пучка. Эти попутные с пучком плазменные колебания при z = L частично отражаются, трансформируясь во встречную волну. При z = 0 встречная волна полностью трансформируется в попутную. В результате нескольких проходов по длине системы за счет вынужденного черенковского излучения локальное возмущение от фронта пучка нарастает и уширяется. Когда возмущение заполняет по длине весь волновод, длина резонансного взаимодействия попутной плазменной волны и электронного пучка становится максимальной и после этого, еще через несколько проходов волной между границами z = 0 и z = L, после нелинейной стабилизации черенковской пучковой неустойчивости устанавливается квазистационарное распределение поля и процесс включения генератора завершается. Время выхода излучаемой из рупора мощности на квазистационарный уровень мы и называем здесь временем включения генератора. Таким образом, время включения определяется не только инкрементом неустойчивости, но и временем формирования из локального возмущения фронта “удобного” для взаимодействия пучка и плазменной волны пространственного распределения амплитуды этой волны. Обратный инкремент порядка времени пролета электроном пучка длины системы, что меньше одной наносекунды. Время же включения оказывается значительно большим.

Зависимость времени установления близкого к стационарному режима генерации (времени включения генератора) от тока пучка представлена на Рис. 55.1. Видно, что времена эти довольно значительны: при токе порядка стартового около 60 наносекунд (теоретически при токе равном стартовому время включения должно обращаться в бесконечность). При больших токах время включения выходит на почти постоянное значение, около 10 наносекунд.

На Рис. 55.2 представлена зависимость эффективности выходного излучения из генера-

тора от тока пука Ib . Видно, что при малых токах эффективность равна нулю (кривая эффек-

тивности просто не проведена в область малых токов, где является нулевой). Этот результат есть естественное следствие малости тока по сравнению со стартовым током (выше говори-

лось, что стартовый ток порядка 0.26Ib0 , причем это результат линейной теории; из Рис. 55.2

видно, что такой же результат дает и нелинейная теория ). При токе порядка стартового рез-

ко возрастает эффективность, что связано с началом генерации. При токе порядка 0.45Ib0 ,

276

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Рис. 55.1

Зависимость времени включения плазменного генератора от отношения тока пучка к предельному вакуумному току

277

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Рис. 55.2

Зависимость эффективности излучения плазменного генератора от отношения тока пучка к предельному вакуумному току

278

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

как видно из Рис. 55.2, устанавливается оптимальный по эффективности режим генерации. На Рис. 55.3 изображена типичная спектральная плотность излучения из генератора на

стадии после включения, рассчитанная для Ib = 2kA . Под спектральной плотностью здесь подразумевается величина S(ω), определяемая формулами

где ψ −поляризационный потенциал, а t −текущий момент времени. Видно, что максимум спектральной плотности приходится примерно на резонансную частоту ω0 и ширина спек-

тральной линии значительно меньше ее средней частоты, т.е. ∆ω << ω0 .

279

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

1

0.5

Рис. 55.3

Спектр излучения на выходе плазменного генератора

280