Пусть требуется расставить коэффициенты в следующем уравнении:

СаО + Р2О5 Са3(РО4)2

1. Введем обозначения для неизвестных коэффициентов:

х СаО + yР2О5 = z Са3(РО4)2

2. Составляем уравнение для каждого химического элемента:

Са: х = Зz; Р: 2y = 2z; О: x + 5y = 8z

x 3z

Получаем систему уравнений: y z

x 5y 8z

3.Пусть z=1.

4.Тогда, решая систему уравнений, получим: x=3, y=1. Так как все полученные значения - целые, расчет прекращается.

Ответ: ЗСаО + Р2О5 = Са3(РО4)2

Приведенный способ расстановки коэффициентов в уравнении химической реакции демонстрирует школьникам межпредметные связи алгебры и химии. Изученный учащимися способ является для них актуальным и значимым для успешной учебной деятельности. Учащиеся убеждаются, что полученные математические знания, связанные с составлением и решением систем линейных уравнений, действительно будут ими востребованы при изучении химии.

Представленные функции (образовательная, контроля учебной деятельности учащихся, интерпретационная, реализации межпредметных связей) и их трактовка в контексте практикоориентированного обучения математике позволяют выделить ряд особенностей обучения школьников математическому моделированию, которые будут рассмотрены далее.

Тема 4. Методические особенности обучения школьников математическому моделированию

Использование подготовительных упражнений; сопровождение изложения теоретического материала примерами приложений

216

математики; использование поисковых домашних заданий; реализация бинарного подхода в отборе практических приложений математики.

Линия ППМ реализуется поэтапно: на пропедевтическом, подготовительном, основном и заключительном этапах. Формирование прикладных математических умений школьников, связанных с обучением методу математического моделирования, происходит на каждом этапе на различных уровнях. Эти уровни определены четырьмя уровнями сложности задачи на приложения, напомним их:

I. В задаче имеется прямое указание на математическую модель.

II. Объекты и отношения задачи легко соотносимы с соответствующими математическими объектами и отношениями.

III. Объекты и отношения задачи соотносимы с математическими объектами и отношениями неоднозначно. Требуется учет реально сложившихся условий.

IV. Объекты и отношения задачи явно не выделены или их математические эквиваленты неизвестны школьникам.

Таким образом, в практико-ориентированном обучении при реализации линии ППМ предусмотрено поэтапное усложнение задач на приложения. Для успешного обучения школьников решению таких задач методом математического моделирования, учителю необходимо учесть ряд особенностей этого процесса, среди которых выделяем: использование подготовительных упражнений; сопровождение изложения теоретического материала примерами приложений математики; использование поисковых домашних заданий; реализация бинарного подхода в отборе практических приложений математики. Остановимся на них подробнее.

1. Использование подготовительных упражнений. На каждом этапе реализации линии учащимся необходимо не только решать задачи на приложения соответствующего уровня сложности, но и выполнять подготовительные упражнения на отработку того или иного этапа метода

217

математического моделирования. Эти упражнения могут примыкать к задачам в качестве дополнительных заданий и вопросов или предлагаться как самостоятельные задания.

2.Сопровождение изложения теоретического материала примерами приложений математики. Деятельность учителя, связанная с обучением математическому моделированию в условиях ограниченности урочного времени, может быть организована в форме комментариев с прикладных позиций изложения учебного теоретического материала, решения математических задач. Примеры практических приложений математики приводятся с учетом возрастных интересов школьников, этапа реализации линии и служат подготовкой к изучению метода математического моделирования.

3.Использование поисковых домашних заданий. При постановке домашних заданий учителю необходимо предлагать заинтересованным учащимся дополнительные задания на поиск приложений математики, содержание которых может быть связано с интересами и увлечениями школьника, с выбранным им профилем обучения. Такие домашние задания направлены на подготовку школьников к прикладной проектной и исследовательской деятельности.

4.Реализация бинарного подхода в отборе практических приложений математики. Подбор задач на приложения необходимо осуществлять с учетом бинарного назначения практических приложений математики в обучении (с одной стороны - обучение приложениям математики, с другой - обучение математике через ее приложения). При постановке курсов по выбору и элективных курсов прикладной направленности отбор содержания определяется необходимостью рассмотрения разделов математики, служащих с одной стороны теоретической основой приложений математики, а с другой стороны расширяющих и углубляющих знания учащихся по школьному курсу математики.

218

Учет перечисленных методических особенностей позволит сделать процесс обучения методу математического моделирования непрерывным и поступательным, что обеспечит качественную подготовку школьника к решению задач практического характера, включенных в государственную итоговую аттестацию по математике на основной и старшей ступени общего образования.

Приведем пример поискового домашнего задания по теме «Объемы и площади поверхности тел. Вычисление коэффициента комфортности жилища», иллюстрирующий третью особенность обучения школьников математическому моделированию (использование поисковых домашних заданий).

Постановка задания. Установите геометрическую форму и размеры различных национальных типов жилья народов мира. Вычислите коэффициент комфортности жилища по следующей формуле: где V – объем, S –площадь поверхности фигуры. Данные представьте в таблице по следующим столбцам: 1) название жилища, 2) изображение жилища; 3) значение коэффициента комфортности. Сделайте вывод, какое жилье, на ваш взгляд, является наиболее комфортным?

Для выполнения задания необходимо определить критерий комфортности жилья. Сравнивать жилища по комфортности учащиеся могут относительно традиционного европейского жилища. Поисковая деятельность учащихся состоит в самостоятельном анализе научнопопулярной, справочной литературы и вычленении из ее содержания сведений о форме и размерах различных национальных жилищ. Обучающие возможности этого задания обоснованы большим выбором форм жилищ. При вычислении их объемов и площадей поверхностей отрабатываются необходимые для усвоения этой темы умения и навыки. При выполнении этого задания у учащихся формируются следующие поисковые, исследовательские навыки: работа с информационными источниками, анализ и выделение главного, систематизация, сравнение и обобщение информации и т.п. Жилища, которые могут выбрать учащиеся:

219

1.Восточносибирский чум – конус, высотой h = 4м и радиусом основания r = 3м.

2.Жилище эскимосов на Аляске – конус, высотой h = 5м и радиусом основания r = 4м.

3.Жилище береговых чукчей – цилиндр (основание), высотой h = 1,3 м;

конус (крыша), высотой h=2м и радиусом основания r = 2,5м.

4.Жилище аборигенов Северной Австралии – часть сферы, высотой h = 2,5м и радиусом основания r = 3м.

5.Жилище народов кирди в Камеруне – цилиндр, высотой h=2м и радиусом основания r=6м.

6.Традиционное европейское жилище – комната в форме прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 6м; 3м; 2,7м.

Результаты обсуждаются совместно со всеми учащимися, выполнявшими это задание. По результатам вычислений выбирается самое комфортное жилище, согласно установленному критерию. Также целесообразно с учащимися обсудить возможные погрешности вычислений, сделанные допущения и упрощения.

***

Итак, математическое моделирование выступает идейной основой практико-ориентированного обучения математике в школе. Его значение при реализации линии практических приложений математики в школе проявляется в: выделении этапов линии; определении прикладных математических умений школьников; классификации и выделении уровней сложности задач, связанных с практическими приложениями математики; создании образовательных продуктов, предназначенных для реализации линии на уроке и во внеурочное время.

Поиск приложений математики, т.е. возможности решить задачу, поставленную на практике или в какой-либо научной области, математическими методами – особый вид математической деятельности.

Математическая модель, согласно математическому

220

энциклопедическому словарю, это «приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики». Процесс построения математической модели связан с применением рациональных рассуждений.

Представление о прикладной задаче, поставленной в науке:

прикладная задача возникает при изучении реального объекта с заранее заданной целью, при этом способ достижения этой цели может быть неизвестен. Прикладная задача является содержательной моделью реального объекта, отражающая отдельные его характеристики. В прикладной задаче выделены исходные данные и сформулировано то, что необходимо найти, установить согласно цели исследования этого объекта.

Особенности метода математического моделирования, которые могут быть использованы учителем при обучении школьников практическим приложениям математики.

1.Математика применяется не к реальному объекту, а к его содержательной модели.

2.У одного объекта может быть несколько математических моделей. Создаваемая модель должна отражать те свойства реального объекта, которые входят в проблему его исследования. Для исследования реального объекта могут быть использованы математические модели различных типов. Для исследования различных объектов может быть использована одна модель. (Принцип множественности моделей)

3.Соответствие математической модели реальному объекту относительно и имеет рамки применимости. (Требование адекватности модели реальному объекту)

4.Если выбранные математические средства позволяют провести исследование реального объекта в приемлемые сроки и экономно по затратам труда и средств, то выбранная модель является достаточно простой. (Требование достаточной простоты)

221