обучения на старшей ступени общего образования (2002 г.), ФГОС основного общего образования (2010 г.), ФГОС среднего (полного) общего образования (2012 г.) требуется обоснование и выявление новых механизмов использования задач на приложения в преподавании математики. Это продиктовано тем, что прикладные аспекты должны сыграть особую роль как в предпрофильной подготовке, нацеливающей учащихся на выбор профиля обучения, так и в дальнейшем, при непосредственном обучении по выбранному профилю.

В настоящее время предлагается включать контекстные задачи в содержание обучения. Они поставлены в форме наиболее близкой к той, в которой такие задачи имеют место в реальности или в соответствующей области знаний. Конечно, для их решения на уроке требуется значительное время, которое не всегда возможно выделить. Однако, появившиеся в настоящее время разнообразные формы внеклассной работы (проектная и исследовательская деятельность, элективные курсы и курсы по выбору) позволяют решить эту проблему.

Итак, перечень требований к фабуле и к математическому

содержанию задач на приложения позволяет отбирать задачи этого типа из различных источников, переформулировать их согласно заданным требования, а также дополняет понятие задачи на приложения. Представленные далее функции таких задач служат для формирования представлений о путях использования практических приложений математики в учебном процессе.

Тема 3.Функции задач на приложения математики в обучении

Функции школьных учебных математических задач по Ю.М. Колягину, учебная исследовательская деятельность, функции задач на приложения (запоминание теоретических фактов; формирование навыков исследовательской деятельности; усиление мотивации к обучению; формирование мировоззрения и др.)

Как известно, на школьные учебные математические задачи

137

возложены многие обучающие, развивающие и воспитательные функции. Перечислим ряд функций, которые выделяет Ю.М. Колягин126:

1.«Формирование у учащихся некоторого понятия (на уровне представлений о нем, на уровне его усвоения и на уровне закрепления)».

2.«Возбуждение и поддержание интереса к предмету».

3.«Воспитание положительного отношения школьника к учебной деятельности, развитие к учебе, любознательности».

Перечисленные функции выполняют и задачи на приложения. Кроме того, исследователи выделяют и специфические функции таких задач, например:

–установление связи между реальным миром предметов и явлений и математикой;

–ознакомление учащихся с основами метода математического моделирования;

–формирование математической грамотности, мировоззрения и миропонимания школьников.

Приведем пример возможного подбора задач на приложения для:

запоминания теоретических фактов; формирования навыков исследовательской деятельности; усиления мотивации к обучению; формирования мировоззрения.

1.Запоминание теоретических фактов.

Задачи на приложения не только показывают пути применения знаний, полученных при изучении теоретического материала, они

позволяют удерживать в сознании необходимые теоретические факты.

При решении таких задач учащиеся имеют возможность убедиться в том, что для объяснения явлений природы, разрешения проблем, возникающих в профессиональной деятельности и в быту, могут быть применены известные математические факты. Например, признак равенства треугольников (по трем сторонам) связан с понятием жесткости

126 Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Часть 1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. - М.: Просвещение, 1977. - 112 с

138

треугольника, которое, в свою очередь, может быть использовано при ответе на такой практический вопрос:

139

 Объясните, почему при постройке ферм мостов, опор линий электропередач используют систему треугольников?

Отвечая на этот вопрос, учащиеся рассуждают примерно так: основным требованием, предъявляемым к таким постройкам, является неизменность формы конструкции. Балки таких сооружений, как правило, стальные и сами по себе почти не поддаются ни заметному растяжению, ни сокращению длины (сжатию). Под действием внешней силы (например, погодных явлений) возможно лишь изменение их взаимного наклонения. Но с тремя сторонами заданной длины может существовать только один треугольник, так как все треугольники с соответственно равными сторонами равны между собой. Поэтому при неизменной длине балок, скрепленных в форме треугольника (хотя бы даже только шарнирами), углы, составленные ими, должны также оставаться неизменными. Среди всех n-угольников, составленных из стержней, только треугольники являются жесткими фигурами.

2. Формирование навыков исследовательской деятельности.

Исследовательская деятельность, по мнению В.А. Гусева, является частью творческой, «продуктом которой являются новые знания (либо новое знание о самом исследуемом объекте, либо новые знания о конкретном или специфическом методе исследования)»127. Под учебноисследовательской деятельностью учащихся В.А. Далингер понимает учебную

деятельность по приобретению практических и теоретических знаний с преимущественно самостоятельным применением научных методов познания, что является условием и средством развития у обучающихся творческих исследовательских умений128. Ученик, способный к

127Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. - М.: ООО «Издательство «Вербум-М» 2003. - 432 с.

128Далингер В.А. Учебно-исследовательская деятельность учащихся в процессе изучения математики // Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета» Выпуск 2007. URL www.omsk.edu. (дата обращения: 15.04.2012).

140

исследовательской деятельности должен не только обладать математическими знаниями, но и уметь действовать самостоятельно, нешаблонно, использовать накопленные теоретические сведения и практический опыт, критически осмысливать полученные результаты.

Решение задач, связанных с приложениями математики, способствует формированию навыков исследовательской деятельности.

Учебная исследовательская деятельность предполагает наличие следующих основных этапов: 1. Постановка проблемы. 2. Изучение соответствующей теории, сбор материала по проблеме исследования.

3.Выдвижение гипотезы и подбор методов проведения исследования.

4.Анализ и обобщение собранного материала, выводы. 5. Представление результатов исследования129.

Вкачестве иллюстрации возможности формирования навыков исследовательской деятельности с помощью задач на приложения приведем задачу из книги А.И. Островского.130 Эта задача может быть составной частью учебного исследования, связанного с изучением основ начертательной геометрии.

 В одной книге помещен рисунок (рис. 10), на котором изображены два

вертикальных столба и их тени на горизонтальную плоскость. По этим данным требуется найти положение источника света (лампочки, фонаря) и его «основания» (т.е. проекции источника света на горизонтальную плоскость).

Решите эту задачу и ответьте на дополнительные вопросы

1.Существенно ли, что столбы вертикальны?

2.Существенно ли, что плоскость, на которую падают тени

129Исследовательская деятельность учащихся в профильной школе / Под ред. Б.А. Татьянкина. - М.: 5 за знания, 2007. - 272 с.

130Островский А.И. 75 задач по элементарной математике – простых, но… - М.: Просвещение, 1966. - 132 с

141

горизонтальна?

3. Все ли приведенные на рисунке данные являются необходимыми?

Исследовательская деятельность учащихся при решении такой задачи состоит поиске связи между физическим явлением и его математической интерпретацией; выявлении свойств понятий, отношений между ними. Учитель может направить исследование учащихся по следующему пути. Формулировка задачи связана с реальной ситуацией, понимание которой требует от учащихся знания закона о прямолинейности распространения световых лучей. Этот физический закон позволяет уяснить причину образования тени. Тени отбрасывают все непрозрачные тела, расположенные на пути лучей света. Лучи же, скользящие по контуру предмета, обрисовывают его тень. Следовательно, глядя на рисунок, справедливо предположить, что световой луч, идущий от источника света, положение которого необходимо определить, соединяет верхнюю точку столба и крайнюю точку тени. Итак, нам известно положение двух световых лучей, исходящих от источника. Т.к. оба столба освещены одним источником света, то он может находиться только на пересечении прямых, содержащих эти световые лучи.

Таким образом, для того, чтобы найти положение источника света необходимо к двум перпендикулярам и их проекциям на горизонтальную плоскость построить две наклонные и найти точку пересечения этих наклонных, которая и будет являться искомым источником света.

Поиск ответа на дополнительные вопросы связан со способностью представлять описанную ситуацию в новых преобразованных условиях, анализировать данные, делать выводы. В качестве одного из этапов поиска решения задачи целесообразно предложить учащимся проделать эксперимент по созданию реальной модели данной ситуации (например, используя плоскость стола, два закрепленных вертикально карандаша и настольную лампу). Приведем решение этой задачи, для обоснования которого использованы как математические, так и физические факты.

142

Решение. Обозначим АВ и СD – столбы, освещенные источником света, МВ и ND – их тени на горизонтальной плоскости α. Необходимо построить точку S – источник света и точку К – его проекцию на плоскость α. Для удобства элементы, которые даны в условии задачи, на чертеже будем обозначать сплошными линиями, остальные – пунктирными.

Из условия имеем:

Дано: 1.Горизонтальная плоскость α. 2.АВ α. 3.СD α. 4.МВ лежит в плоскости α. 5.ND лежит в плоскости α.

Построить: 6. S, К.

Анализ. Из условия известно, что имеется единственный источник света. Два световых луча от этого источника проходят через точки А, М и С, N. Следовательно, для того, чтобы найти положение источника света,

распространения световых лучей. Докажем, что К – проекция точки S на плоскость α, т.е. необходимо доказать, что SК α

10.Точки М, А, В образуют вертикальную плоскость β, β α (аксиома плоскости, 1, 2).

11.Точки С, N, D образуют вертикальную плоскость γ, γ α (аксиома плоскости, 1, 3).

12.SК  β (10, 7, 8).

143

13. SК  γ (11, 7, 8).

144

14.β∩ γ = SК (12, 13).

15.SК α (10, 11, 14, теорема: Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости).

Ответы на дополнительные вопросы требуют анализа и обобщения исследовательской работы:

1.Для нахождения положения самого источника света реальное направление столбов не имеет никакого значения. Изменение направления столбов, т.е. их отклонение от вертикали, возможно при изменении положения точек А и С или точек В и D. Очевидно, что при этом способ построения точки S останется прежним.

Для нахождения же положения основания источника света нужно быть уверенным в том, что столбы вертикальны. Если это не так, то плоскости β и γ не будут являться вертикальными, а значит и прямая их пересечения не будет перпендикулярна горизонтальной плоскости α. Таким образом, основание перпендикуляра, опущенного из точки S на плоскость α построить указанным способом нельзя. Для подбора другого способа построения нужны дополнительные данные. Необходимо знать положения оснований перпендикуляров, опущенных из вершин столбов на горизонтальную плоскость, далее нужно построить «тени» этих перпендикуляров и воспользоваться уже известным способом для нахождения «основания» источника света.

2.Аналогичен ответ на второй вопрос: для нахождения положения самого источника света расположение плоскости, на которую падают тени, не имеет никакого значения; для нахождения же положения основания источника света существенно, что тени вертикальных столбов отброшены на горизонтальную плоскость.

3.Если, как принято в основном условии, столбы вертикальны, а

тени падают на горизонтальную поверхность, то для решения задачи 145

достаточно задать на рисунке один столб с падающей от него тенью и

можно найти не только положение источника света и его «основание», но

столба).

Таким образом, при решении этой задачи учащиеся под руководством учителя или самостоятельно выполняют (явно или неявно) следующие учебные действия, связанные с проведением исследования:

анализ имеющейся информации по рассматриваемому вопросу; экспериментирование; систематизация и анализ полученного фактического материала; выдвижение гипотезы; подтверждение или опровержение гипотез; доказательство гипотез.

Теоретической основой для решения последней задачи является курс начертательной геометрии, изучаемый в высших учебных заведениях. Однако отдельные задачи этого курса могут быть интересны и понятны школьникам.

3. Усиление мотивации к обучению.

146

131 Останин Е.А. Бильярд. - М.: Вече, 2005. - 240 с 132 Гальперин Г.А., Земляков А.Н. Математические бильярды (бильярдные задачи и смежные вопросы

математики и механики). - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. (Б-чка «Квант» Вып.77). - 288 с.

147

расстоянии, равном 1/3 длины отрезка ЕF, соединяющего центры средних луз. Направление удара показано стрелкой. Найдите такую точку прицеливания (точку первого удара о борт), чтобы шар трижды ударился о борта ВЕ, ВD и DF, после чего упал в лузу Е (рис.14). Постройте траекторию движения шара.

Р1

C F D

Рис. 14

В основе решения задачи лежит «бильярдный» закон абсолютно упругого отражения: «угол падения равен углу отражения». Учитель выслушивает предложения учащихся по решению этой задачи и предлагает изучить раздел о геометрии прямоугольного бильярда из книги Г.А. Гальперина и А.Н. Землякова «Математические бильярды»133. Таким образом учитель создает у школьников мотивацию для первоначальных попыток самостоятельного поиска решения задачи через изучение новой для них математической теории. В результате такой методической работы учителя, учащиеся должны прийти к следующему решению:

Анализ. Траектория движения бильярдного шара представляет собой ломаную линию. С помощью процедуры «выпрямления траекторий» возможно ответить на вопросы задачи.

133 Гальперин Г.А., Земляков А.Н. Математические бильярды (бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики). - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. (Б-чка «Квант» Вып.77). - 288 с.

148

шара) и найти точку прицеливания.

Построение (рис. 16).

150

точки Е// будет точка Е/. Соединим точки Р/4 и Е/, получим отрезок Р/4 Е/.

9.Аналогично построим образы отрезков Р/3Р/4 и Р/4Е/ путем выполнения преобразования симметрии относительно ВD/. Получим соответственно отрезки Р/3Р и РЕ.

10.Таким же образом построим образы отрезков РЕ, Р/3Р и Р2Р/3. Получим отрезки Р4Е, Р3Р4, Р2Р3.

11.Построить отрезок, симметричный отрезку Р/4Е// относительно стороны F//D/ квадрата В/Е//F//D/. При преобразовании симметрии образом точки Р/4 будет сама эта точка, т.к. она лежит на оси симметрии. Образом точки Е// будет точка Е/. Соединим точки Р/4 и Е/, получим отрезок Р/4 Е/.

12.Аналогично построим образы отрезков Р/3Р/4 и Р/4Е/ путем преобразования симметрии относительно ВD/. Получим соответственно отрезки Р/3Р и РЕ.

13.Таким же способом построим образы отрезков РЕ, Р/3Р и Р2Р/3. Получим отрезки Р4Е, Р3Р4, Р2Р3.

Доказательство. Ломаная Р1Р2Р3Р4Е является траекторией движения

бильярдного шара, т.к. по построению ЕР2Р1=ВР2Р3; ВР3Р2=DР3Р4; DР4Р3=ЕР4F. Найдем положение Р2 – точки прицеливания. Для этого

Рассмотрим Р1Е//К и Р2Е//Е/. Легко видеть, что они подобны по двум

152

углам:  Р1КЕ//= Р2Е/Е//=900; Е// – общий. Из подобия треугольников следует подобие сторон. Примем длину стороны квадрата за единицу,

тогда Р1К=2; КЕ//=2 23 (учитывая, что по условию Р1F= 13 ); Е/Е//=2. Найдем

сторону Р2Е/. Запишем пропорцию: Р1К: Р2Е/= КЕ//: Е/Е// или 2:Х=2 23 :2.

Отсюда Х= 32 , т.е. Р2Е/= 32 . Но Р2Е/= Р2В+ВЕ/; учитывая, что ВЕ/=1, как

сторона квадрата, получим: Р2В= Р2Е/- Р2Е/= 12 .

Это означает, что игрок должен прицеливаться для удара по бильярдному шару в центр той части борта, которая расположена между лузами Е и В.

Мотивируя дальнейшее изучение теории математических бильярдов, учитель может предложить изменить первоначальные условия задачи (положение забиваемого шара), проверить предложенный метод решения в теории и на практике. Учитель также может продемонстрировать другие задачи (о переливании жидкости, об освещении зеркальных комнат, об осциллографе и т.д.), для решения которых учащимся необходимо продолжить изучение теории математических бильярдов.

4.Формирование мировоззрения.

Под мировоззрением, как пишет Б.В. Гнеденко, принято понимать систему идеалов, принципов, философских, научных, политических, нравственных и эстетических взглядов и убеждений человека, определяющих не только его отношение к миру, к самому себе, но и направление его деятельности. По определению, данному Б.В. Гнеденко, «мировоззрение представляет собой целый комплекс представлений о реальном мире, о его познаваемости, об отношении человека к труду, к

153

другим людям, к своим обязанностям по отношению к обществу».134

134 Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения в процессе обучения математике. - М.: Просвещение, 1982. - 145 с.

154

Вслед за известными педагогами и психологами (Э.И. Моносзон, И.Ф. Тесленко, Б.В. Гнеденко), под мировоззрением школьников будем понимать совокупность мировоззренческих идей, объясняющих сущность и законы развития природы, общества, мышления, оформленных в сознании школьников в виде взглядов, убеждений, предположений, гипотез, аксиом, ведущих идей и ключевых понятий той или иной науки и создающих основу объяснения различных природных и общественных процессов, и явлений.

Механизмы формирования мировоззрения у школьников средствами учебных предметов изучались многими учеными (В.В. Краевский, Н.А. Терешин, А.Л. Жохов). В работах этих и других авторов убедительно показано, что школьная математика через свою прикладную составляющую может способствовать усвоению мировоззренческих идей о взаимосвязи явлений объективного мира, о его познаваемости. Один из подходов к решению этого вопроса рассмотрен в монографии А.Л. Жохова135. В этой работе показано, что для усвоения различных мировоззренческих идей, а значит и для развития мировоззрения, учащиеся должны обладать рядом умений. К мировоззренческим умениям, которые могут быть приобретены в процессе обучения математике, автор относит те, которые «либо представляют обобщенные способы познания и преобразования окружающего мира, в том числе и духовного мира человека, либо активно способствуют формированию других механизмов обобщенной ориентировки человека в мире».

А.Л. Жоховым приведены конкретные мировоззренческие умения, которые могут быть сформированы в процессе обучения математике. Из них выделим следующие: «для некоторого объекта познания строить математическую модель с использованием известных знаний и средств»; «осуществлять «обратное» действие поиска различных прообразов

135 Жохов А.Л. Как помочь формированию мировоззрения школьников: Книга для учителя и не только для него. - Самара: Изд-во СамГПУ, 1995. - 289 с

155